歐陽順湘

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳) >理學(xué)院，廣東 >深圳518055)

1 引 言

設(shè)A為集合Ω的子集，則A的示性函數(shù)1A定義為

在實(shí)分析、測(cè)度論、高等概率論等課程中，示性函數(shù)處處可見，是構(gòu)造簡(jiǎn)單函數(shù),逼近一般可測(cè)函數(shù)的基石.雖然學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)初期就會(huì)了解的著名的Dirichlet函數(shù)就是有理數(shù)集的示性函數(shù)，但遺憾的是，在教學(xué)中，特別是在初等概率論教學(xué)中，示性函數(shù)的作用沒有得到應(yīng)有的充分重視.有的教材對(duì)示性函數(shù)僅作簡(jiǎn)單應(yīng)用[5]，有的教材則對(duì)示性函數(shù)避而不談[2].有些作者已經(jīng)注意到示性函數(shù)在初等概率論中的一些應(yīng)用[1,4,7,8].本文通過多個(gè)方面的例子對(duì)示性函數(shù)在初等概率教學(xué)中的應(yīng)用作進(jìn)一步說明，著重于它在幫助學(xué)生理解某些重要概念，幫助教師精簡(jiǎn)加深部分教學(xué)內(nèi)容方面的作用.

2 例 子

2.1 事件之間的關(guān)系與運(yùn)算

示性函數(shù)的一些基本性質(zhì)如下.

定理1設(shè)事件A,B為集合Ω的子集，則

(i) 1?=0，1Ω=1；

(ii)A=B當(dāng)且僅當(dāng)1A=1B；

(iii)A?B當(dāng)且僅當(dāng)1A≤1B，也等價(jià)于1A1B=1A；

(iv)A,B互斥當(dāng)且僅當(dāng)1A1B=0；

(v)A,B互為對(duì)立事件當(dāng)且僅當(dāng)1A+1B=1；

(vi) 1A∩B=1A1B=min{1A,1B}；

(vii) 1A∪B=1A+1B-1A1B=max{1A,1B}；

(viii) 1A-B=1A(1-1B).特別，如果B?A，則1A-B=1A-1B.

易見，借助于示性函數(shù)，事件(集合)之間的布爾代數(shù)運(yùn)算被轉(zhuǎn)換為示性函數(shù)之間的算術(shù)運(yùn)算.實(shí)際教學(xué)中，事件的關(guān)系與運(yùn)算往往由集合的關(guān)系與運(yùn)算引入.作為補(bǔ)充，可以應(yīng)用示性函數(shù)來加深學(xué)生對(duì)事件的關(guān)系與運(yùn)算的理解.下面列舉的例子可啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)會(huì)示性函數(shù)之妙.

例1設(shè)A,B為集合Ω的子集.

(ii)A,B的對(duì)稱差定義為AΔB∶=(A∪B)-(A∩B)，則1AΔB=(1A-1B)2.事實(shí)上，

1AΔB=1A∪B-1A∩B=(1A+1B-1A1B)-1A1B=(1A-1B)2.

利用示性函數(shù)可以研究事件之間更多的關(guān)系與運(yùn)算.例如，利用對(duì)稱差的示性函數(shù)表示證明AΔB=(A-B)∪(B-A)，并證明對(duì)稱差滿足結(jié)合律、交換律等.更多習(xí)題，讀者可以參考相關(guān)文獻(xiàn)[6].

2.2 隨機(jī)變量的表示及其期望

設(shè)F是樣本空間Ω上的σ代數(shù)，(Ω,F)上隨機(jī)變量X定義為Ω上的函數(shù)，且對(duì)任意x∈，X-1((-∞,x])={ω∈Ω∶X(ω)≤x}∈F. 隨機(jī)變量是概率論中的基本概念，實(shí)際上也是教學(xué)中的難點(diǎn).一些初等概率論教材為降低難度，對(duì)可測(cè)性條件不作介紹[5]. 建議教師向?qū)W生簡(jiǎn)單介紹Ω上的σ代數(shù)以及隨機(jī)變量的確切定義，這樣概率論中其他重要概念，如事件，作為F上以事件為自變量的函數(shù)的概率，以及分布函數(shù)等概念才能恰當(dāng)自然地定義.

為介紹隨機(jī)變量而不加重學(xué)生負(fù)擔(dān)，最簡(jiǎn)單而重要的例子是示性函數(shù).易得如下結(jié)論.

定理2設(shè)(Ω,F,P)為一概率空間，A?Ω. 則示性函數(shù)1A為隨機(jī)變量當(dāng)且僅當(dāng)A∈F，即A是事件. 此時(shí)，E(1A)=P(A).

引入示性函數(shù)表示隨機(jī)變量，有利于隨機(jī)變量的表示，也有利于期望的計(jì)算.例如，多重伯努利試驗(yàn)中總的成功次數(shù)可表示為各個(gè)試驗(yàn)中成功次數(shù)之和，因而可以寫為示性函數(shù)之和.這樣的表示有利于總成功次數(shù)的期望與方差的計(jì)算，還有利于更好地理解為何伯努利大數(shù)定律、棣莫弗-拉普拉斯定理分別為切比雪夫大數(shù)定律、林德伯格-萊維中心極限定理的特殊情形.又如，在教學(xué)中，離散型隨機(jī)變量期望的線性性往往放在介紹多維隨機(jī)變量、聯(lián)合分布等概念之后.實(shí)際上，可以利用示性函數(shù)來證明這個(gè)性質(zhì)，避免聯(lián)合分布等概念以提前介紹離散型隨機(jī)變量的期望及其線性性這兩個(gè)重要概念.

下例來自[5].用示性函數(shù)改寫其中的證明，更易理解.

例2設(shè)r人在共n層的某樓的底層進(jìn)入電梯，每一乘客在任一層下電梯的概率相同. 如果某層沒有乘客下電梯，電梯不停. 求乘客都下完電梯時(shí)電梯停車的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望.

下例是經(jīng)典結(jié)論.本質(zhì)上，其證明思想與常見的對(duì)事件的概率進(jìn)行運(yùn)算的證明方法相同.它展示了示性函數(shù)是如何輔助計(jì)算的.

2.3 事件的概率的計(jì)算

等式E(1A)=P(A)揭示了期望與概率的密切聯(lián)系(事實(shí)上，可以通過約定期望應(yīng)滿足的公理將概率論公理化[6])，而示性函數(shù)在其中起橋梁作用.由此，概率的性質(zhì)、計(jì)算可利用示性函數(shù)的期望來計(jì)算.

下例中用示性函數(shù)證明三個(gè)事件的并的概率的加法公式.該方法可以推廣到有限個(gè)甚至可數(shù)個(gè)事件的并的概率的計(jì)算公式.

例4設(shè)A,B,C為任意事件，求P(A∪B∪C).

解根據(jù)示性函數(shù)的性質(zhì)，有

=1-(1-1A)(1-1B)(1-1C)=1A+1B+1C-1A1B-1B1C-1A1C+1A1B1C

=1A+1B+1C-1A∩B-1B∩C-1A∩C+1A∩B∩C.

從而有

P(A∪B∪C)=E(1A∪B∪C)=E(1A+1B+1C-1A∩B-1B∩C-1A∩C+1A∩B∩C)

=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∪B)-P(B∪C)-P(A∪C)+P(A∪B∪C).

下面的問題來自來自教材[5]中習(xí)題1的第22題.

例5設(shè)A,B,C為任意事件，求證P(A∩B)+P(A∩C)-P(B∩C)≤P(A).

證P(A∩B)+P(A∩C)-P(B∩C)

對(duì)上述兩例中的問題，一般做法是對(duì)事件進(jìn)行較為繁瑣的分割. 使用示性函數(shù)計(jì)算較為簡(jiǎn)潔，另有新意.

2.4 分布函數(shù)的表示與計(jì)算

離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)可以用示性函數(shù)表示、計(jì)算.

例6獨(dú)立投擲兩枚均勻骰子所得點(diǎn)數(shù)分別為X,Y.求最大點(diǎn)數(shù)M=max{X,Y}的分布列.

解顯然，X,Y獨(dú)立同分布，它們的分布函數(shù)同為

所以，M的分布函數(shù)為

FM(z)=P(X≤z,Y≤z)=F(z)2

從FM(z)可得M的分布列為

該問題是初等概率論中的經(jīng)典例題，易通過枚舉法用古典概率計(jì)算(參[2,例2.1.3]).之所以用另外的方法計(jì)算，是因?yàn)闃O值分布有一般抽象計(jì)算公式[5].該公式是概率論教學(xué)中一個(gè)較難的知識(shí)點(diǎn).用示性函數(shù)應(yīng)用一般公式進(jìn)行計(jì)算，不很復(fù)雜，且計(jì)算結(jié)果可與用古典概率得到的結(jié)果相印證.這樣可以使學(xué)生更直觀地理解極值分布的一般計(jì)算方法.

2.5 表示分布密度

許多分布密度函數(shù)是分段函數(shù)，可以很自然地用示性函數(shù)表示.形式上的表示可給計(jì)算和理解帶來很多好處.如可利用示性函數(shù)來研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和的概率密度函數(shù)的計(jì)算[4].我們舉兩個(gè)別有趣味的例子.

例7設(shè)Ω為平面上的一個(gè)可測(cè)區(qū)域，μ(Ω)>0，其中μ為平面上的面積度量.服從Ω上的均勻分布的隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)可以表示為1Ω/μ(Ω).對(duì)平面上任何可測(cè)區(qū)域A，其幾何概率為

均勻分布、幾何概率是初等概率論中的重要內(nèi)容.上述計(jì)算可以使學(xué)生更清楚地看到幾何概率的本質(zhì)是均勻分布.

例8設(shè)總體X服從區(qū)間[0,θ]上的均勻分布，其中θ>0為參數(shù). 設(shè)x1,x2,…,xn>0為樣本.求θ的最大似然估計(jì)值.

解設(shè)x(n)=max{x1,x2,x3,…,xn}. 隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

因此，參數(shù)θ的最大似然函數(shù)L為

可見L在θ=x(n)處取到最大值.所以，θ的最大似然估計(jì)值為x(n).

上例中的問題是最大似然估計(jì)理論教學(xué)中的基本問題，貌似簡(jiǎn)單，卻是難點(diǎn).一般教材在處理該問題的論述中常使用語言描述而使學(xué)生較為困惑.利用示性函數(shù)，將思維過程轉(zhuǎn)換為形式推理，可使學(xué)生更容易理解.

2.6 混合矩計(jì)算公式，Hoeffding公式及其他

本小節(jié)內(nèi)容都源于如下例子.

例9設(shè)X,Y為非負(fù)隨機(jī)變量，則有如下混合矩計(jì)算公式

(1)

為簡(jiǎn)潔起見，在上面的計(jì)算中，對(duì)一般的隨機(jī)變量進(jìn)行統(tǒng)一處理.在初等概率論中，可以分別對(duì)離散型、連續(xù)型隨機(jī)變量進(jìn)行證明.

在(1)中取Y=1可得用尾概率計(jì)算隨機(jī)變量期望的公式

(2)

綜合利用(1)和(2)可得計(jì)算協(xié)方差的Hoeffding公式

(3)

等式(1),(2),(3)是較為熟知的結(jié)論[7].下面強(qiáng)調(diào)它們的教學(xué)價(jià)值.

如果非負(fù)隨機(jī)變量X,Y有隨機(jī)序，即對(duì)任意x∈，F(xiàn)X(x)≥FY(x)，則從(2)可直接得EX≤EY.許多解析不等式可以從這個(gè)觀測(cè)得到[3].學(xué)生可以從中領(lǐng)略概率方法在分析中的應(yīng)用.從(3)可以清楚地見到獨(dú)立性與不相關(guān)之間的聯(lián)系與區(qū)別：兩個(gè)(非負(fù))隨機(jī)變量獨(dú)立蘊(yùn)含它們不相關(guān)，反之不然.根據(jù)熟知的程序，從(2)出發(fā)，還可以得到馬爾科夫不等式和切比雪夫不等式.

由此可見，從利用示性函數(shù)證明混合矩計(jì)算公式開始，初等概率論中許多重要內(nèi)容和概念，可如寶珠一樣一線串連.

3 結(jié) 論

通過上述各方面的例子可見，示性函數(shù)可用于初等概率論中各個(gè)主要方面. 它可用于研究事件的關(guān)系與運(yùn)算，表示隨機(jī)變量及其分布，計(jì)算復(fù)雜事件的概率、隨機(jī)變量的期望和分布函數(shù)，證明與期望相關(guān)的重要不等式等.示性函數(shù)可用于幫助學(xué)生理解隨機(jī)變量、均勻分布等重要概念，還自然地出現(xiàn)在如與伯努利分布相關(guān)的數(shù)字特征的計(jì)算，大數(shù)定律與中心極限定理等重要內(nèi)容中.因此，在初等概率論的教學(xué)及教材編著中，示性函數(shù)值得系統(tǒng)引入并加以重視.

致謝作者感謝審稿人的有益建議以及哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳)本科生熊天晨同學(xué)使作者注意到例5的提問.