陳素琴， 王 琤

(同濟大學(xué) >數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海200092)

1 引 言

設(shè)A∈Pm×n，B∈Pm×s(s≤n)，P是一個數(shù)域，文獻 [1]討論了矩陣方程

AX=B

(1)

當r(A)=r(B)=r(A，B)時，存在這樣的解X(∈Pn×s)，其秩r(X)=s，即矩陣X是列滿秩的.

一般的線性代數(shù)教材[2-7]僅給出矩陣方程(1)的解的存在性，文獻 [1]證明了這個存在的解還可以有更好的性質(zhì)：列滿秩. [1]的證明方法是基于線性方程組的解的理論. 根據(jù)筆者的經(jīng)驗：線性方程組的解的理論與向量組的相互線性表示及矩陣的初等變換是有聯(lián)系的，在條件r(A)=r(B)=r(A，B)下，是否存在另外一個不從方程組的解的理論出發(fā)的證明方法，同樣可以證明方程(1)存在列滿秩的解X？

基于這樣的思考，本文從向量組的相互線性表示及矩陣的初等變換的角度，給出了方程(1)存在列滿秩的解X的另一個證明方法.為了方便閱讀，重述文獻 [1]中的定理1如下：

定理1對任意給定的矩陣A∈Pm×n，B∈Pm×s(s≤n)，若r(A)=r(B)=r(A，B)，則矩陣方程(1)有列滿秩的解X(∈Pn×s)，即矩陣X的秩r(X)=s.

本文的結(jié)構(gòu)安排如下：第2節(jié)證明定理1，第3節(jié)將定理1推廣成定理2，同時給出了定理2的用其它四個角度表述的形式.這四個角度分別是：矩陣等價的角度、齊次方程組同解的角度、向量組等價的角度及線性空間的角度.

2 定理1的證明

對于給定的矩陣A∈Pm×n，B∈Pm×s(s≤n)，不妨設(shè)r(A)=r(B)=r(A，B)=r，則r≤s≤n.用分塊矩陣記號重記矩陣A和B如下：

此處α1，α2，…，αn∈Pm，β1，β2，…，βs∈Pm.分兩種情形討論：n=s及n>s.

先證n=s的情形.

此時，矩陣A的列向量組中所含向量的個數(shù)=矩陣B的列向量組中所含向量的個數(shù)，由于r(A)=r(B)=r(A，B)=r，故矩陣方程AX=B與BY=A同時有解(參考文獻[2]的第76頁，定理6)， 即存在矩陣X∈Pn×n，Y∈Pn×n，下列等式同時成立：

B=AX，

(2)

A=BY.

(3)

此時，對矩陣秩的值分兩種情形：

r(A)=r(B)=r(A，B)=n及 r(A)=r(B)=r(A，B)=r

(i) 若r(A)=r(B)=r(A，B)=n，即矩陣A的列向量組α1，α2，…，αn與矩陣B的列向量組β1，β2，…，βn均線性無關(guān).

將式(3)代入式(2)得B=BYX.移項整理后得

B(E-YX)=O.

(4)

構(gòu)造n元齊次方程組Bx=O，由于r(B)=n，故齊次方程組Bx=O只有零解，于是由式(4)得YX=E.即矩陣X可逆，也就是矩陣方程AX=B有列滿秩的解X.另外，由于矩陣X的逆陣為Y，故矩陣方程BY=A也有行滿秩的解Y.

(ii)若r(A)=r(B)=r(A，B)=r

設(shè)向量組A0：αi1，αi2，…，αir是矩陣A的列向量組的極大線性無關(guān)組，向量組B0：βj1，βj2，…，βjr是矩陣B的列向量組的極大線性無關(guān)組.由于向量組的極大線性無關(guān)組與向量組自身等價，以及等價關(guān)系的傳遞性，得到：向量組A0：αi1，αi2，…，αir與向量組B0：βj1，βj2，…，βjr等價.

A0X0=B0.

(5)

用矩陣的初等列變換的語言重述式(5)，即為

(6)

將式(6)中的矩陣各自添加n-r個m維的零向量，其列等價性保持不變，也就是下列關(guān)系成立：

(7)

(8)

(9)

由式(8)，(9)及列等價的傳遞性，得到如下結(jié)論：

(10)

類似地，利用矩陣B的列向量組的極大線性無關(guān)組與自身的等價性，有結(jié)論：

(11)

綜合式(7)，(10)及(11)，有

即矩陣A和B是列等價的矩陣(參考文獻[2]的第58頁).

于是，一定存在可逆陣X∈Pn×n，及可逆陣Y∈Pn×n(參考文獻[2]的第61頁，定理1)有下面兩式成立：

AX=B，

(12)

BY=A.

(13)

也就是，矩陣方程AX=B有列滿秩的解X，矩陣方程BY=A有行滿秩的解Y.

再證n>s的情形.

(14)

(15)

AX=B，

(16)

BY=A.

(17)

即方程(16)有列滿秩解X∈Pn×s，方程(17)有行滿秩解Y∈Ps×n. 至此，定理1得證.

3 推 廣

從上述證明可以發(fā)現(xiàn)，由條件r(A)=r(B)=r(A，B)，得到方程AX=B有列滿秩解X，同時得到方程BY=A有行滿秩解Y. 故可以將定理1重新表述為如下形式：

定理1對任意給定的矩陣A∈Pm×n，B∈Pm×s(s≤n)，若r(A)=r(B)=r(A，B)，則矩陣方程AX=B有列滿秩的解X(∈Pn×s)，即矩陣X的秩r(X)=s；同時，矩陣方程BY=A有行滿秩的解Y(∈Ps×n)，即矩陣Y的秩r(Y)=s.

更進一步，若矩陣方程AX=B有解X，同時，矩陣方程BY=A有解Y，則一定有r(A)=r(B)=r(A，B).也就是，條件r(A)=r(B)=r(A，B)又是命題“矩陣方程AX=B有解X；同時，矩陣方程BY=A有解Y”的必要條件. 將這個必要條件與定理1合在一起，有下面的定理：

定理2對任意給定的矩陣A∈Pm×n，B∈Pm×s(s≤n)，矩陣方程AX=B有列滿秩的解，且同時BY=A有行滿秩解的充要條件是r(A)=r(B)=r(A，B).

另外，通過梳理線性代數(shù)中與條件r(A)=r(B)=r(A，B)相關(guān)的結(jié)論，得到如下結(jié)果：

定理3對任意給定的矩陣A∈Pm×n，B∈Pm×s(s≤n)，如下論斷等價：

(i) 矩陣方程AX=B有列滿秩的解X(∈Pn×s)，同時矩陣方程BY=A有行滿秩的解Y(∈Ps×n)；

(ii)r(A)=r(B)=r(A，B)；

(iv)齊次方程組ATz=O與BTz=O同解；

(v) 矩陣A的列向量組與矩陣B的列向量組等價，并且矩陣B的列向量組由矩陣A的列向量組線性表示的系數(shù)矩陣是列滿秩的，矩陣A的列向量組由矩陣B的列向量組線性表示的系數(shù)矩陣是行滿秩的；

(vi)矩陣A的列向量組所生成的線性空間=矩陣B的列向量組所生成的線性空間.

定理3的證明(i)、(ii)與(iii)的等價已經(jīng)由定理1和定理2給出，現(xiàn)在只要分別證明(ii)與(iv)等價、(i)與(v)等價、(v)與(vi)等價.

①(ii)與(iv)等價.

首先證明由(ii)可推得(iv).

對于給定矩陣A∈Pm×n，B∈Pm×s(s≤n)，若r(A)=r(B)=r(A，B)，將其值記為r，則由秩的性質(zhì)，可得

其次證明由(iv)可推得(ii).

于是

進而有r(A)=r(B)=r(A，B).

綜上，(ii)與(iv)等價獲證.

② (i)與(v)等價：這個等價性是顯然的，命題(v)實際上是命題(i)用向量組的線性表示的語言的復(fù)述.

③ (v)與(vi)等價：參考文獻[2]，[3]均給出了證明，這里不再重復(fù).

最后，不加證明地給出定理3的對稱推廣.

定理3′對任意給定的矩陣A∈Pn×m，B∈Ps×m(s≤n)，如下論斷等價：

(i) 矩陣方程XA=B有行滿秩的解X(∈Ps×n)，同時矩陣方程YB=A有列滿秩的解Y(∈Pn×s)；

(iv) 齊次方程組Az=O與Bz=O同解；

(v) 矩陣A的行向量組與矩陣B的行向量組等價，并且矩陣B的行向量組由矩陣A的行向量組線性表示的系數(shù)矩陣是列滿秩的，矩陣A的行向量組由矩陣B的行向量組線性表示的系數(shù)矩陣是行滿秩的；

(vi) 矩陣A的行向量組所生成的線性空間=矩陣B的行向量組所生成的線性空間.

4 結(jié) 論

矩陣方程AX=B和BY=A廣泛出現(xiàn)在數(shù)學(xué)和工程應(yīng)用中，文中探討了矩陣方程AX=B有列滿秩的解，且同時BY=A有行滿秩解的充要條件，這個研究推廣和加強了現(xiàn)有的有關(guān)矩陣方程AX=B和BY=A的解的結(jié)論.

致謝本文寫作源于文獻[1]，初稿提交后得到審稿人的非常有價值的修改建議，感謝審稿人.