王 越， 周圣武

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué) >數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 >徐州221000)

1 引 言

脆弱期權(quán)是指在場(chǎng)外市場(chǎng)(OTC)交易的帶有信用風(fēng)險(xiǎn)的期權(quán). 由于場(chǎng)外市場(chǎng)沒有特定的監(jiān)管機(jī)構(gòu)，從而導(dǎo)致期權(quán)多頭方遭受違約風(fēng)險(xiǎn)的可能性顯著增大，因此對(duì)脆弱期權(quán)進(jìn)行合理的價(jià)值評(píng)估既具有現(xiàn)實(shí)意義也具有理論意義.

Johnson和Stulz[1]首次提出脆弱期權(quán)概念，他們?cè)贛erton[2]公司債券定價(jià)模型的基礎(chǔ)上，引入了違約風(fēng)險(xiǎn). 在后續(xù)的研究中，學(xué)者們多采用結(jié)構(gòu)化模型[3-4]和簡(jiǎn)約化模型[5-6]處理脆弱期權(quán)的定價(jià)問題，得到了一系列理論成果. 王磊等[7]采用PDE方法對(duì)隨機(jī)波動(dòng)率下的脆弱期權(quán)定價(jià)問題進(jìn)行建模，得到了脆弱期權(quán)的價(jià)值所滿足的偏微分方程模型. 袁國(guó)軍等[8]利用無套利原理和半離散差分方法，給出了CEV過程下脆弱期權(quán)定價(jià)模型的數(shù)值解法. 楊佳會(huì)[9]采用Hull-White隨機(jī)波動(dòng)率模型研究了帶有交易費(fèi)用的脆弱期權(quán)定價(jià)問題，并給出了數(shù)值算法.

CEV模型是指常方差彈性方程模型，最早由Cox和Ross提出用來刻畫波動(dòng)率的“微笑”特征[10].基于CEV模型的美式期權(quán)[11]、亞式期權(quán)[12]、多資產(chǎn)期權(quán)[13]、回望期權(quán)[14]、交換期權(quán)[15]和兩值期權(quán)[16]等金融衍生產(chǎn)品定價(jià)問題的研究已經(jīng)取得了一些有意義的結(jié)果. 杜淼蓉[17]采用有限元算法給出了CEV過程下帶交易費(fèi)的期權(quán)定價(jià)數(shù)值解法. 郭宗懷等[18]針對(duì)CEV模型下支付紅利的美式看跌期權(quán)的定價(jià)問題，推導(dǎo)了CEV模型遵循的變分方程，得到了相應(yīng)的顯式差分格式，并驗(yàn)證了其算法的有效性. 曹桂蘭等[19]應(yīng)用跳過程的伊藤公式和Feller引理得到了風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下基于CEV跳擴(kuò)散過程的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式.

本文研究基于CEV模型且支付交易費(fèi)用的脆弱期權(quán)定價(jià)問題，通過構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)投資組合建立CEV模型下支付交易費(fèi)用的脆弱期權(quán)定價(jià)模型，然后應(yīng)用有限差分方法將定價(jià)模型離散化，給出數(shù)值算法，最后通過數(shù)值試驗(yàn)分析對(duì)手方資產(chǎn)價(jià)值、距離到期日的時(shí)間、執(zhí)行價(jià)格、交易費(fèi)率、彈性因子、波動(dòng)率彈性、公司負(fù)債和相關(guān)系數(shù)對(duì)脆弱看跌期權(quán)價(jià)值的影響.

2 基于CEV過程帶有交易費(fèi)用的脆弱期權(quán)定價(jià)模型

2.1 模型假設(shè)

假設(shè)脆弱期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格St服從CEV過程，對(duì)手方資產(chǎn)價(jià)值Vt服從幾何Brown運(yùn)動(dòng)，即St與Vt分別滿足隨機(jī)微分方程

(1)

(2)

本文還用到以下基本假設(shè)：

(i) 無風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)；

(ii) 在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)無紅利支付和稅收；

(iii) 市場(chǎng)不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)且允許賣空；

(iv) 當(dāng)違約事件發(fā)生時(shí)，期權(quán)空頭方資產(chǎn)的回收率為(1-w)VT/D，其中w表示由于空頭破產(chǎn)所帶來的花費(fèi)占其資產(chǎn)的百分比，公司負(fù)債D為常數(shù)；

(v) 存在交易費(fèi)用，買賣標(biāo)的資產(chǎn)需要支付一定數(shù)量的交易費(fèi)k|vt|S，其中vt是資產(chǎn)交易份額，當(dāng)vt<0時(shí)表示賣出，當(dāng)vt>0時(shí)表示買入，k>0是每單位資產(chǎn)應(yīng)支付的交易費(fèi)，即交易費(fèi)率.

2.2 模型建立

定理1基于CEV模型帶有交易費(fèi)用的脆弱期權(quán)價(jià)值Ft=F(St，Vt，t)滿足微分方程

(3)

證考慮投資組合Π：

Πt=Ft-Δ1St-Δ2Vt，

(4)

其中Δ1是標(biāo)的資產(chǎn)數(shù)量，Δ2是對(duì)手方資產(chǎn)數(shù)量. 在[t，t+δt]時(shí)間段內(nèi)，投資組合Π價(jià)值的變化量為

δΠt=δFt-Δ1δSt-Δ2δVt-k|vt|St，

其中vt表示資產(chǎn)交易份額，無論資產(chǎn)是買入還是賣出，都按照固定比例k支付交易費(fèi)用.

由式(1)與(2)可得

(5)

(6)

由δΠt=δFt-Δ1δSt-Δ2δVt-k|vt|St，可得

(7)

這里

由式(7)可得投資組合Π價(jià)值變化的數(shù)學(xué)期望

(8)

根據(jù)無套利原理，有E(δΠt)=rΠtδt， 得到CEV模型下帶有交易費(fèi)用的脆弱期權(quán)價(jià)值滿足

(9)

整理可得

(10)

證畢.

推論1執(zhí)行價(jià)格為K，到期日為T，基于CEV模型帶有交易費(fèi)用的歐式脆弱看漲期權(quán)的價(jià)值滿足

(11)

推論2執(zhí)行價(jià)格為K，到期日為T，基于CEV模型帶有交易費(fèi)用的歐式脆弱看跌期權(quán)的價(jià)值滿足

(12)

3 基于CEV過程帶有交易費(fèi)用的脆弱看跌期權(quán)定價(jià)的差分格式

在基于CEV模型帶有交易費(fèi)用的歐式脆弱看跌期權(quán)的定價(jià)模型式(12)中，做變量變換

則式(12)中的偏微分方程變換成如下形式

(13)

其中

脆弱看跌期權(quán)在T時(shí)刻的價(jià)值為

計(jì)算區(qū)域?yàn)?/p>

H={(x1，x2，τ)|xmin≤xi≤xmax， 0≤τ≤T，i=1，2}，

其中

x1min=ln(Smin/K)，x1max=ln(Smax/K)，

x2min=ln(Vmin/K)，x2max=ln(Vmax/K)，

xmin=min{x1min，x2min}，xmax=max{x1max，x2max}，

Smin=min{St|0

Vmin=min{Vt|0

下面使用差分格式將方程(13)離散化，首先將區(qū)域Ω=[xmin，xmax]×[xmin，xmax]×[0，T]進(jìn)行剖分：將時(shí)間區(qū)間[0，T]劃分成M個(gè)長(zhǎng)度為l=T/M的小區(qū)間

[0，l]，[l，2l]，…，[(M-1)l，T]，

以h=(xmax-xmin)/N為步長(zhǎng)將[xmin，xmax]劃分成N個(gè)小區(qū)間

[xmin，xmin+h]，[xmin+h，xmin+2h]，…，[xmin+(N-1)h，xmax].

空間格點(diǎn)可表示為(x1i1，x2i2，τm)，其中

xjij=xmin+(ij-1)h，τm=(m-1)l，j=1，2，1≤ij≤N+1，1≤m≤M+1.

將上述差分格式代入式(13)，可得

(14)

這里

邊界條件為

具體算法如下：

4 數(shù)值試驗(yàn)

考慮一只歐式脆弱看跌期權(quán)，假設(shè)各參數(shù)取值如下：

V0=100000，K=100，D=10000，T=1，r=0.04，ρ=0.5，σS=σV=0.2，w=0.4，k=0.02，α=0.6.

應(yīng)用上節(jié)數(shù)值算法進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)，分析交易對(duì)手方資產(chǎn)價(jià)值V、距離到期日的時(shí)間τ、執(zhí)行價(jià)格K、交易費(fèi)率k、波動(dòng)率彈性σS、彈性因子α、公司負(fù)債D和相關(guān)系數(shù)ρ對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響.

圖1給出了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、交易對(duì)手方公司資產(chǎn)價(jià)值與脆弱看跌期權(quán)價(jià)值的共同變化關(guān)系. 從圖中可以看出，期權(quán)價(jià)值隨著標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的增大而減小，隨著交易對(duì)手方公司資產(chǎn)價(jià)值的增大而增大. 從金融意義上看，當(dāng)對(duì)手方公司資產(chǎn)價(jià)值增加時(shí)，其違約的可能性減小，因此脆弱期權(quán)的價(jià)值增大，這一數(shù)值結(jié)果符合實(shí)際交易市場(chǎng)的規(guī)律.

圖2給出了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、距離到期日的時(shí)間與脆弱看跌期權(quán)價(jià)值的共同變化關(guān)系. 從圖中可以看出，期權(quán)價(jià)值隨著標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的增大而減小，隨著距離到期日時(shí)間的增大而增大.

圖3給出了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格與脆弱看跌期權(quán)價(jià)值的共同變化關(guān)系. 從圖中可以看出，期權(quán)價(jià)值隨著標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的增大而減小，隨著執(zhí)行價(jià)格的增大而增大.

圖4給出了當(dāng)交易費(fèi)率k分別為0，0.02，0.04時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和脆弱看跌期權(quán)價(jià)值之間的關(guān)系. 結(jié)果表明，交易費(fèi)用的存在增加了投資成本，當(dāng)交易費(fèi)率增大時(shí)，期權(quán)價(jià)值將減小.

圖3 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和執(zhí)行價(jià)格對(duì)脆弱看跌期權(quán) 圖4 交易費(fèi)率對(duì)脆弱看跌期權(quán)價(jià)值的影響價(jià)值的影響

圖5 彈性因子對(duì)脆弱看跌期權(quán)價(jià)值的影響圖6 波動(dòng)率彈性對(duì)脆弱看跌期權(quán)價(jià)值的影響

圖5給出了彈性因子α對(duì)脆弱看跌期權(quán)價(jià)值的影響. 結(jié)果表明，CEV過程下有交易費(fèi)用的脆弱看跌期權(quán)的價(jià)值比標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)(當(dāng)α=1時(shí))價(jià)值低.

圖6給出了當(dāng)波動(dòng)率彈性σs分別為0.2，0.4，0.6時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和脆弱看跌期權(quán)價(jià)值之間的關(guān)系.結(jié)果表明，當(dāng)彈性因子確定時(shí)，波動(dòng)率彈性越大，標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率就越大，期權(quán)價(jià)值就越大.

圖7 公司負(fù)債對(duì)脆弱看跌期權(quán)價(jià)值的影響圖8 相關(guān)系數(shù)對(duì)脆弱看跌期權(quán)價(jià)值的影響

圖7給出了當(dāng)公司負(fù)債D分別為1.0×105，2.0×105，3.0×105時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和脆弱看跌期權(quán)價(jià)值之間的關(guān)系. 結(jié)果表明，隨著公司負(fù)債的增大，實(shí)際金融市場(chǎng)發(fā)生違約的可能性增大，因此期權(quán)價(jià)值隨之減小.

圖8給出了當(dāng)相關(guān)系數(shù)ρ分別為-0.5，0，0.5時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和脆弱看跌期權(quán)價(jià)值之間的關(guān)系.結(jié)果表明，當(dāng)固定標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格時(shí)，期權(quán)價(jià)值隨著相關(guān)系數(shù)的增大而增大.

5 結(jié) 論

本文通過構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)投資組合研究了基于CEV過程帶有交易費(fèi)的脆弱期權(quán)定價(jià)問題. 應(yīng)用有限差分方法給出定價(jià)模型的數(shù)值算法，并以看跌期權(quán)為例進(jìn)行數(shù)值模擬. 試驗(yàn)結(jié)果表明：期權(quán)價(jià)值與交易對(duì)手方資產(chǎn)價(jià)值、距離到期日的時(shí)間、執(zhí)行價(jià)格、波動(dòng)率彈性、相關(guān)系數(shù)成正相關(guān)關(guān)系，與交易費(fèi)率、公司負(fù)債成負(fù)相關(guān)關(guān)系. 特別地，當(dāng)彈性因子α=1時(shí)，得到標(biāo)準(zhǔn)模型下帶有交易費(fèi)的脆弱期權(quán)定價(jià)模型.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.