理學院,上海200237)1 引 言歐拉常數(shù)γ是在數(shù)學及物理領(lǐng)域十分重要的常數(shù),應(yīng)用也很廣泛[1],如計"/>
姚清照, 賀黎明
(華東理工大學 >理學院,上海200237)
歐拉常數(shù)γ是在數(shù)學及物理領(lǐng)域十分重要的常數(shù),應(yīng)用也很廣泛[1],如計算黎曼ζ函數(shù)[2]、Somos二次遞歸常數(shù)[3],以及Ising鏈模型中的關(guān)聯(lián)長度[4]等等.對歐拉常數(shù)的計算十分重要,然而要得到高精度的近似值,僅僅對歐拉常數(shù)的原始定義
進行直接計算是比較困難的,這就需要有更高效的理論方法.有許多針對原定義數(shù)列Dn表達式進行修正實現(xiàn)加速收斂的工作[5-7].Lu等人[7]使用了連分式修正(modification)的方法提高收斂速度,并給出明確的余項表達式.本文在此修正數(shù)列的基礎(chǔ)上,首次采用通用Levin變換的方法進行二次加速收斂修正歐拉常數(shù)數(shù)列,數(shù)值計算表明由此可以得到更為高效、精確的計算結(jié)果.
用來定義歐拉常數(shù)的數(shù)列Dn收斂緩慢,收斂速度和n-1相當.Lu等人在Dn基礎(chǔ)上提出一種運用連分式修正原定義后更快收斂到歐拉常數(shù)的數(shù)列
(1)
其中p,q是正整數(shù).可以證明,如果取p=1時有
非線性數(shù)列變換T是一種將已知部分和數(shù)列集合{[sm]},變換成一個有望更快收斂到原數(shù)列極限s的新數(shù)列集合{[s′m]}的運算規(guī)則
T∶{[sm]}→{[s′m]},
其中sm表示原數(shù)列的1到m項之和,m是非負整數(shù).在實際計算中,只考慮對有限個元素構(gòu)成的序列
{sl,sl+1,…,sNm}
進行變換.
Weniger對常用的加速收斂非線性數(shù)列變換方法做了很好的歸納和總結(jié).在眾多算法中,尤以Levin變換具有收斂速度快,計算效率高的突出優(yōu)點.Levin變換假設(shè)數(shù)列部分和集合{[sm]}與它們的極限s滿足關(guān)系式
(2)
其中ωm是余項估計,β為偏移常數(shù).將上式移項化簡并用k階線性的差分算符Δk消去關(guān)于m的k-1階多項式,經(jīng)過整理就可以得到通用Levin變換
(3)
再用Sidi[9]的方法能得到簡潔且適用于計算的通用Levin變換3項遞推公式:
(4)
本文采用Weniger的建議只考慮取β=1.
余項估計值對于Levin變換是至關(guān)重要的.基于不同的余項模型的Levin變換稱之為u變換、v變換等.對于有明確余項表達式的部分和序列,可采用(2)式的模型表達式,由此得到的變換式稱通用Levin變換.此余項表達式的近似程度越好,Levin變換的收斂速度越快,這是Levin變換的顯著優(yōu)點.反之,Levin變換就不能很好地收斂,這同時也是它的顯著弱點.
Dn的余項大致為n-1,所以歐拉常數(shù)的直接計算是非常困難的.Lu等人[7]給出了改進的歐拉常數(shù)的系列表達式.(1)式中p越大,連分式的形式越復雜,其余項越小,收斂越快.如取p=3,可有
其余項為n-8,顯然比Dn收斂快得多.
表1 連分式修正前后數(shù)列收斂的數(shù)值結(jié)果比較
表2 通用Levin變換對連分式修正前后數(shù)列加速收斂的數(shù)值結(jié)果比較
為了更細致地研究這個問題,利用計算機代數(shù)系統(tǒng)Maple把這里的所有結(jié)果重復進行了計算,結(jié)果列于表3右側(cè).使用Maple的所有計算結(jié)果都采用有理分式的形式,所以就完全克服了舍入誤差的影響.與Fortran采用有限字長的浮點計算結(jié)果形成鮮明對比的是,由Maple得到的Levin變換結(jié)果的精度呈現(xiàn)出不斷增加的趨勢.
表3 通用Levin變換對加速收斂的Fortran和Maple計算結(jié)果比較
歐拉常數(shù)是一個具有重要應(yīng)用價值的數(shù)學常數(shù),有針對歐拉常數(shù)的專門算法研究,但是近幾十年一直沒有很好的進展.本文在已有的歐拉常數(shù)修正算法基礎(chǔ)上再利用更具廣泛性的非線性變換算法進行二次加速,極大的提高了計算效率.此外針對舍入誤差對非線性變換的負面影響,可以利用Maple的有理式計算功能予以克服.通過與Fortran的浮點運算結(jié)果比較,克服了舍入誤差的Levin變換可以使歐拉常數(shù)的計算精度不斷增長的趨勢保持不變.
致謝本文工作的主要結(jié)果是建立在Lu等人的對歐拉常數(shù)數(shù)列Dn連分式修正基礎(chǔ)之上,有關(guān)非線性變換的算法主要參閱了Weniger的綜述文章.在這里向這些作者一并表示感謝.