于連棟，常雅琪，趙會寧*，曹家銘，姜一舟

（1. 合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽 合肥230009；2. 測量理論與精密儀器安徽省重點實驗室，安徽 合肥230009）

1 引 言

隨著機(jī)器人技術(shù)的快速發(fā)展，工業(yè)機(jī)器人廣泛應(yīng)用于自動化、先進(jìn)制造等領(lǐng)域。機(jī)器人具有較好的重復(fù)定位精度，但絕對定位精度較差，使其適用范圍受到了嚴(yán)重的限制。因此，如何進(jìn)一步提高機(jī)器人的絕對定位精度成為研究的焦點。目前，解決上述問題主要有兩種方式：提高機(jī)器人的加工和裝配精度，以增加開發(fā)成本為代價，更新速度較慢，難以滿足生產(chǎn)需要；采用數(shù)學(xué)方法修正結(jié)構(gòu)參數(shù)與非結(jié)構(gòu)參數(shù)的誤差，在不增加任何成本情況下，能夠有效地提高機(jī)器人的絕對定位精度。

機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)標(biāo)定通常包括建模、測量、參數(shù)辨識和補(bǔ)償4 個步驟。 1995 年Denavit 和Hartenberg 提出D-H 建模，并被廣泛應(yīng)用于機(jī)器人建模［1］。Samad 等提出5 參數(shù)MD-H 模型［2］，改進(jìn)了D-H 模型相鄰兩個關(guān)節(jié)平行時產(chǎn)生奇異的問題。在測量方面，激光跟蹤儀［3］、視覺跟蹤系統(tǒng)［4］和球桿儀［5］等能夠?qū)崿F(xiàn)高精度測量，為誤差修正提供標(biāo)準(zhǔn)量。 在參數(shù)識別方面，最小二乘法［6］具有原理簡單和計算量大的特點，LM 算法［7］、擴(kuò)展卡爾曼濾波［8］等是經(jīng)典的解決方法。然而，基于機(jī)器人運動學(xué)的建模僅能部分修正機(jī)器人的制造和裝配誤差，因此，結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差的占比不同，補(bǔ)償效果在整個空間不均勻，修正效果受到限制。

非結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差主要受桿件變形、溫度等方面的影響。Lubrano 等［9］通過在機(jī)器人上布置溫度傳感器測量其自身溫度，實現(xiàn)了溫度補(bǔ)償。Gong 等［10］研究了連桿柔性以及溫度對機(jī)器人的影響，連桿溫度的升高造成零件的膨脹，重力與載荷使連桿變形，難以直接消除。Nguyen 等［11］通過將參數(shù)辨識后的殘差作為ANN 模型的輸出，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角作為輸入，建立了機(jī)器人非結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差修正模型。部分學(xué)者通過將結(jié)構(gòu)參數(shù)與非結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差當(dāng)做整體，統(tǒng)一考慮，為機(jī)器人標(biāo)定提供了新的思路。Zeng 等［12］對機(jī)器人誤差進(jìn)行分析，提出了基于誤差相似性的精度補(bǔ)償方法。Guanbin 等［13］采用BP 神經(jīng)網(wǎng) 絡(luò)與粒 子群算法混合，搜索最優(yōu)變量，以補(bǔ)償運動學(xué)參數(shù)的誤差。趙俊偉等［14］采用空間差值法，自動調(diào)用之前庫內(nèi)補(bǔ)償值進(jìn)行補(bǔ)償。

相對于上述方法，支持向量回歸機(jī)（Support Vector Regression，SVR）整體考慮結(jié)構(gòu)與非結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差，將低維非線性自變量空間，轉(zhuǎn)至高維特征空間，使其實現(xiàn)可線性規(guī)劃的學(xué)習(xí)系統(tǒng)。同時，引入損失參數(shù)減小隨機(jī)誤差對預(yù)測模型的影響，能夠通過較少的訓(xùn)練樣本獲得較強(qiáng)的泛化能力，不易陷入局部最優(yōu)，結(jié)構(gòu)更簡單，學(xué)習(xí)效果更好［15-16］。

機(jī)器人的桿件變形、溫度變形等因素引起的非結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差會隨著機(jī)器人在工作空間的運動，產(chǎn)生一定規(guī)律的變化。網(wǎng)格劃分便成為解決這類問題的有效途徑，王一等［17］提出了扇形網(wǎng)格劃分方法，周煒等［18］采用網(wǎng)格劃分的方法實現(xiàn)了機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)與非結(jié)構(gòu)參數(shù)的誤差修正。

本文采用Universal robot 公司的UR5 機(jī)器人作為研究對象，采用MDH 模型為基礎(chǔ)，通過對工作空間進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并利用SVR 方法建立機(jī)器人轉(zhuǎn)角與機(jī)器人誤差之間的關(guān)系模型，以實現(xiàn)網(wǎng)格內(nèi)絕對定位誤差的補(bǔ)償。

2 機(jī)器人運動模型

機(jī)器人運動學(xué)建模的經(jīng)典方法是D-H 模型［1］，根據(jù)D-H 模型的描述，關(guān)節(jié)之間的轉(zhuǎn)換可以用4 個結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行描述。這4 個結(jié)構(gòu)參數(shù)是連桿長度a，連桿偏距d，連桿繞X 軸旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角α，以及關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ。

采用如圖1 所示的UR5 機(jī)器人作為研究對象，共有6 個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，其中有兩相鄰關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)軸系處于平行狀態(tài)，D-H 模型存在著病態(tài)性。為了克服這類問題，MDH 模型在D-H 模型的基礎(chǔ)上增加了繞Y 軸的轉(zhuǎn)動量β。在相鄰關(guān)節(jié)不平行時，β=0，僅當(dāng)兩相鄰關(guān)節(jié)平行時存在β。如圖2所示，采用MDH 模型可以獲得機(jī)器人相鄰連桿的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，以確定最末端坐標(biāo)值。連桿之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

圖1 UR5 機(jī)器人關(guān)節(jié)坐標(biāo)系示意圖Fig. 1 Schematic diagram of UR5 robot coordinate system

圖2 MDH 模型連桿坐標(biāo)系Fig. 2 Linkage coordinate system of MDH model

對于n自由度轉(zhuǎn)動機(jī)器人，末端位姿是各個連桿變換矩陣的乘積。機(jī)器人運動學(xué)模型為：

機(jī)器人末端工具的實際位置P=[Px Py Pz]T。由于各參數(shù)的理論值與實際值存在一定的偏差，所以機(jī)器人末端位置的實際值與理論值也不同，存在定位誤差e=P-P′，其單點絕對定位誤差在笛卡爾坐標(biāo)系中存在3 個方向的距離誤差ei∈R3。

3 支持向量回歸機(jī)理論

假 設(shè) 一 個 樣 本 集{(x1，y1)，(x2，y2)，…，x}(xm，ym) ，其中xi∈Rn作為樣本集自變量，yi∈R表示樣本集因變量。 使用非線性映射將數(shù)據(jù){x1，x2，…，xm}映射到高維空間F，再在高維空間進(jìn)行線性擬合。因此可以將函數(shù)關(guān)系式用公式（3）表達(dá)：

式中：w是將樣本數(shù)據(jù)映射到高維空間之后對應(yīng)的權(quán)重向量，b被稱為偏置項。

在利用SVR 進(jìn)行計算時，會引入?yún)?shù)ε的不敏感損失函數(shù)度量，如式（4）所示。若回歸函數(shù)誤差小于損失參數(shù)ε，忽略對回歸結(jié)果的影響，盡可能包含更多數(shù)據(jù)點。

根據(jù)樣本估計出回歸函數(shù)f(x)，使得yi與f(x)的差值都很小，將問題轉(zhuǎn)化為：

式（5）作為目標(biāo)函數(shù)?？紤]到部分樣本不能被正確分類，引入松弛因子ξi，ξi*≥0，懲罰因子C＞0，表示大于ε的樣本懲罰程度。式（5）是一個二次規(guī)劃問題，只要優(yōu)化求解方法滿足KKT條件，通常采用Lagrange 對偶問題解決方法，以及Lagrange 乘數(shù)法。引入拉格朗日乘子αi和α*i，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為：

式中K(xi，xj) 為核函數(shù)。通過選擇合適的核函數(shù)，不僅能提高預(yù)測模型的精度，而且能降低隨機(jī)噪聲對預(yù)測模型的影響和運算量。目前，常用的核函數(shù)及其特點如下：多項式函數(shù)，維數(shù)過高時其計算復(fù)雜度增加；線性函數(shù)，適用于輸入輸出維度相同的訓(xùn)練模型；sigmoid 函數(shù)，類似于多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，具有一定的局限性；徑向基函數(shù)（Radial Basis Function，RBF），對樣本要求低、應(yīng)用廣泛、靈活性高。由于機(jī)器人輸入輸出維度不同以及模型復(fù)雜度高，選擇RBF 進(jìn)行訓(xùn)練，具體表達(dá)式為：

通過指數(shù)關(guān)系，將輸入樣本空間映射到無限維空間，從而實現(xiàn)高精度非線性擬合。

4 機(jī)器人單點標(biāo)定誤差模型

具有旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的n-DOF（Degree of Freedom）機(jī)器人采樣樣本m個，建立樣本集{(θ1，e1)，(θ2，e2)，…，(θm，em) }T，θ∈Rn，為機(jī)器人n個轉(zhuǎn)角數(shù)值，ei為對應(yīng)在直角坐標(biāo)系中的誤差值。具有n旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的機(jī)器人的末端位置誤差可以表示為：ei=E(θ)=ωi，1θi，1+ωi，2θi，2+ …+ωi，nθi，n，（10）式中：ei= [exi eyi ezi]T，是機(jī)器人x，y，z3 個方向的誤差向量；ωij= [ωxij ωyij ωzij]T，表示結(jié)構(gòu)參數(shù)和非結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的轉(zhuǎn)角補(bǔ)償系數(shù)。誤差補(bǔ)償函數(shù)E(θ)是關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角與末端坐標(biāo)誤差的函數(shù)表達(dá)式。

圖3 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換示意圖Fig. 3 Coordinate conversion relationship

如圖3 所示，利用激光跟蹤儀測量機(jī)器人末端坐標(biāo)的笛卡爾坐標(biāo)值PMT，在理想結(jié)構(gòu)參數(shù)與運動學(xué)模型獲得機(jī)器人的理論末端坐標(biāo)值PST。采用RANSAC 快速轉(zhuǎn)換算法獲得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣PSM［19］。單點位置誤差表示為：

在采用式（12）進(jìn)行預(yù)測時，需要對平衡系數(shù)c，允許誤差ε，以及高斯核函數(shù)σ進(jìn)行選擇。隨著c的增加，訓(xùn)練時間變長，訓(xùn)練樣本集的標(biāo)準(zhǔn)均方差成反比例函數(shù)減小。高斯核函數(shù)σ越小，標(biāo)準(zhǔn)均方差越小。隨著允許誤差的減小，被考慮的樣本減少，標(biāo)準(zhǔn)均方差增大。綜合考慮，最終選定平衡系數(shù)c=100，允許誤差ε=0. 2，高斯核函數(shù)σ=2。

5 空間網(wǎng)格劃分

為提高SVR 模型的訓(xùn)練精度，降低非結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響，需要對機(jī)器人工作空間進(jìn)行劃分。網(wǎng)格劃分的好壞會直接影響機(jī)器人標(biāo)定的精度與速度。如圖4 所示，網(wǎng)格劃分按照機(jī)器人末端位置區(qū)域進(jìn)行形狀大小的分類。網(wǎng)格的大小與標(biāo)定結(jié)果在一定范圍內(nèi)成反比，網(wǎng)格越小，給實際操作帶來了很大的難度；網(wǎng)格越大，標(biāo)定結(jié)果越差。

圖4 機(jī)器人工作空間網(wǎng)格劃分Fig. 4 Grid division of robot workspace

網(wǎng)格劃分步驟如下：

（1）定義網(wǎng)格屬性，包括形狀和大小。若采用扇形網(wǎng)格劃分方法，結(jié)合機(jī)器人3 個基礎(chǔ)轉(zhuǎn)角進(jìn)行劃分，該方法比較貼合機(jī)器人的移動方式。但求解預(yù)測誤差是在笛卡爾坐標(biāo)系中，導(dǎo)致標(biāo)定效果并不理想。針對上述情況，本文采用如圖4所示的立方體結(jié)構(gòu)，便于最終的誤差修正，且標(biāo)定效果較好。立方體大小的選擇主要根據(jù)所需精度予以決策。根據(jù)洪鵬等對網(wǎng)格大小選取的分析［20］，本文采用100 mm×100 mm×100 mm 的正立方體結(jié)構(gòu)對UR5 機(jī)器人進(jìn)行網(wǎng)格劃分。

圖5 訓(xùn)練樣本量與標(biāo)定精度之間的關(guān)系Fig. 5 Relationship between training sample size and accuracy

（2）劃分網(wǎng)格，獲取采樣點集。機(jī)器人工作空間是一個球形，網(wǎng)格劃分采用立方體結(jié)構(gòu)，無法覆蓋所有空間，對于邊界空間，盡量減小網(wǎng)格大小，以實現(xiàn)準(zhǔn)確修正。在單一網(wǎng)格內(nèi)，采樣點數(shù)量對最終訓(xùn)練結(jié)果的影響結(jié)果如圖5 所示。標(biāo)準(zhǔn)偏差在0～10 個采樣區(qū)間快速下降，并在10～30 個采樣區(qū)間出現(xiàn)拐點，對誤差的修正效果趨于平穩(wěn)。在保證訓(xùn)練結(jié)果的前提下，采用較少的訓(xùn)練樣本可以減小采樣難度，也避免發(fā)生過擬合。因此，選擇20 個點為單一網(wǎng)格的采樣數(shù)目。

6 實驗結(jié)果及分析

如圖6 所示，采用U R 5 機(jī)器人作為研究對象，并利用A P I T racker T 3 激光跟蹤儀作為測量儀器，其測角精度為± 3. 5 μm /m，測長精度為±0. 5 μm/m。 UR5 機(jī)器人的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角Θ=[θ1，θ2，…，θm]T，θ∈R6，作 為 自 變 量 輸 入 模 型 。因變量分別為機(jī)器人末端x，y，z3 個方向的誤差值。

圖6 UR5 機(jī)器人與激光跟蹤儀實驗裝置Fig. 6 UR5 robot and laser tracker experimental setup

如圖7 所示，機(jī)器人臂長的20%～80% 區(qū)域作為中心位置，80%～100% 區(qū)域作為邊緣位置，劃分邊長為100 mm 的正立方體，每個網(wǎng)格內(nèi)隨機(jī)運動采樣120 個點，其中20 個點作為訓(xùn)練樣本。按照第4 節(jié)所述方法，獲得誤差值作為模型的因變量，對SVR 模型訓(xùn)練，以確定式（8）中的參數(shù)α，α*和b。 不同位置的預(yù)測結(jié)果如圖8 所示，x，y，z3 個方向的原始位置誤差和預(yù)測模型結(jié)果基本重合，并計算兩者相關(guān)系數(shù)的均值為0. 944，均趨近于1，表明訓(xùn)練效果較好。

圖7 UR5 機(jī)器人采樣位置選擇Fig. 7 Selection of UR5 robot sampling position

其余100 個采樣點作為驗證，評價SVR 的系數(shù)擬合結(jié)果。采用驗證樣本進(jìn)行驗證，并隨機(jī)抽取50 個點進(jìn)行觀察，得到如圖9 所示的驗證結(jié)果。由圖9 可知，不同位置的驗證結(jié)果和原始誤差的重合度較好。

為了驗證已提出方法的優(yōu)勢，與LM 算法進(jìn)行比較，結(jié)果如表1 所示。圖10 為不同位置修正前后絕對距離誤差示意圖。結(jié)果表明，機(jī)器人末端位置不同，會造成原始誤差分布不同，但定位精度均有明顯提高，且效果優(yōu)于LM 算法。

圖8 不同位置的訓(xùn)練結(jié)果Fig. 8 Training results at different positions

圖9 不同位置的驗證結(jié)果Fig. 9 Verification results at different positions

圖10 不同方法的絕對定位精度對比Fig. 10 Comparison of absolute accuracy between different methods

表1 不同方法的補(bǔ)償效果Tab. 1 Compensation effects of methods at different positions （mm）

7 結(jié) 論

結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差和非結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差是影響機(jī)器人末端單點定位精度的重要因素。本文采用SVR，同步考量結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差與非結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差。通過機(jī)器人轉(zhuǎn)角與末端絕對定位誤差的高維擬合，建立兩者之間的直接聯(lián)系，實現(xiàn)了位置誤差的預(yù)測與修正。實驗結(jié)果表明，將機(jī)器人中心位置與邊緣位置分別從2. 107 mm 和2. 182 mm，修正到0. 103 mm 和0. 123 mm，有效地提高了機(jī)器人的絕對定位精度。