章麗潔
(江蘇省常州市橫山橋高級(jí)中學(xué) 213119)
2018年全國Ⅱ卷文科第20題(理科第19題),這是一道以拋物線為背景的解析幾何問題,以拋物線的焦點(diǎn)弦為切入點(diǎn),通過求解焦點(diǎn)弦所在的直線方程以及滿足條件的圓的方程,淡化圓錐曲線的難度,巧妙把直線與圓錐曲線、直線與圓、圓與圓錐曲線的知識(shí)加以融合,降低解析幾何的難度,體現(xiàn)知識(shí)的交匯與綜合,提高能力,培養(yǎng)素養(yǎng).
高考真題(2018·全國Ⅱ卷文·20,理·19)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求過點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.
本題涉及拋物線的方程與幾何性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,焦點(diǎn)弦,直線的方程與斜率,圓的方程,直線與圓的位置關(guān)系等,考查函數(shù)與方程思想,數(shù)形結(jié)合思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想,考查運(yùn)算求解能力等.
當(dāng)我們審?fù)暌坏李}以后,要不斷領(lǐng)悟反思,多角度切入進(jìn)行深度挖掘,從而達(dá)到觸類旁通、一題多解的效果.不同的切入點(diǎn)有不同的解法,多點(diǎn)思維,多向開花.
解析(1)解法1:(官方標(biāo)準(zhǔn)答案——拋物線定義法)
因此l的方程為y=x-1.
解法2 (弦長(zhǎng)公式法)
由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
因此l的方程為y=x-1.
解法3(焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度公式法)
解法4 (參數(shù)方程法)
解法5 (極坐標(biāo)方程法)
(2)解法1 (官方標(biāo)準(zhǔn)答案——圓的性質(zhì)法1)
由(1)中的解法1得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.
因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
解法2(圓的性質(zhì)法2)由(Ⅰ)中的解法1得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.
羅增儒教授說過:“一旦獲解,就立即產(chǎn)生感情上的滿足,從而導(dǎo)致心理封閉,忽視解題后的再思考,恰好錯(cuò)過了提高的機(jī)會(huì),無異于入寶山而空返.”通過一題多解,培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)向機(jī)智及思維的應(yīng)變性,實(shí)現(xiàn)提高發(fā)散思維的變通性,提高知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用,從而應(yīng)用更多的知識(shí)來解決問題,獲得“一題多練”、“一題多得”的效果.