章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

關(guān)于數(shù)與形的聯(lián)系，華羅庚先生有詩曰：

數(shù)與形

本是相倚依

焉能分作兩邊飛

數(shù)缺形時少直觀 形缺數(shù)時難入微

數(shù)形結(jié)合百般好 隔離分家萬事休

切莫忘

幾何代數(shù)統(tǒng)一體 永遠聯(lián)系莫分離

這說明，當(dāng)我們把數(shù)、形統(tǒng)一起來考慮時，對這兩者的認(rèn)識都會變得更深刻；否則，將兩者孤立起來，那么數(shù)與形都不會走得太遠.“現(xiàn)代數(shù)學(xué)強調(diào)用代數(shù)的方法研究幾何，其本質(zhì)是通過幾何圖形建立直觀，通過代數(shù)運算刻畫規(guī)律.”([1],p.40)

以往高中數(shù)學(xué)課程都是將代數(shù)與函數(shù)放在一起.與此不同，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》首次設(shè)置了“幾何與代數(shù)”內(nèi)容主線，必修內(nèi)容包括平面向量、復(fù)數(shù)和立體幾何初步，選擇性必修內(nèi)容包括空間向量與立體幾何、平面解析幾何.如此設(shè)置的理由，“一是為代數(shù)、特別是線性代數(shù)的學(xué)習(xí)建立幾何直觀，這個幾何直觀對于學(xué)生的未來學(xué)習(xí)是非常重要的；二是讓學(xué)生知道如何用代數(shù)運算解決幾何問題，這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要研究手法.”([1],p.51)

顯然，要使數(shù)與形結(jié)合起來，需要橋梁，需要有數(shù)形結(jié)合的研究工具.笛卡爾發(fā)明了直角坐標(biāo)系，成功地在數(shù)與形之間搭建了橋梁，而向量概念的建立，則使我們有了“集數(shù)與形于一身的數(shù)學(xué)研究工具”.正如課程標(biāo)準(zhǔn)指出：向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富的物理背景.向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁.向量是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數(shù)學(xué)問題的基本工具，是進一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問題的基礎(chǔ)，在解決實際問題中發(fā)揮重要作用.

下面我們從平面向量開始討論幾何與代數(shù)主線的內(nèi)容.

1 課程定位

課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為，本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生理解平面向量的幾何意義和代數(shù)意義；掌握平面向量的概念、運算、向量基本定理以及向量的應(yīng)用；用向量語言、方法表述和解決現(xiàn)實生活、數(shù)學(xué)和物理中的問題.本單元的內(nèi)容包括：向量概念、向量運算、向量基本定理及坐標(biāo)表示、向量應(yīng)用.

分析課程標(biāo)準(zhǔn)的上述表述，可以得出如下認(rèn)識：

第一，向量是描述幾何圖形的基本工具，首先應(yīng)讓學(xué)生理解這是一種怎樣的工具，掌握它的語言、方法；

第二，向量是一種量，類比數(shù)量的研究經(jīng)驗，需要研究它的運算，有了運算才能用來刻畫幾何對象，否則它就只是一個“路標(biāo)”；

第三，幾何圖形組成元素的相互關(guān)系(位置關(guān)系、大小關(guān)系)就是它的基本性質(zhì)，所以如何用向量表示幾何基本元素是首先要解決的問題，這就是向量基本定理及其坐標(biāo)表示關(guān)注的問題；

第四，向量應(yīng)用范圍非常廣泛，但在高中，學(xué)習(xí)用向量法解決幾何問題是基本任務(wù).

2 內(nèi)容與要求

2.1 向量概念

(1)通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義.

(2)理解平面向量的幾何表示和基本要素.

2.2 向量運算

(1)借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義.

(2)通過實例分析，掌握平面向量數(shù)乘運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義.理解兩個平面向量共線的含義.

(3)了解平面向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義.

(4)通過物理中功等實例，理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數(shù)量積.

(5)通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.

(6)會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.

2.3 向量基本定理及坐標(biāo)表示

(1)理解平面向量基本定理及其意義.

(2)借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.

(3)會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運算與數(shù)乘運算.

(4)能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，會表示兩個平面向量的夾角.

(5)能用坐標(biāo)表示平面向量共線、垂直的條件.

2.4 向量應(yīng)用與解三角形

(1)會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實際問題，體會向量在解決數(shù)學(xué)和實際問題中的作用.

(2)借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理.

(3)能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題.

可以發(fā)現(xiàn)，課程標(biāo)準(zhǔn)按照“背景——概念——運算——聯(lián)系——應(yīng)用”的結(jié)構(gòu)給出內(nèi)容和要求，邏輯清晰、要求明確.

3 本單元的認(rèn)知基礎(chǔ)分析

本單元內(nèi)容對學(xué)生而言是全新的，“既有方向又有大小的量”在以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中沒有正式接觸過，但他們從許多途徑積累了學(xué)習(xí)向量所需要的認(rèn)知基礎(chǔ).無論對教材編寫還是對教學(xué)，追溯一個數(shù)學(xué)內(nèi)容的認(rèn)知基礎(chǔ)，都是為了明確教學(xué)的出發(fā)點.因此，我們應(yīng)把它放到其所在的知識系統(tǒng)中進行分析.

從哪些角度分析本單元的認(rèn)知基礎(chǔ)呢？顯然，我們應(yīng)該從向量這個研究對象的特點入手.

首先，向量是代數(shù)研究對象，所以代數(shù)學(xué)習(xí)中積累的知識經(jīng)驗是向量的認(rèn)知基礎(chǔ)之一，具體而言是運算對象的抽象與表示、運算體系的建立、通過運算解決問題的思想方法.所以，本單元內(nèi)容的處理要始終強調(diào)通過類比數(shù)及其運算學(xué)習(xí)向量及其運算.

第二，向量是幾何研究對象，所以在幾何學(xué)習(xí)中積累的知識經(jīng)驗是向量的另一個認(rèn)知基礎(chǔ)，具體而言是幾何對象的抽象與表示、圖形性質(zhì)的內(nèi)涵與發(fā)現(xiàn)等等.特別是，向量運算法則、運算律都有明確的幾何意義，而且是以平面幾何的相關(guān)定理作為邏輯基礎(chǔ)的.例如，向量加法的定義、交換律以平行四邊形的性質(zhì)定理為基礎(chǔ)，數(shù)乘向量的分配律以相似三角形的性質(zhì)定理為基礎(chǔ)，數(shù)量積的定義、運算律以勾股定理(余弦定理)為基礎(chǔ)等等.

第三，向量集數(shù)與形于一身，所以在研究過程中始終要從數(shù)與形兩個角度考慮，從向量的表示，到向量的運算定義和性質(zhì)，都是如此.向量是一個數(shù)形融合的工具，在應(yīng)用向量解決問題時(高中階段主要是幾何問題，如推導(dǎo)正弦定理、余弦定理等)，具有獨特優(yōu)勢，但這是學(xué)生以往經(jīng)驗中不具備的.所以，“向量法”的奧秘需要我們有意識地引導(dǎo)學(xué)生加強體驗.

第四，學(xué)生初次接觸用向量的語言表示幾何中的定性關(guān)系(例如直線、平面的平行、垂直)、定量關(guān)系(例如比例關(guān)系、三角形定理、平行四邊形定理)，對于其中蘊含的數(shù)學(xué)思想需要在解決問題的過程中逐步領(lǐng)會.學(xué)習(xí)語言的最好方法就是用語言去表達，要通過適當(dāng)?shù)慕忸}訓(xùn)練，讓學(xué)生形成用向量語言表達數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣.

第五，向量的概念、運算都有明確的物理背景，力、速度、位移、功等都是學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的，這為本章的學(xué)習(xí)打下了很好的基礎(chǔ).

4 內(nèi)容的理解與教學(xué)思考

4.1 向量是一個怎樣的數(shù)學(xué)對象

理解研究對象是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的首要一環(huán)，我們常說“理解基本概念”，其含義首先是理解研究對象.

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象.由此，我們可以從這兩種對象的特征入手做一些分析.

首先，幾何對象是圖形(點、線、面、體)和圖形的關(guān)系.向量作為幾何對象，主要是向量的幾何表示，用向量的語言表示空間圖形的概念、性質(zhì)、關(guān)系和變換等，這就賦予了向量的幾何屬性.

其次，代數(shù)對象是數(shù)量和數(shù)量關(guān)系，代數(shù)的核心是運算.向量作為代數(shù)對象，是指向量作為一個運算對象，就要研究關(guān)于向量的運算法則和相應(yīng)的運算律，以及通過向量運算解決數(shù)學(xué)和現(xiàn)實的問題.

4.2 向量是怎樣的基本工具

課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為，向量是描述幾何圖形的基本工具，這個工具有什么特點呢？

首先，向量集數(shù)與形于一身，因此數(shù)形結(jié)合成為它的內(nèi)在之意.利用它可以方便地為代數(shù)(特別是線性代數(shù))建立幾何直觀，同時也可以通過代數(shù)運算(向量運算)研究幾何規(guī)律.因此，向量是數(shù)學(xué)研究中的一個基本工具.

其次，向量集大小與方向于一身，為解決數(shù)學(xué)中最本質(zhì)的問題——度量，包括長度、角度，提供了有用、好用的工具.

第三，向量及其運算都有明確的物理背景，所以也是解決實際問題的重要工具.

4.3 如何構(gòu)建向量的研究路徑

盡管向量也是幾何研究對象，但對它的研究是按代數(shù)對象的研究路徑展開的，在此過程中通過對向量運算、運算律的幾何意義的研究以及用于解決幾何問題來體現(xiàn)其幾何屬性：背景引入——向量的概念與表示——向量的運算、運算律及其幾何意義——向量基本定理及坐標(biāo)表示——向量應(yīng)用.其中，向量基本定理處于向量理論與應(yīng)用的聯(lián)結(jié)點位置.

4.4 關(guān)于向量概念的教學(xué)

(1)引入向量概念要注意什么？

數(shù)學(xué)概念的引入要講背景.向量概念的引入，背景材料的選擇上要注意如下幾點：

典型性：位移、力、速度是典型的、學(xué)生熟悉的既有大小也有方向的量；

豐富性：要盡量舉不同領(lǐng)域的例子；

比較性：為了使概念清晰、可辨，比較是一個好方法，所以要提供比較對象，這里是以數(shù)量為比較對象，通過比較領(lǐng)悟向量的要素.

(2)向量概念的抽象要完成哪些事？向量的表示要“表示”什么？

這是向量概念教學(xué)要考慮的基本問題.向量概念的抽象按“共性特征的歸納——定義——表示——基本性質(zhì)”的套路進行：

定義，要給出向量的內(nèi)涵，規(guī)定向量相等的含義.這里，通過定義明確研究對象的內(nèi)涵，由此可以判斷一個元素是否屬于研究對象的集合.對于一個集合，我們要求其元素具有互異性，但對集合中的元素個體而言，其具體屬性是多樣化的，因此必須在定義對象的時候明確“相等”或“相同”的含義，由此也清楚了我們到底關(guān)心什么.由向量相等的定義知道，我們最關(guān)心的是“大小”和“方向”.我們知道，對線段、角的度量是幾何的本質(zhì)所在，而向量的大小本質(zhì)上就是線段的長度，兩個向量的方向差別就是它們所成角的大小，向量的這種特性使向量成為表示幾何圖形的基本工具.

向量的基本性質(zhì)，在定義一個研究對象時，我們總是要通過對基本性質(zhì)的研究，進一步認(rèn)識這個研究對象.“基本性質(zhì)”是指對象要素之間的基本關(guān)系.這里可以引導(dǎo)學(xué)生思考：數(shù)的基本性質(zhì)就是數(shù)的大小關(guān)系，向量的基本性質(zhì)是什么？

從“大小”看，就是向量長度的大小，與數(shù)的大小關(guān)系類似，所以不必專門研究；

從“方向”看，由“特殊關(guān)系”入手(這是討論基本性質(zhì)的基本著眼點)，有“同向”、“反向”和垂直，得到平行向量、共線向量等關(guān)系.

歸納起來，向量概念的教學(xué)就是要讓學(xué)生完成①定義向量概念，②認(rèn)識“平面向量集合”中的元素，可以概括為如下流程：

現(xiàn)實背景(力、速度、位移等)——定義——表示(圖形、符號、方向、大小)——特例(零向量、單位向量)——性質(zhì)(向量與向量的關(guān)系，相等是最重要的關(guān)系；重點考慮“方向”，得出平行向量、共線向量、相反向量等).

(3)為什么“向量是自由的”？

向量刻畫了現(xiàn)實事物的兩個最基本屬性——大小和方向，兩個向量如果方向相同，那么它們平行，而平行具有可傳遞性，所以向量可以“自由平移”.自由的向量才有力量！例如，如果向量不自由，那么“三角形法則”和“平行四邊形法則”就無法統(tǒng)一.由向量“自由性”，我們可以把向量平移，使所有向量的起點都與原點重合，這就可以使向量進一步代數(shù)化，將給問題的討論帶來方便.

4.5 定義向量運算應(yīng)遵循怎樣的原則

如何定義帶有方向的量的運算？

類比數(shù)及其運算的研究，引進一種量就要定義運算，定義一種運算就要研究運算律.

根據(jù)定義數(shù)的運算的經(jīng)驗，定義一種運算要講合理性，具體體現(xiàn)在兩個方面：數(shù)學(xué)內(nèi)部的和諧性，即要符合運算的一般規(guī)律；與現(xiàn)實背景相吻合，即要反映現(xiàn)實中相應(yīng)事物的規(guī)律性.

另一方面，位移、速度、力等是向量的現(xiàn)實背景，位移的合成、物體受力做功等反映了現(xiàn)實事物運動變化的客觀規(guī)律性，定義向量運算法則應(yīng)該與這些規(guī)律具有一致性.正因為如此，在定義向量運算法則時我們總是從相應(yīng)的物理背景出發(fā)，從中得到啟發(fā)并給出定義.

4.6 關(guān)于向量的加減

(1)如何說明向量加減運算法則的合理性？

定義向量的加減運算，關(guān)鍵是解決“方向的加減”.對照物理背景可知，加法的最佳背景是位移的合成、力的合成，分別對應(yīng)于三角形法則和平行四邊形法則；減法的最佳背景是物體受力平衡.

圖1

圖2

由此可以得到：

由圖2還可得：

于是

所以，把向量減法定義為“減去一個向量等于加上它的相反向量”，符合數(shù)學(xué)內(nèi)部的和諧性、與客觀世界規(guī)律無矛盾的要求.

根據(jù)向量加法、減法的定義，對于△ABC，我們有：

上述(*)式稱為“三角形回路”，可以推廣為

這一“向量回路”在解決幾何問題時有基本的重要性.

(2)如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出運算性質(zhì)？

學(xué)生對運算律是熟悉的，但他們可能并不知道為什么一定要研究運算律，對其重要性沒有多大感覺.究其原因，一是運算律基本上就是“常識”，屬于不學(xué)也會的知識；二是其重要性要在代數(shù)的理論構(gòu)建中才能顯示出來，對學(xué)生而言還沒有到這個時候.對于這種觀念性的東西，教師要從數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性角度加強引導(dǎo).

運算性質(zhì)與運算對象的特征有直接關(guān)系.因為向量有大小(代數(shù))和方向(幾何)兩個要素，所以運算性質(zhì)也要從代數(shù)和幾何兩個方面來考慮.

首先，類比數(shù)的加法運算律，容易想到向量加法的交換律、結(jié)合律，利用定義就可以驗證.教學(xué)實踐表明，有的學(xué)生不知道到底要驗證什么，他們往往機械地畫出兩個圖形(如圖3)：

圖3

另外一點是學(xué)生不太清楚加法的交換律與平行四邊形性質(zhì)之間的邏輯關(guān)系(其實有的老師也不清楚)，這里要讓學(xué)生思考一下這個問題，使他們明確，加法交換律是平行四邊形性質(zhì)的代數(shù)表示.也就是說，交換律的成立是以平行四邊形性質(zhì)為邏輯基礎(chǔ)的：如圖4，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，有

圖4

由向量加法定義，有

所以

這里再次強調(diào)，因為向量集大小與方向這兩個最基本的幾何要素于一身，所以向量運算及其運算律也必然反映了最基本的幾何性質(zhì)，因此向量是描述和研究幾何圖形的基本工具.對此，人教A版在本單元的小結(jié)中進行了總結(jié).形成這樣的觀念是具備數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的表現(xiàn)，教師應(yīng)有意識地進行引導(dǎo).

對運算律幾何意義的考察，立足點在運算.直接從幾何角度看運算，可以從兩個向量的特殊關(guān)系入手，發(fā)現(xiàn)如下問題值得研究：共線向量的加法有什么特殊性，不共線時有什么幾何特征.

對于共線向量的加法，實際上和實數(shù)的“代數(shù)和”完全一致，人教A版讓學(xué)生自己探究這個問題，可以培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系的觀點、分類討論的能力.

當(dāng)a，b不共線時，|a|，|b|，|a+b|構(gòu)成三角形的三邊，可得三角形不等式.

4.7 數(shù)乘向量

(1)數(shù)乘向量運算律的邏輯基礎(chǔ)是什么？

數(shù)與向量相乘，是兩個不同數(shù)學(xué)對象之間的運算，運算結(jié)果是向量.也就是說，這里的“主角”是向量，為什么呢？

類比“自然數(shù)的乘法是自相加的縮寫”，可以提供直觀背景：n個向量a相加的和定義為na，即

另外，(-n)a=n(-a)=-(na)，這可以根據(jù)相反向量的意義進行說明.

由上述定義，可以驗證下列運算律：

Ⅰ.ma+na=(m+n)a；

Ⅱ.m(na)=(mn)a；

(*)

Ⅲ.na+nb=n(a+b).

在上述定義下，可以證明運算律(*)依然成立.

最后，像從有理數(shù)集拓展到實數(shù)集一樣，我們可以將數(shù)的范圍擴展到實數(shù)，得到a的任意實數(shù)倍λa，而且運算律(*)仍然成立.

這里要特別提醒注意，運算律λ(a+b)=λa+λb，它的本質(zhì)就是相似三角形對應(yīng)邊成比例定理的代數(shù)化形式：

圖5

所以，數(shù)乘向量分配律的邏輯基礎(chǔ)是相似三角形定理.

(2)如何理解向量共線定理？

人教A版先給出向量共線定理：

設(shè)a是非零向量，則向量b與a共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使b=λa.

然后說：設(shè)非零向量a位于直線l上，那么對于l上的任意一個向量b，都存在唯一一個實數(shù)λ，使b=λa.也就是說，位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示.([2]，p.15)

實際上，這就是“一維向量基本定理”.在此基礎(chǔ)上，我們可以給出相應(yīng)的坐標(biāo)表示，這與平面向量基本定理及坐標(biāo)表示是一樣的.

因為一維向量基本定理及其坐標(biāo)表示非常直觀，人教A版為了削支強干而沒有詳細(xì)討論這一內(nèi)容.但教學(xué)中可以讓學(xué)生研究一下這個內(nèi)容，讓他們通過數(shù)軸上的單位向量，建立數(shù)軸上的向量與數(shù)軸上點的坐標(biāo)之間的一一對應(yīng)關(guān)系，既作為共線向量定理的應(yīng)用，又為平面向量的坐標(biāo)表示打下基礎(chǔ).

4.8 向量的數(shù)量積

從前面的討論可以看到，向量的線性運算有實數(shù)運算的“影子”，共線向量的線性運算本質(zhì)上就是實數(shù)的運算，但兩個向量的乘法與數(shù)的乘法差異很大.數(shù)學(xué)中定義了兩種向量乘法，一種是向量的數(shù)量積(也稱內(nèi)積、點乘)，結(jié)果是一個實數(shù)；一種是向量的矢量積(也稱外積、叉積)，結(jié)果是一個向量.它們都有明確的物理意義和幾何意義.

(1)如何理解

向量數(shù)量積的物理背景是力對物體做功，即力F作用在物體上，并使物體在力的方向上產(chǎn)生位移s，這個力對物體做了功，其大小是W=|F||s|cosθ，其中Fcosθ是力F在位移s方向上的投影，θ是向量F與s的夾角.

受此啟發(fā)，定義向量的數(shù)量積概念：兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積，記為

a·b=|a||b|cosθ.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

顯然，|a|cosθ是向量a在b方向上的投影，|b|cosθ是向量b在a方向上的投影.

數(shù)量積的上述定義，與物理規(guī)律相吻合，與數(shù)的乘法法則也不矛盾：

設(shè)a，b是共線向量，那么θ=0或π.θ=0時，a·b=|a||b|；θ=π時，a·b=-|a||b|.這與“同號兩數(shù)相乘得正，異號兩數(shù)相乘得負(fù)”是異曲同工的.

(2)如何研究數(shù)量積的幾何意義？

從定義可以直接發(fā)現(xiàn)，數(shù)量積的幾何意義表現(xiàn)在向量的長度和夾角兩個方面.如何研究幾何意義呢？與研究向量線性運算的幾何意義一樣，我們從特殊情形(要素的特殊化、關(guān)系的特殊化)入手.觀察定義，特殊情形包括：

①兩個向量有一個取“特殊值”單位向量，如b=e，則有

a·e=e·a=|a|cosθ，

這實際上就是一個向量在另一個方向上投影的數(shù)量.

②兩個向量的方向有特殊關(guān)系，包括

i)當(dāng)a⊥b時，a·b=0；

③由定義可得

這實際上就是余弦定理.由|cosθ|≤1還可以得到

④|a·b|≤|a||b|，這就是三角形不等式.

⑤我們對數(shù)量積做如下變形(要用分配律)：

這里a，b，a+b是三角形的三邊.由此可見數(shù)量積與三角形的三條邊長|a|，|b|，|a+b|之間的關(guān)系.

(3)數(shù)量積的運算律有什么重要意義？

類比數(shù)的乘法運算律，可以提出數(shù)量積是否也有運算律的問題.已知向量a，b，c和實數(shù)λ，由向量的數(shù)量積定義可以推出下面的運算律：

①a·b=b·a；

②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；

③(a+b)·c=a·c+b·c.

運算律的證明不難，關(guān)鍵是要讓學(xué)生在運用中逐步明白它們的價值.例如，利用分配律可以得到：

(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2，

這是平行四邊形的一條性質(zhì)，用向量數(shù)量積的分配律非常容易地得到了證明.而用向量法研究幾何圖形的度量性質(zhì)，主要依靠數(shù)量積的分配律.

4.9 向量基本定理及坐標(biāo)表示

(1)向量基本定理“基本”在哪里？

在中學(xué)數(shù)學(xué)里，冠以“基本”的定理不多見，足見這一定理的重要性.如前所述，因為這一定理給出了用向量表示平面上任意一點的充要條件，所以從理論上講，我們就可以憑借它將平面圖形的基本元素作出向量表示，這樣就可以通過向量運算解決任何幾何問題.

利用向量表示空間基本元素，將空間的基本性質(zhì)和基本定理的運用轉(zhuǎn)化成為向量運算律的系統(tǒng)運用，其要點是：

圖6

點——根據(jù)向量的自由性，選平面內(nèi)的一個點O為“基準(zhǔn)點”，以O(shè)為向量的起點，這時就可以建立起向量的終點與平面內(nèi)的點之間的一一對應(yīng)關(guān)系.當(dāng)然，這個對應(yīng)與O點的選取有關(guān)，如圖6：

直線——一個點A、一個方向a就定性刻畫了一條直線.引進數(shù)乘向量ka，那么直線上任意一個點就可以用實數(shù)定量表示，進而得到一維向量的坐標(biāo)表示.

平面——一個點A、兩個不平行(非0)向量a，b在“原則”上確定了平面(定性刻畫，這與“兩條相交直線確定一個平面”有異曲同工之效)，因此把{a，b}叫做平面的一個基底.引入向量的加法a+b，結(jié)合數(shù)乘向量(向量伸縮)，平面上的任意一點X就可以表示為λa+μb，從而成為可定量運算的對象.

(2)給定一個基底，平面上的任意一個向量就可以由它唯一表示.怎樣的基底更好用？

設(shè){ex，ey}是一個單位基底，ex，ey的夾角為θ.我們有

這就可以把點的向量表示和平面直角坐標(biāo)系中的有序數(shù)對建立一一對應(yīng)關(guān)系.也就是說，在平面直角坐標(biāo)系中，我們不但可以用坐標(biāo)(x，y)標(biāo)記平面上點的位置，而且也可以用坐標(biāo)表達平面上的向量：

在x軸、y軸上分別取與坐標(biāo)軸方向相同的單位向量i，j，以{i，j}為基底，這時我們有

i·i=j·j=1，i·j=j·i=0.

如圖7所示，對坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一個向量a，因為向量是自由的，所以可以想象它的起點在原點.由向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得a=xi+yj.

圖7

這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x，y唯一確定，而且有序數(shù)對(x，y)恰好就是向量a的終點坐標(biāo)，這就是平面直角坐標(biāo)系中向量與點的坐標(biāo)之間的一一對應(yīng)關(guān)系.其中，

i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).

x，y分別叫做向量a在橫軸和縱軸方向的分量.

(3)為什么要研究向量的坐標(biāo)表示？

一個明顯而主要的理由是，利用向量的坐標(biāo)表示，可以把向量的運算化歸為其分量的運算，這樣就實現(xiàn)了用向量表示幾何基本元素，通過實數(shù)運算研究幾何圖形和圖形的關(guān)系，從而也就徹底實現(xiàn)了幾何對象的代數(shù)化.用代數(shù)方法刻畫幾何對象，進而用代數(shù)方法論證幾何關(guān)系，其中間橋梁就是向量.具體而言我們有：

設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，λ為實數(shù)，θ是a與b的夾角，那么

(i)a+b=(x1+x2，y1+y2)；

(ii)λa=(λx，λy)；

(iii)a·b=x1x2+y1y2.

由向量運算的坐標(biāo)表示，可以得出許多有用的結(jié)論，例如：

(i)當(dāng)且僅當(dāng)x1y2-x2y1=0時，向量a，b(b≠0)共線；

(iii)P1(x1，y1) ,P2(x2，y2) 兩點間的距離公式：

(iv)夾角公式：

5 幾何中的向量法

5.1 向量法有哪些特點

其次，向量法是利用運算律、通過向量運算解決幾何問題，而代數(shù)運算是程序化的，這和平面幾何中用演繹法、通過邏輯推理解決問題的味道大不相同.實際上，平面幾何中證明問題并沒有通用方法.

第三，向量法中使用的幾個“一般定理”是：向量加法法則及運算律；向量數(shù)乘的意義及其運算律；向量數(shù)量積的意義和運算律；向量基本定理.

綜上可見，這幾個“一般定理”對最基本的幾何圖形性質(zhì)作出了向量表達，從而也就奠定了解決幾何問題的基礎(chǔ).由此出發(fā)，利用向量表達基本幾何元素，通過向量運算解決問題，而運算的過程實際上就是利用基本幾何圖形性質(zhì)的過程.所以我們說，向量集數(shù)與形于一身，向量運算既是數(shù)的運算，也是“圖形的運算”，根據(jù)圖形的基本特征，利用圖形中元素的基本關(guān)系列出向量等式，使計算與圖形融為一體，這是體現(xiàn)向量法解題特點的關(guān)鍵.

5.2 關(guān)于余弦定理、正弦定理的證明方法

課程標(biāo)準(zhǔn)提出：“借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理.”根據(jù)這個要求，人教A版采用向量法證明這兩個定理.可以發(fā)現(xiàn)，用向量法證明余弦定理非常簡捷(但不容易想到)，而用向量法證明正弦定理則非常繁瑣(這也說明，在解決具體問題時，向量法并不總是最優(yōu)方法).另外，從向量的應(yīng)用切入“解三角形”的課題也不夠自然.

如何自然而然地引入“解三角形”課題呢？

首先，這個課題的起點在初中平面幾何的全等三角形判定定理(初中教科書成為“基本事實”).由SAS，ASA，SSS可知，三角形的形狀、大小已經(jīng)由這三組要素分別唯一確定.這是定性的結(jié)論.

數(shù)學(xué)的研究往往是先做定性探究，再做定量分析.這是一個由表及里、逐步精確、精益求精的自然進展.從定量的角度看，上述三個定理表明，三角形的任意元素可由這三組要素分別唯一確定，即三角形的三邊邊長、三個內(nèi)角的角度、面積、高、外徑、內(nèi)徑等等幾何量都可以用這三組要素分別表示，這些幾何量之間存在的基本函數(shù)關(guān)系就是三角定律.那么，如何推導(dǎo)這些基本關(guān)系？

(1)正弦定理的推導(dǎo)

三角形面積是基本而重要的，由SAS容易知道，對于△ABC，設(shè)A，B，C所對邊分別是a，b，c，那么：

簡單變形即得正弦定理.由正弦定理直接可得ASA的解.

因為面積是基本而重要的幾何量，三角形面積公式很容易得到，而正弦定理就是面積等式的推論，因此正弦定理的推導(dǎo)應(yīng)首選這個方法.

另外一種常用方法是從銳角三角函數(shù)出發(fā)建立正弦定理的猜想，然后給出證明，而證明又化歸到直角三角形中去.這里需要注意的是如何使猜想來得自然，其要點是抓聯(lián)系的紐帶，即在

①

中以c為紐帶，將兩者聯(lián)系起來，得到

②

再利用sinC=1，從形式的統(tǒng)一性上將上式改寫為

③

人教A版在引導(dǎo)學(xué)生猜想的過程中強調(diào)了如下幾點：

第一，①中的邊角關(guān)系對一般三角形是不成立的；

第二，①的兩個關(guān)系式有共同要素，由此可以建立聯(lián)系，得到一個新的邊角關(guān)系式；

第三，表達形式的改變，使其變得具有對稱性，和諧優(yōu)美的表達恰恰反映了三角形的本質(zhì)特征，可以看成是“對稱支配力量”的體現(xiàn).

在科學(xué)發(fā)展史上，以對稱美、和諧美、統(tǒng)一性等為指導(dǎo)思想，從理論上先猜想結(jié)論，再通過實踐證實的事例很多.上述做法可以理解為使學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的文化價值、審美價值的一個小小舉措.

(2)余弦定理的推導(dǎo)

圖8

從“自然”的角度看，在利用圖8，通過asinB=CD=bsinA等證明正弦定理的基礎(chǔ)上，繼續(xù)利用它得出

c=bcosA+acosB.

①

同理有

a=ccosB+bcosC，

②

b=acosC+ccosA.

③

解方程組①②③即可得出余弦定理.

這個證法運算比較復(fù)雜，并且需要分銳角三角形和鈍角三角形討論.能不能改進方法，使證明簡捷一些呢？

6 教學(xué)建議

向量的數(shù)學(xué)內(nèi)涵深刻、有明確的物理背景，是一種有用的數(shù)學(xué)語言，是數(shù)形結(jié)合的強有力工具.本單元的教學(xué)有兩個基本任務(wù)，一是讓學(xué)生理解這種語言，二是讓學(xué)生通過用向量語言、方法表述和解決平面幾何問題，初步掌握向量法，形成用向量的習(xí)慣.中學(xué)階段主要通過解決幾何問題，讓學(xué)生體悟向量法的簡捷，感受向量的力量.

6.1 向量的教學(xué)中存在的主要問題

(1)對向量及其運算的理解還不夠到位，特別是對“向量集數(shù)與形于一身”的含義、“方向”的重要性及其數(shù)學(xué)表達的意義、用向量研究圖形位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的優(yōu)勢等缺乏必要的思考.

(2)沒有反映向量法的本質(zhì)，披著向量法的外衣，實際上還是綜合幾何的方法.

(3)把向量法中的代數(shù)化曲解為“坐標(biāo)運算”，窄化了向量法的應(yīng)用范圍.

為此，我們需要加深對“方向”的重要性的認(rèn)識，加強從四個“一般定理”出發(fā)思考和解決問題的教學(xué)，加強“代數(shù)運算”和“圖形運算”的結(jié)合.

6.2 加強學(xué)科之間的聯(lián)系

向量的概念、運算都有明確的物理背景，因此向量的教學(xué)必須引導(dǎo)學(xué)生借助物理背景，如：

位移、速度、力等——向量的定義與表示；

位移的合成——向量加法的三角形法則，力的合成——向量加法的平行四邊形法則；

物體受力平衡——相反向量、向量的減法法則；

物體受力做功——向量的數(shù)量積；

力的分解——平面向量基本定理、“基底”概念和向量的坐標(biāo)表示.

另外，還要加強應(yīng)用向量解決物理問題，從而使學(xué)生體會向量與實際的聯(lián)系.

6.3 加強數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系與綜合

由內(nèi)容本身所決定，向量的學(xué)習(xí)必須注重形與數(shù)的結(jié)合.應(yīng)該在一開始就采取措施讓學(xué)生養(yǎng)成從形與數(shù)兩方面看向量、用向量的習(xí)慣：

向量的概念與表示，相伴相隨的是大小、方向、有向線段表示、代數(shù)表示，建立向量的直觀形象和代數(shù)抽象表達；

建立向量的運算體系，“運算法則”和“幾何定理”、“運算律”和“運算的幾何性質(zhì)”都是融合一起的；

向量投影、投影向量，向量基本定理的幾何直觀與代數(shù)表達；

用向量解決幾何問題，對象是幾何圖形及其關(guān)系，方法是代數(shù)運算；等等.

6.4 加強類比，按研究一個數(shù)學(xué)對象的基本套路展開有序教學(xué)

與數(shù)及其運算的研究進行類比，與對一個幾何圖形的研究套路進行類比，形成向量的研究內(nèi)容與架構(gòu)、基本路徑、基本方法等等.

通過與數(shù)及其運算的類比，得出整體架構(gòu)：運算對象——運算法則——運算性質(zhì)——聯(lián)系與綜合——應(yīng)用；

通過與研究幾何圖形的類比，得出整體架構(gòu)：向量的圖形表示——向量運算的幾何意義(性質(zhì))——幾何圖形元素與關(guān)系的向量表示——通過向量運算研究幾何圖形的性質(zhì)與度量；等等.

6.5 在一般觀念指導(dǎo)下展開研究

在本單元的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生思考和體會一些基本問題，例如：

如何抽象一個運算對象，定義一個運算對象要完成哪幾件事情；

引入一種量就要研究關(guān)于它的運算，定義一種運算就要研究運算律；有了運算，向量的力量無限；沒有運算，向量只是一個路標(biāo)；

向量運算的幾何意義(幾何性質(zhì))，就是與特殊向量相關(guān)的運算、兩個有特殊關(guān)系的向量的運算所表現(xiàn)的特殊性；

向量基底表示向量中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，特別是單位正交基的使用；

向量法——先用幾何眼光觀察，再用向量法解決；等等.

6.6 加強用“幾個一般定理”解決問題的訓(xùn)練

向量的加法法則、數(shù)乘向量、向量的數(shù)量積和向量基本定理等幾個“一般定理”的靈活應(yīng)用需要一定的訓(xùn)練，要讓學(xué)生養(yǎng)成用向量思考和解決幾何問題的習(xí)慣.

三角形、平行四邊形是最基本的幾何圖形，平行、垂直是最基本的關(guān)系，幾個“一般定理”是對這些基本圖形和基本關(guān)系的向量表達.要注意利用這幾個“一般定理”，加強用向量的語言和方法處理平面幾何中基本問題的訓(xùn)練.例如，線段的定比分點，余弦定理、正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明，三角形的“心”的性質(zhì)，平行四邊形中邊、對角線之間的關(guān)系，等等.

6.7 關(guān)于投影向量

投影向量是本次課標(biāo)修訂中引入的概念.

圖9