李方琦

( 北京郵電大學(xué) 理學(xué)院, 北京 100089)

由于交易市場(chǎng)的擴(kuò)大、客戶需求的差異以及金融衍生品市場(chǎng)的完善，金融機(jī)構(gòu)涉及到多種期權(quán)。在眾多的期權(quán)中，除了標(biāo)準(zhǔn)歐式和美式期權(quán)外，還有許多基于標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)的奇異期權(quán)[1]。由于奇異期權(quán)可以根據(jù)客戶的不同需求進(jìn)行設(shè)計(jì)，交易方式和價(jià)格比標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)更加靈活，結(jié)構(gòu)比標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)更加獨(dú)特，風(fēng)險(xiǎn)管理能力更強(qiáng)。隨著奇異期權(quán)在金融市場(chǎng)中地位的不斷提高，有必要對(duì)奇異期權(quán)的定價(jià)進(jìn)行研究?；@子期權(quán)[2]是一種奇異期權(quán)，是一種多資產(chǎn)期權(quán)，通常用于許多外匯交易中進(jìn)行對(duì)沖。多重標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的加權(quán)平均值決定了籃子期權(quán)的到期收益率。一般來(lái)說(shuō)，籃子期權(quán)的成本效率更高。因此，本文研究股票價(jià)格服從Heston波動(dòng)率模型[3]的一籃子期權(quán)，推導(dǎo)期權(quán)價(jià)格滿足的偏微分方程(PDE)。

大多數(shù)基于期權(quán)定價(jià)的連續(xù)時(shí)間模型沒有閉合解。即使有閉合解，由于其特殊的形式，也很難快速求解。因此，在許多情況下，使用數(shù)值方法來(lái)解決這個(gè)問題，如蒙特卡羅、二叉樹模型、三叉樹模型等。多倫多大學(xué)的辛頓在2006年首次提出了深度學(xué)習(xí)的定義。它是以樣本數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過(guò)一定的訓(xùn)練方法進(jìn)行機(jī)器學(xué)習(xí)的過(guò)程[4]。從此，深度學(xué)習(xí)的序幕拉開。Jentzen等[5-6]克服確定性數(shù)值逼近方法的局限性(維度詛咒)，提出了一種基于深度學(xué)習(xí)的高維數(shù)值逼近方法。在高維籃子期權(quán)數(shù)值解研究較少的基礎(chǔ)上，本文將深度學(xué)習(xí)方法應(yīng)用于籃子期權(quán)定價(jià)。

1 模型介紹

假設(shè)：

(a) 稅收和交易成本可以忽略不計(jì)；

(b) 沒有套利；

(c) 標(biāo)的資產(chǎn)不分紅，交易可以無(wú)限分割；

(d) 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率r是一個(gè)常數(shù)。

波動(dòng)率滿足Cox, Ingersoll and Ross提出的短期收益率模型：

其中：k是常數(shù)，并且每個(gè)θi(方差過(guò)程的平均水平)也是常數(shù)。

一籃子期權(quán)[2]在T時(shí)刻的價(jià)格定義為

其中K是期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格。通過(guò)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)，一籃子期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)格為

通過(guò)Feynman-Kac公式[7],期權(quán)價(jià)格F(t,s,v)滿足下列PDE：

(1)

本文的目標(biāo)是計(jì)算式(1)中的期權(quán)價(jià)格F(t,s,v)。

2 算法描述

為了近似式(1)中的F(t,s,v)，本文簡(jiǎn)單地介紹[5]中提出的基于深度學(xué)習(xí)的倒向隨機(jī)微分方程(BSDE)求解算法。

2.1 算法的理論基礎(chǔ)

假設(shè)(Ω,F,P*)是一個(gè)給定的概率空間,T>0,l∈,并且函數(shù)F=F(t,x)∈C1,2([0，T〗×l,)滿足：

(2)

式中：f:l××l→和g:l→是連續(xù)函數(shù)；μ:[0,T]×l→l和σ:[0,T]×l→l是Lipschitz連續(xù)函數(shù)。

假設(shè)W:[0,T]×Ω→l是一個(gè)l維布朗運(yùn)動(dòng)，=(t)t∈[0,T]是定義在(Ω,F,P*)上的流(filtration)。E?l是單連通區(qū)域。隨機(jī)過(guò)程Y:[0,T]×Ω→和Z:[0,T]×Ω→l滿足下列方程：

(3)

偏微分方程(2)和隨機(jī)微分方程(3)的關(guān)系為

(4)

方程組(4)中第一個(gè)方程通常稱為Feynman-Kac公式[8]。

2.2 算法概述

簡(jiǎn)要介紹基于深度學(xué)習(xí)的數(shù)值BSDE算法[6]。首先由一組FBSDE開始：

對(duì)于上述前向和倒向過(guò)程，使用Euler scheme[9]和Milstein scheme[10]后得到：

Xti+1≈Xti+μ(ti,Xti)(ti+1-ti)+σ(ti,Xti)(Wti+1-Wti)，

(5)

Yti+1≈Yti-f(Xti,Yti,Zti)(ti+1-ti)+Zti(Wti+1-Wti)。

(6)

這里，把BSDE轉(zhuǎn)化為前向過(guò)程。這組過(guò)程在本文中有如下解釋：Xti由標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格和波動(dòng)率Sti,Vti構(gòu)成；Yti是期權(quán)的價(jià)格(這點(diǎn)由Feynman-Kac公式可得)；Zti代表ti時(shí)刻的Yti對(duì)Xti的偏導(dǎo)數(shù)。

算法的步驟可簡(jiǎn)要概括為：

第一步：從標(biāo)的資產(chǎn)在0時(shí)刻的價(jià)格X0和猜測(cè)的初始值Y0,Z0開始。在數(shù)值BSDE算法中，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，用參數(shù)θ來(lái)逼近各時(shí)間點(diǎn)的Zti項(xiàng)。

第二步：使用式(5)、式(6)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似得到的Zti計(jì)算每一個(gè)Xti和Yti,直到T時(shí)刻。

第三步：在終端時(shí)刻，定義損失函數(shù)為E[(YT-g(XT))2]。采用隨機(jī)梯度下降法，通過(guò)迭代到Y(jié)0,Z0和θ的最優(yōu)值，使損失函數(shù)最小化。

3 數(shù)值模擬

3.1 d維籃子期權(quán)

把一籃子期權(quán)定價(jià)問題代入2.2節(jié)算法中，有

向量ei∈l,滿足

e1=(1,0,0,…，0,0)，e2=(0,1,0，…，0,0)，…，el=(0,0,0,…，0,1)，對(duì)任意t1,t2∈(0，T]，x=(x1,x2,…，xl)=(s1,…，sd,v1,…，vd),ω=(ω1,ω2,…，ωl)∈l,在籃子期權(quán)中，關(guān)于x的迭代函數(shù)[9-10]式(5)為

且一籃子期權(quán)的價(jià)格F(t,s,v)滿足的偏微分方程為式(1)。

3.2 數(shù)值結(jié)果

本文的每個(gè)數(shù)值模擬都是使用TENSORFLOW 1.8.0在PYTHON中執(zhí)行的，繼續(xù)討論神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解衍生期權(quán)定價(jià)問題。

表1 期權(quán)價(jià)格隨迭代步數(shù)的變化Tab.1 Changes of option prices with steps

為了得到期權(quán)價(jià)格F(t=0,x=(100,…,100,1,…,1))的近似值，將本文算法程序獨(dú)立運(yùn)行5次，記下每次運(yùn)算期權(quán)價(jià)格和損失函數(shù)的變化。在計(jì)算過(guò)程中以蒙特卡羅方法得到的期權(quán)價(jià)格8.125作為精確解來(lái)計(jì)算一階相對(duì)誤差。

圖1 5次模擬期權(quán)價(jià)格的變化情況Fig.1 Changes of option price in 5 simulations

5次模擬期權(quán)價(jià)格隨迭代步數(shù)的變化關(guān)系如圖1所示，為了使趨勢(shì)更加明顯本文使用了lg坐標(biāo)。圖1中5條曲線最后接近于同一數(shù)值，說(shuō)明該算法穩(wěn)定。

4 結(jié)束語(yǔ)

隨機(jī)微分方程和偏微分方程在金融衍生品定價(jià)模型中有著廣泛的應(yīng)用，通常它們的解析解是無(wú)法得到的，設(shè)計(jì)和分析能夠近似求解的數(shù)值方法一直是活躍的研究課題。本文系統(tǒng)地描述了利用深度學(xué)習(xí)求解籃子期權(quán)的偏微分方程。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法是準(zhǔn)確穩(wěn)定的，有助于將該方法應(yīng)用到其他期權(quán)定價(jià)中。