吳玉敏,劉麗敏

(中國(guó)石油大學(xué)勝利學(xué)院 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院,山東 東營(yíng) 257000)

眾所周知,傳染病對(duì)中國(guó)社會(huì)帶來(lái)了重要的影響,幾十年來(lái),人們一直認(rèn)為傳染病在宿主中的傳播主要是通過(guò)病毒顆粒。最早,在文獻(xiàn)[1],[2]中,Nowak,Bonhoeffer等針對(duì)已感染細(xì)胞、健康細(xì)胞和游離病毒三者的相互作用生態(tài)關(guān)系,建立了具有“病毒-細(xì)胞”感染方式的模型,他們建立的模型較好地反應(yīng)了宿主細(xì)胞與病毒之間的相互作用,故成為了常用的基本模型[3]。然而,文獻(xiàn)[4]的研究表明,感染細(xì)胞可以通過(guò)接觸方式感染健康細(xì)胞。文獻(xiàn)[5]建立了“細(xì)胞-細(xì)胞”感染方式的HIV-1模型,并對(duì)模型的穩(wěn)定性性質(zhì)進(jìn)行了研究,得到了保證各平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件。筆者綜合考慮細(xì)胞-細(xì)胞感染和病毒-細(xì)胞之間感染的兩種感染方式,建立了病毒感染模型,并對(duì)模型的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行了嚴(yán)格的分析。

1 模型的建立和平衡點(diǎn)的存在性假設(shè)

(1) 病毒感染健康的細(xì)胞之后,健康的細(xì)胞變?yōu)橐迅腥镜募?xì)胞;

(2) 已感染的細(xì)胞和健康的細(xì)胞接觸,健康的細(xì)胞轉(zhuǎn)變?yōu)橐迅腥镜募?xì)胞;

(3) 新的細(xì)胞以常數(shù)率產(chǎn)生;

(4) 未感染的細(xì)胞、已感染的細(xì)胞、病毒粒子成比例死亡。

構(gòu)建病毒傳播流程,如圖1所示:

圖1 病毒傳播流程圖

這里x(t)表示t時(shí)刻未感染的細(xì)胞的濃度,y(t)表示t時(shí)刻已感染的細(xì)胞的濃度,v(t)表示t時(shí)刻病毒離子的濃度,s,m,β,β1,b,r,δ均為常數(shù),且大于0,s表示新的細(xì)胞的產(chǎn)生率,m表示健康的細(xì)胞的死亡率,β表示細(xì)胞的感染率,β1表示病毒的感染率,b表示感染細(xì)胞的死亡率,r表示死亡細(xì)胞溶解產(chǎn)生病毒的產(chǎn)生率,δ表示病毒被清除的速率。

建立下列細(xì)胞-細(xì)胞和病毒-細(xì)胞感染方式的病毒感染模型

(1)

假設(shè)模型(1)滿足以下初值條件

x(0)>0,y(0)≥0,v(0)≥0.

(2)

易知具有初值條件(2)的模型(1)的解是恒為正的。

定義基本再生數(shù)為

證明:根據(jù)平衡點(diǎn)的求解方法,解代數(shù)方程組

當(dāng)y≠0,v≠0時(shí),由ry-δv=0得

(3)

將式(3)代入βxy+β1xv-by=0得

(4)

因?yàn)関≠0,所以有

(5)

2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

模型(1)的雅可比矩陣為

2.1 平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

定理2當(dāng)R0≤1時(shí),E0是局部穩(wěn)定的,否則是不穩(wěn)定的。

證明:模型(1)在E0處的雅可比矩陣為

即

(6)

當(dāng)R0≤1,即bmδ≥βsδ+β1sr時(shí),可得

因此λ2<0,λ3<0,此時(shí)無(wú)病平衡點(diǎn)是局部穩(wěn)定的。

證明:模型(1)在E1處的雅可比矩陣為

則特征多項(xiàng)式

|λE-J(E1)|=(λ+δ)[(λ+m+βy*+β1v*)(λ+b)-(λ+m)βx*]=0

(7)

可得λ=-δ,或

λ2+Aλ+B=0

(8)

其中

A=mR0+b-βx*,B=mbR0-mβx*.

2.2 平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

定理4 當(dāng)R0≤1時(shí),E0是全局漸近穩(wěn)定的。

證明:構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

顯然,對(duì)于模型(1)的正解,V(t)>0,且

故由Lasalls不變集原理可知,當(dāng)R0≤1時(shí),E0是全局漸近穩(wěn)定的。

證明:構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

從而有

V′(t)≤(s+mx*+by*+kδv*)-(mx*+βx*y*)y0-

這里

又因?yàn)楫?dāng)R0<1-4β1b2δ(sr-b)時(shí)

4sδb2-(4sbβδ+4β1b2)x*+(bδ-βδx*)2v*=

3 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證文中幾個(gè)定理的正確性,考慮以下模型,進(jìn)行數(shù)值模擬。

根據(jù)建立的模型(1),選取s=0.5,β=0.1,δ=0.2,β1=0.1,r=0.2,m=0.4,b=0.4,得到模型(9)

(9)

計(jì)算可知R0=0.625,于是模型(9)滿足定理4的條件,所以模型(9)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的。利用Matlab軟件,進(jìn)行數(shù)值模擬,得到圖2,圖2支持這一結(jié)論。

圖2 模型(9)數(shù)值模擬

選取s=0.4,β=0.6,δ=0.95,β1=0.9,r=0.85,m=0.5,b=0.75,得到模型 (10)

(10)

通過(guò)圖2可以看出,即使初始狀態(tài)有人群被感染,疾病最終也會(huì)消失。圖3說(shuō)明短時(shí)間內(nèi)感染人數(shù)達(dá)到峰值,然后慢慢減少,最后穩(wěn)定在地方病平衡點(diǎn)處。

圖3 模型(10)數(shù)值模擬

4 結(jié) 論

(1)利用代數(shù)的方法,計(jì)算得到了系統(tǒng)無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)。