華南師范大學(xué)(510631) 邱 勇 何小亞

1 復(fù)數(shù)發(fā)展史的概述

1.1 初露端倪

復(fù)數(shù)產(chǎn)生的最初緣由在于數(shù)學(xué)家們遇到了負(fù)數(shù)開平方的問題. 最早記載負(fù)數(shù)開方的文獻(xiàn)是公元1 世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家海倫所著的《度量論》,他在書中討論了“平頂金字塔不可能問題”. 這個(gè)問題描述如下:

如圖1 所示的正棱臺(tái), 上下底面分別是邊長(zhǎng)為b和a的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)為c,求此時(shí)的高h(yuǎn)?海倫推導(dǎo)出h可以由一個(gè)漂亮的式子給出(推導(dǎo)過程已由圖中給出提示,感興趣的讀者可以自行嘗試),即

圖1

海倫還給a,b,c賦了具體的數(shù)值進(jìn)行舉例,如令a= 10,b=2,c=9,就可以利用公式(1)求出h的值:

但是, 海倫隨后又舉了一個(gè)特殊的例子, 他令a= 28,b=4,c=15,此時(shí)繼續(xù)用公式(1)計(jì)算h的值:

從而,海倫得到了一個(gè)不可能存在的“平頂金字塔”,對(duì)于這個(gè)結(jié)果海倫并沒有過多的討論,但這的確是數(shù)學(xué)史上首次對(duì)負(fù)數(shù)開方的記載. 不論海倫是有意還是無意地忽視這個(gè)結(jié)果,他都錯(cuò)過了首次發(fā)現(xiàn)虛數(shù)的機(jī)會(huì).

其后,許多的數(shù)學(xué)家都遇到了類似的問題. 例如,古希臘最偉大的數(shù)學(xué)家丟番圖在《算術(shù)》一書中已經(jīng)遇到了“不可約”的一元二次方程336x2+24=172x. 12 世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅也曾指出:“正數(shù)與負(fù)數(shù)的平方都是正數(shù),正數(shù)的平方根有兩個(gè),一個(gè)正,一個(gè)負(fù). 但是負(fù)數(shù)沒有平方根,因?yàn)樗皇且粋€(gè)平方數(shù). ”歐洲的學(xué)者,12 世紀(jì)西班牙的巴希亞、13 世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契、15 世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家帕西沃里和法國(guó)數(shù)學(xué)家丘凱在討論一元二次方程的根時(shí)都遇到了的情形.

1.2 萌芽時(shí)期

如果說以上只是虛數(shù)的初露端倪,那么16 世紀(jì)意大利米蘭數(shù)學(xué)家卡當(dāng)算是第一個(gè)認(rèn)真討論虛數(shù)的人了. 卡當(dāng)提出了這個(gè)問題: 如何把10 分成兩部分,使它們的乘積為40. 這個(gè)問題的實(shí)質(zhì)是解一元二次方程x(10-x) = 40,顯然這是一個(gè)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解的方程. 但是卡當(dāng)先把10 等分,得到兩個(gè)5,相乘得25,減去40 得-15. 5 分別減去和加上-15的平方根就得到根為然后說“不管會(huì)受到多大的良心責(zé)備”,把相乘,得乘積為25-(-15)或即40. 于是他說,“算術(shù)就是這樣神妙地搞下去的,它的目標(biāo),正如常言所說,是又精致又不中用的”.卡當(dāng)包括當(dāng)時(shí)的其他數(shù)學(xué)家都承認(rèn)一個(gè)負(fù)數(shù)是沒有平方根,所以才會(huì)如此說. 實(shí)際上,卡當(dāng)還會(huì)遇到負(fù)數(shù)開放問題. 1545年通常被視為數(shù)學(xué)領(lǐng)域現(xiàn)代時(shí)期的開始, 因?yàn)榫驮谶@一年不僅三次方程、而且四次方程的解因?yàn)榭ó?dāng)?shù)摹洞笱苄g(shù)》而變成了常識(shí). 卡當(dāng)在《大衍術(shù)》中用文字記載了三次方程的解法,用去了兩頁(yè)的篇幅(雖然這個(gè)公式可能要?dú)w功于另一名數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞). 我們用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言來表達(dá)方程x3+px=q的求根公式:

如果說在求解一元二次方程時(shí),例如x2+2=0,x2=1,代數(shù)學(xué)家還可以說此類方程是不可解的,從而避免了對(duì)負(fù)數(shù)開方(古希臘的數(shù)學(xué)家就是這么做的). 那么,當(dāng)一個(gè)三次方程的三個(gè)根都是非零實(shí)數(shù)時(shí),公式(2)就無法避免要對(duì)負(fù)數(shù)開方了.

例如, 求解x3= 15x+4, 可得x=這種情形塔爾塔利亞稱為不可約. 卡當(dāng)在《大衍術(shù)》中也對(duì)方程的復(fù)數(shù)根略而不提. 復(fù)數(shù)的發(fā)展還有很長(zhǎng)的路要走.

長(zhǎng)久以來,數(shù)學(xué)家們產(chǎn)生了思維定勢(shì),認(rèn)為負(fù)數(shù)開方?jīng)]有意義,對(duì)虛數(shù)的研究也被擱置了. 直到20 多年后,另一位意大利數(shù)學(xué)家拉法耶爾· 邦貝利在其著作《代數(shù)》第一卷的后半部分再次對(duì)三次方程的根進(jìn)行了討論. 他發(fā)現(xiàn)方程x3=15x+4 有三個(gè)實(shí)數(shù)根可見4 是這個(gè)方程的唯一正根.

而運(yùn)用公式(2)計(jì)算出的結(jié)果是x=+于是,邦貝利有了自己所說的“一個(gè)瘋狂的想法”,僅僅在符號(hào)上不同,于是他假設(shè):

根數(shù)本身之間的關(guān)系,在很大程度上與被開方數(shù)之間的關(guān)系是一樣的;我們?nèi)缃裾f,它們是得出實(shí)數(shù)4 的共軛復(fù)數(shù).很明顯,如果實(shí)數(shù)部分之和等于4,那么,各實(shí)數(shù)部分都是2;如果一個(gè)形如的數(shù)是的立方根,那么很容易看出,b必定是1. 于是可以得到:

邦貝利通過他的巧妙推理,不僅讓負(fù)數(shù)開方有了一定的意義而且讓我們看到了共軛復(fù)數(shù)未來將起的重要作用. 不僅如此,邦貝利還用了先進(jìn)的符號(hào)表示負(fù)數(shù)開方的數(shù). 例如,他把2+3i 寫為2p dim3, 2+3i 寫為2m dim3. 邦貝利亦呈現(xiàn)了這些新數(shù)的運(yùn)算法則, 用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言書寫就是(bi)(ci)=-bc,(bi)(-ci)=bc,和如今是一致的.

時(shí)間來到17 世紀(jì),虛數(shù)并沒有被重視起來. 但是一直延續(xù)下來沒有中斷的一門研究是求解多項(xiàng)式方程. 早在1608年德國(guó)數(shù)學(xué)家羅特就認(rèn)識(shí)到n次方程有n個(gè)根. 后來是1629年荷蘭數(shù)學(xué)家阿爾伯特·吉拉德在他的著作《代數(shù)學(xué)的新發(fā)現(xiàn)》中給出了代數(shù)基本定理的第一個(gè)明確表述“每一個(gè)代數(shù)方程容許有同方程的次數(shù)同樣多的解”,但他并沒有給出證明. 正因?yàn)榧掠辛诉@樣的認(rèn)識(shí),他承認(rèn)一個(gè)方程給定的解可能會(huì)出現(xiàn)不止一次,在統(tǒng)計(jì)解的個(gè)數(shù)時(shí)還應(yīng)把虛根計(jì)入在內(nèi),即使他把虛根稱為不可能的. 在他自己舉例子x4+3 = 4x中,他注意到有四個(gè)根1,1,-1±面對(duì)這些不可能的解時(shí),吉拉德直言“它們有三方面的好處: 一是因?yàn)槟苤С忠话惴▌t;二是因?yàn)樗鼈冇杏?再者,因?yàn)槌酥庠贈(zèng)]有別的解”.至于這些不可能的解到底有什么用,吉拉德也沒有說明.

另一名17 世紀(jì)的數(shù)學(xué)家笛卡爾也對(duì)解方程很感興趣,但他更關(guān)心的是方程解的作圖問題. 笛卡爾在其著作《幾何學(xué)》第三卷的末尾明確地示范了一些高次方程的作圖方法.尤其是三次或四次的方程, 他使用拋物線與圓相交的方法.通過幾何直觀來描述根時(shí),笛卡爾意識(shí)到若圓和拋物線既不相交也不相切,這表明方程既無真(正)根也無假(負(fù))根,此時(shí)所有的根都是虛的.他還給這些虛的根取了我們延用至今的名稱“虛數(shù)”(imaginary number), 也即他認(rèn)為這些數(shù)只存在于想象之中. 這從笛卡爾《方法論》中最有名的一段引言“我思故我在”可以窺見一斑,因?yàn)樗幌嘈拍切┳悦鞯挠^念為真.

微積分的主要奠基人萊布尼茨相對(duì)次要的貢獻(xiàn)是對(duì)復(fù)數(shù)的研究. 1627年,萊布尼茨研究方程的解時(shí),得到式子:

得出這令人吃驚的結(jié)果后, 萊布尼茨說到:“在一切分析中, 我從來沒有見過比這更奇異、更矛盾的事實(shí)了. 我覺得自己是第一個(gè)不通過開方而將虛數(shù)形式的根化為實(shí)數(shù)值的人.”萊布尼茨寫信給荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯這一事實(shí), 惠更斯也表示驚訝:“含有虛數(shù)的不可開根相加結(jié)果竟然就是一個(gè)實(shí)數(shù), 這一結(jié)果令人驚訝, 前所未有. 人們絕不相信這里面隱藏著我們無法理解的東西”. 然而,萊布尼茨并沒有按照標(biāo)準(zhǔn)的形式來書寫復(fù)數(shù)的平方根,他也不能證明他的猜想: 若f(z)為實(shí)數(shù)多項(xiàng)式,則也是實(shí)數(shù)多項(xiàng)式. 萊布尼茨亦是一名杰出的神學(xué)家,他用一段話表明了自己的困惑:“虛數(shù)是一種兩棲動(dòng)物,處在存在與不存在之間,在這方面類似于基督教神學(xué)中的‘圣靈’”.

1.3 應(yīng)用時(shí)期

盡管對(duì)于18 世紀(jì)的數(shù)學(xué)家來說,復(fù)數(shù)是“虛數(shù)”,方程復(fù)數(shù)根是禍根. 與復(fù)數(shù)相關(guān)的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用卻不斷. 棣莫弗在他1730年版的《分析雜論》中,表述了下面這個(gè)公式:

這個(gè)公式可以看作鼎鼎大名的棣莫弗公式(cosθ+i sinθ)n=cosnθ+i sinnθ的等價(jià)物.

1747年,達(dá)朗貝爾在其獲獎(jiǎng)?wù)撐摹蛾P(guān)于風(fēng)的一般成因的考慮》中認(rèn)為: 每一個(gè)由復(fù)數(shù)經(jīng)過代數(shù)運(yùn)算(包括任意次冪)建立起來的式子都是一個(gè)形為的復(fù)數(shù). 在給出這個(gè)結(jié)論的過程時(shí),他遇到的困難是(a+bi)g+hi的情形. 關(guān)于這個(gè)結(jié)論,還必須經(jīng)過歐拉和拉格朗日以及其他人的修補(bǔ).歐拉在1748年給出那個(gè)著名的關(guān)系式eiθ= cosθ+i sinθ,若令θ=π就有eiπ+1 = 0,這個(gè)關(guān)系式包含了復(fù)數(shù)系中最重要的5 個(gè)數(shù).

歐拉與達(dá)朗貝爾因?yàn)閷?duì)一些命題的興趣相同, 1757年以前, 它們的通信一直很頻繁. 歐拉給達(dá)朗貝爾的信中討論了復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù), 他也正確地解決了復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)問題. 但是無論是歐拉還是其他的數(shù)學(xué)家, 復(fù)數(shù)究竟是什么,還是不清楚的,即使歐拉在1777年給出了延用至今的符號(hào)

例如,歐拉在他的《對(duì)代數(shù)的完整介紹》中說:“因?yàn)樗锌梢韵胂笾械臄?shù)都或者比0 大,或者比0 小,或者等于0,所以很清楚,負(fù)數(shù)的平方根不可能包括在可能的數(shù)(實(shí)數(shù))中.從而我們必須說它們是不可能的數(shù). 然而這種情況使我們得到這樣一種數(shù)的概念,它們就其本性說來是不可能的數(shù),因而通常叫做虛數(shù)或者幻想中的數(shù),因?yàn)樗鼈冎淮嬖谟谙胂笾?”

事實(shí)上,復(fù)數(shù)的運(yùn)用十分廣泛,萊布尼茨在用部分分式求積分時(shí)也用到了復(fù)數(shù),達(dá)朗貝爾、高斯對(duì)代數(shù)基本定理的證明和流體力學(xué)中也必須承認(rèn)復(fù)數(shù)的存在.

1.4 復(fù)數(shù)的幾何意義

正是基于以上與復(fù)數(shù)相關(guān)的發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用,數(shù)學(xué)家們逐漸重視研究復(fù)數(shù)試圖給出復(fù)數(shù)幾何解釋. 雖然沒有被重視,但早在1685年沃里斯已經(jīng)給出過復(fù)數(shù)的幾何解釋,他是通過解釋二次方程根的幾何意義來進(jìn)行的. 我們?cè)O(shè)二次方程為

其根為

圖2

圖3

因此當(dāng)b ≥c時(shí)它是實(shí)根. 此時(shí),根可以用實(shí)數(shù)直線上兩點(diǎn)P1,P2表達(dá),該直線由圖2 所示的幾何作圖所決定. 當(dāng)b ＜c時(shí), 從Q出發(fā)的線段太短, 不能到達(dá)實(shí)數(shù)直線, 所以“P1,P2不可能在該直線上”,因而沃利斯“在線外(在同一平面)”去尋找它們,他的想法是正確的. 但他為P1,P2找到的位置并不恰當(dāng),它們跟他的第一次作圖結(jié)果太接近了,如圖3所示.

顯然, 沃利斯認(rèn)為+ 和-應(yīng)該仍然對(duì)應(yīng)著“右方”和“左方”,這將會(huì)導(dǎo)致不可接受的推論i=-i(在表達(dá)式中令b →0).

真正作出虛數(shù)合理解釋的是韋塞爾,他出生于挪威的仲斯拉,在丹麥科學(xué)院作了多年的測(cè)量員. 1797年,韋塞爾向丹麥科學(xué)院遞交論文《方向間的解析表示,特別應(yīng)用于平面與球面多邊形的測(cè)定》, 其中用+1 表示正方向的單位, +ε表示另一種單位,方向與前者垂直且有相同的原點(diǎn). 并記作=ε,cosv+εsinv,除了虛數(shù)單位的符號(hào)不同之外,和現(xiàn)代復(fù)數(shù)平面的表示法一致. 可惜的是,韋塞爾的論文是用丹麥文寫成的并沒有得到學(xué)術(shù)界的注意.

瑞士的阿爾岡也為復(fù)數(shù)的幾何解釋做出了貢獻(xiàn), 復(fù)數(shù)的三角形式便是由他最初提出來的. 1806年,他出版了《幾何作圖中虛數(shù)的表示法》. 后來, 于1814年, 在熱爾崗納(Gergonne)的《數(shù)學(xué)年鑒》上有記載. 雖然韋塞爾是最先提出復(fù)數(shù)合理幾何解釋的作者,但由于韋塞爾的論文在據(jù)第一次發(fā)表的100 周年,才被重新翻譯成法文發(fā)表. 韋塞爾的貢獻(xiàn)也就沒有得到及時(shí)的認(rèn)可,所以復(fù)數(shù)平面才叫做阿爾岡平面而不是韋塞爾平面(Argang plane).

眾所周知,復(fù)數(shù)的幾何表示最終是由高斯完善的. 高斯的一生十分重視代數(shù)基本定理的證明,而代數(shù)基本定理的證明又依賴于對(duì)復(fù)數(shù)的承認(rèn),這就促使高斯去鞏固復(fù)數(shù)的地位.1831年,高斯正式發(fā)表有關(guān)復(fù)數(shù)幾何表示的論文. 他不僅將復(fù)數(shù)表示為復(fù)平面上的一點(diǎn),而且闡述了復(fù)數(shù)的幾何與乘法.從而高斯說到,“從幾何表示法中,人們看到的直觀意義的證明完全有了依據(jù),而不需要更多的理由才能將這些量納入算術(shù)領(lǐng)域之中”. 同時(shí),為了區(qū)別a+bi 和i,高斯首先提出了復(fù)數(shù)(complex number)這個(gè)名詞.

1.5 理論建立

由于以前的通訊不發(fā)達(dá), 新知識(shí)的傳播是十分緩慢的.整個(gè)18 世紀(jì)和19 世紀(jì)上半葉都在熱烈的爭(zhēng)論著復(fù)數(shù)的意義. 直到1837年,愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密爾頓發(fā)表了論文《共軛函數(shù)理論以及作為純粹時(shí)間科學(xué)的代數(shù)學(xué)》, 他指出復(fù)數(shù)a+bi 不是2+3 意義上的一個(gè)真正的和,加號(hào)的使用只是歷史的偶然,而a是不能加到bi 上去的. 哈密爾頓對(duì)復(fù)數(shù)a+bi的代數(shù)表示進(jìn)行了天才般的處理,a+bi 不過是有序?qū)崝?shù)偶(a,b). 哈密爾頓給這種數(shù)偶定義了加法和乘法,如:

并且哈密爾頓證明了這兩種運(yùn)算具有封閉性, 而且滿足交換律和結(jié)合律. 當(dāng)然, 復(fù)數(shù)也是包括實(shí)數(shù)的, 因?yàn)橹恍枰宐=0 就可以了. 就這樣,哈密爾頓將復(fù)數(shù)用純代數(shù)的方法定義起來了而不需要作幾何解釋. 事實(shí)上哈密爾頓推廣了有序?qū)崝?shù)偶的思想,通過長(zhǎng)期的摸索,他將維數(shù)推至四維,發(fā)明了四元數(shù).

此后,復(fù)數(shù)蓬勃發(fā)展. 許多數(shù)學(xué)家躋身研究復(fù)數(shù),如庫(kù)莫爾、克羅內(nèi)克、喬治·皮科克、德摩根等. 莫比烏斯發(fā)表了大量的復(fù)數(shù)幾何論文, 狄利克雷將許多實(shí)數(shù)概念推廣至復(fù)數(shù),如素?cái)?shù).

2 復(fù)數(shù)教學(xué)的思考

2.1 復(fù)數(shù)教學(xué)的研究

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 版)》指出:“復(fù)數(shù)是一類重要的運(yùn)算對(duì)象,有廣泛的應(yīng)用. 本單元的學(xué)習(xí),可以幫助學(xué)生通過方程求解,理解引入復(fù)數(shù)的必要性,了解數(shù)系的擴(kuò)充,掌握復(fù)數(shù)的表示、運(yùn)算及其幾何意義.”國(guó)內(nèi)各個(gè)版本的高中數(shù)學(xué)教材引入復(fù)數(shù)的理由也一般是為使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解的一元二次方程有解,如方程x2+1 = 0 無實(shí)數(shù)解,為了解決負(fù)數(shù)開平方問題,需要引入新數(shù)i 使得i2=-1. 對(duì)此,許多學(xué)者表示不滿,認(rèn)為使一元二次方程有復(fù)數(shù)解而引入虛數(shù)單位i 不夠有說服力,隨即對(duì)復(fù)數(shù)的教學(xué)展開了進(jìn)一步的研究.

孔凡海、王金文、吳現(xiàn)、潘瑞娜等人在做復(fù)數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)融入了數(shù)學(xué)史,將數(shù)學(xué)家卡當(dāng)曾經(jīng)研究的問題“如何把10 分成兩部分使得它們的乘積為40”展現(xiàn)給學(xué)生來引發(fā)學(xué)生思考,使學(xué)生產(chǎn)生心理矛盾,進(jìn)而教師提出為解決負(fù)數(shù)開方問題應(yīng)引入虛數(shù). 張小明、趙瑤瑤、閆東同樣利用了數(shù)學(xué)史進(jìn)行復(fù)數(shù)教學(xué),他們化用了萊布尼茨對(duì)虛數(shù)的研究成果,即(7)式,兩個(gè)復(fù)數(shù)的和為實(shí)數(shù). 他們給學(xué)生提出了這樣的問題: 已知x+y ＞0,且x2+y2= 2,xy= 2. (1)求解x+y;(2)求出x與y. 學(xué)生能計(jì)算出但無法分別求出x和y. 顯然,x和y是方程x2-+2 = 0 的兩個(gè)根,而這個(gè)方程是沒有實(shí)數(shù)根的. 但是,x+y=√又表明x和y是存在的.由此,引發(fā)學(xué)生的思考,考慮當(dāng)Δ＜0 時(shí),方程的根應(yīng)如何表示. 為了解決這一問題需要引入新數(shù)i,達(dá)到數(shù)域的擴(kuò)充.

司徒超旋、李昌官、李敏瑜等人則利用卡當(dāng)?shù)囊辉畏匠糖蟾揭霃?fù)數(shù), 當(dāng)一個(gè)三次方程的三個(gè)根都是非零實(shí)數(shù)時(shí), 求根公式就無法避免要對(duì)負(fù)數(shù)開方. 例如, 方程x3-7x+6 = 0 利用賦值法得到的三個(gè)根為x= 1,2,-3.然而利用求根公式得到的結(jié)果是:

教師向?qū)W生指出賦值法與公式法求出根的一致性,數(shù)學(xué)家卡當(dāng)曾經(jīng)進(jìn)一步計(jì)算出上式有:

然后,教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生討論負(fù)數(shù)能否開方,進(jìn)行虛數(shù)的引入.

盧建川認(rèn)為,為使x2+1=0 這類方程有解不是引入復(fù)數(shù)的真正原因,復(fù)數(shù)的產(chǎn)生不僅是因?yàn)閺?fù)數(shù)能解決三次方程求解問題,更因?yàn)槠渚哂械奈锢肀尘? 因此,他對(duì)復(fù)數(shù)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重構(gòu),利用平面向量的旋轉(zhuǎn)和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)解釋i2=-1的幾何意義. 如圖4 所示,1×(-1) =-1 可以看作數(shù)軸上對(duì)應(yīng)1 的點(diǎn)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到-1 對(duì)應(yīng)的點(diǎn).而1 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的是縱軸上的i,所以1×i = i,即一個(gè)實(shí)數(shù)乘i 可以看作幾何意義上的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,就有i2=-1,如圖5 所示. 劉露對(duì)盧建川重構(gòu)的復(fù)數(shù)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了問題驅(qū)動(dòng)的復(fù)數(shù)教學(xué)實(shí)驗(yàn).

圖4

圖5

2.2 理解復(fù)數(shù)概念的理論基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)概念具有二重性,它的發(fā)展往往要經(jīng)歷由過程到對(duì)象的兩個(gè)階段. 例如,x+y既可以看作x加上y的運(yùn)算過程,也可以看作運(yùn)算的結(jié)果. 審視復(fù)數(shù)的發(fā)展史,數(shù)學(xué)家們?nèi)绻芽醋鲃?dòng)態(tài)的過程,對(duì)-1 開方,就會(huì)認(rèn)為這是不合理的,這種數(shù)只能存在于想象之中;如果經(jīng)歷了動(dòng)態(tài)的過程而把看作一個(gè)對(duì)象進(jìn)行運(yùn)算,如就會(huì)產(chǎn)生新的理解. 于是把當(dāng)作對(duì)象處理, 用i 表示可以用來四則運(yùn)算、求對(duì)數(shù)、積分等,高一級(jí)的數(shù)學(xué)概念就形成了,棣莫弗公式,歐拉恒等式也就出來了. 所以,作為對(duì)象的概念,在某一個(gè)層次和更高一級(jí)層次之間起著一種樞紐作用.綜上所述,復(fù)數(shù)概念的理解需要將復(fù)數(shù)對(duì)象化,將視作一個(gè)整體看待.

2.3 復(fù)數(shù)概念的認(rèn)知途徑

人類獲得概念的方式有三種: 概念的形成、概念的同化、概念的順應(yīng). 概念的形成是指從大量的具體例子出發(fā),歸納概括出一類事物的共同本質(zhì)屬性的過程;概念的同化是指學(xué)習(xí)者利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的觀念來理解接納新概念的過程;而概念的順應(yīng)則是指當(dāng)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能同化新概念時(shí),就要調(diào)整或改變?cè)械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu),以便概括新概念. 概念的形成實(shí)質(zhì)上是對(duì)具體事物共同本質(zhì)屬性的概括,比較接近與人類自發(fā)形成概念的過程. 概念的同化則較多地依賴于原有的概念,是認(rèn)知水平達(dá)到一定程度的人獲得概念的主要方式.教師在選取復(fù)數(shù)概念引入的方式時(shí),應(yīng)注意到高中學(xué)生在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)之前已經(jīng)建立了“負(fù)數(shù)不能開方”這一認(rèn)知圖式,他們?cè)械臄?shù)概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)難以吸收復(fù)數(shù)的概念. 顯然,概念的形成和概念的同化都不適合作為復(fù)數(shù)概念的引入方式. 因此,教師應(yīng)當(dāng)選取概念的順應(yīng)這一方式來引入復(fù)數(shù),通過調(diào)整或改變學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu),以便同化復(fù)數(shù)的概念.

2.4 復(fù)數(shù)教學(xué)的想法

復(fù)數(shù)概念教學(xué)的難點(diǎn)在于讓學(xué)生了解復(fù)數(shù)引入的必要性、合理性和使學(xué)生以整體的眼光、以數(shù)的眼光看待a+bi.為突破這兩個(gè)教學(xué)難點(diǎn),首先我們應(yīng)選取概念的順應(yīng)這一方式來引入復(fù)數(shù),具體的做法是融入數(shù)學(xué)史幫助學(xué)生建立新觀念:“海倫的‘平頂金字塔不可能問題’和公式法求解一元三次方程都存在負(fù)數(shù)開方問題”. 其次,z=a+bi 中加號(hào)的使用只是偶然,a是不能加到bi 上去的,復(fù)數(shù)概念從過程到對(duì)象的轉(zhuǎn)變需要通過復(fù)數(shù)的幾何意義——平面向量,才能明了.

2.4.1 創(chuàng)設(shè)復(fù)數(shù)引入的問題情境

問題一: 如圖6 所示的正棱臺(tái),上下底面分別是邊長(zhǎng)為b和a的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)為c,棱臺(tái)的高為h. 古希臘數(shù)學(xué)家海倫推導(dǎo)出h可以由一個(gè)漂亮的式子給出,即h=問:若a=28,b=4,c=15,求此時(shí)的高h(yuǎn)?

圖6

問題二: 數(shù)學(xué)家卡當(dāng)在其著作《大術(shù)》中給出了一元三次方程x3+px=q的求根公式

易知方程(x-1)(x-2)(x-3) = 0 的三個(gè)根為x=1,2,3;試將此方程化為x3+px=q的形式并用求根公式求解,你會(huì)得到怎么樣的結(jié)果?

教師若直接向?qū)W生介紹為使x2+1=0 這樣的方程有解而引入復(fù)數(shù),他們會(huì)產(chǎn)生認(rèn)知上的困難. 利用以上兩個(gè)問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考,改變學(xué)生原有的觀念,從而使其認(rèn)識(shí)到存在負(fù)數(shù)開方問題. 又因?yàn)樗载?fù)數(shù)開方就歸結(jié)為對(duì)-1 開方,引入新數(shù)也就順理成章了.

2.4.2 復(fù)數(shù)概念的二重性與幾何意義

由概念的二重性理論我們知道數(shù)學(xué)概念往往具有過程與對(duì)象兩個(gè)側(cè)面. 形成一個(gè)概念, 先經(jīng)歷相對(duì)直觀、細(xì)節(jié)豐富的過程階段, 上升到對(duì)象階段時(shí)就呈現(xiàn)出一種靜態(tài)結(jié)構(gòu)的關(guān)系,成型的對(duì)象化概念利于把握整體性質(zhì),變成了易操作的實(shí)體. 我國(guó)的高中數(shù)學(xué)教科書(2019 版)一般是在引入后直接介紹到“形如a+bi(其中a,b ∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù), 通常用字母z表示, 即z=a+bi(a,b ∈R), 其中a稱為復(fù)數(shù)z的實(shí)部,記作Rez,b稱為復(fù)數(shù)z的虛部,記作Imz.”z=a+bi 已經(jīng)是一個(gè)結(jié)構(gòu)分明的“實(shí)體”,可用來做四則運(yùn)算等操作性運(yùn)算. 然而,z=a+bi 這一表達(dá)形式并未揭示復(fù)數(shù)概念的過程性側(cè)面,其動(dòng)態(tài)的過程不是a加上bi得到和a+bi,教師可以類比合并同類項(xiàng)來說明這一點(diǎn),如x與xy不是同類項(xiàng),x+xy是不可以合并為一個(gè)整體x(1+y).為向?qū)W生揭示復(fù)數(shù)概念的二重性,從動(dòng)態(tài)過程到實(shí)體對(duì)象的轉(zhuǎn)變,還需要通過復(fù)數(shù)的幾何意義完成.

任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b ∈R)都可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)唯一確定,復(fù)數(shù)的幾何意義簡(jiǎn)言之就是把復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng), 而平面向量也是和復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的, 因此復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量也是一一對(duì)應(yīng)的.

圖7

建立如圖7 所示的復(fù)平面. 復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b ∈R)與向量= (a,b)相對(duì)應(yīng). 對(duì)向量進(jìn)行水平和豎直方向的分解,從而有= 1rcosα+irsinα(1,i分別為x,y軸正方向上單位向量),令rcosα=a,rsinα=b則有=a1+bi,這就得到了我們的復(fù)數(shù)z=a+bi. 由此,我們通過復(fù)數(shù)的幾何意義——平面向量,實(shí)現(xiàn)了復(fù)數(shù)概念從過程到對(duì)象的飛躍.

3 總結(jié)

通過數(shù)學(xué)史創(chuàng)設(shè)問題情境,教師向?qū)W生表明負(fù)數(shù)的開方涉及到數(shù)系的又一次擴(kuò)充,解決負(fù)數(shù)開方的問題最后只需歸結(jié)到對(duì)-1 開方,從而引入新數(shù)然后,教師向?qū)W生教授復(fù)數(shù)的幾何意義時(shí),利用平面向量的分解揭示復(fù)數(shù)概念從過程到對(duì)象的轉(zhuǎn)變, 學(xué)生會(huì)對(duì)復(fù)數(shù)概念有更清楚的認(rèn)識(shí).當(dāng)然,針對(duì)以上教學(xué)建議的復(fù)數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)是后續(xù)研究的課題.