姚辛酉

解決問題能力的培養(yǎng)是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)之一。有些問題的解決會(huì)出現(xiàn)多種策略，通過猜想、驗(yàn)證等找出最合理、最省時(shí)、最優(yōu)的策略就是優(yōu)化。在這個(gè)過程中形成的思考路徑、操作方法、解題策略就是優(yōu)化思想的體現(xiàn)。教師應(yīng)注重引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷優(yōu)化的過程，感受優(yōu)化思想的價(jià)值。

一、生長(zhǎng)源于對(duì)問題本質(zhì)的理解

在解決問題前，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真讀題，找出題目所給的條件和要求的問題，在此基礎(chǔ)上仔細(xì)挖掘，找出問題的本質(zhì)。這一過程是優(yōu)化思想的生長(zhǎng)之源。

在學(xué)習(xí)“田忌賽馬”時(shí)，筆者首先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已知條件進(jìn)行梳理，得出初步結(jié)論——所有條件都對(duì)田忌不利。由于對(duì)陣方案較多，筆者讓學(xué)生采用列表法，將所有方案一一列舉出來（如下表），再進(jìn)行具體分析。

觀察表格，我們可以發(fā)現(xiàn)：田忌和齊威王賽馬，在齊威王對(duì)陣方式不變的情況下，田忌有6種應(yīng)對(duì)方式。在這6種方式中，只有1種能夠獲勝。因此，解決“田忌賽馬”問題的關(guān)鍵，就是把所有可能性逐一列舉出來，并從中找出唯一的獲勝策略。

二、生長(zhǎng)源于對(duì)問題的深度思考

學(xué)過“田忌賽馬”這節(jié)課，學(xué)生應(yīng)該獲得如下經(jīng)驗(yàn)：遇到一個(gè)問題首先應(yīng)該從總體上進(jìn)行把握，列舉出各種可能性，選出最優(yōu)的一種，再?gòu)闹姓页鼍唧w的解決方案。這一過程是優(yōu)化思想的生長(zhǎng)之根。

通常，學(xué)生對(duì)“田忌賽馬”問題的認(rèn)知都會(huì)經(jīng)歷“不可能贏—有可能贏—思考為什么可能贏”的過程。初讀問題，學(xué)生按照常規(guī)的對(duì)陣策略思考，會(huì)認(rèn)為由于田忌每一檔次的馬都比齊威王的差一些，三局一定都會(huì)失敗，田忌獲得勝利的可能性幾乎為零。這是學(xué)生經(jīng)歷的第一個(gè)認(rèn)知階段。隨后，筆者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考：“像剛才那樣，分別安排上等馬、中等馬、下等馬對(duì)陣，就叫作策略。很明顯，解決這個(gè)問題不止一種策略，大家可以試一試其他策略?！睂W(xué)生思考后回答：“用田忌的下等馬對(duì)陣齊威王的上等馬，用田忌的上等馬對(duì)陣齊威王的中等馬，用田忌的中等馬對(duì)陣齊威王的下等馬?！惫P者追問：“這樣的對(duì)陣策略有什么好處？”學(xué)生回答：“這樣對(duì)陣，雖然第一局會(huì)輸，但是后面兩局會(huì)贏?！睂W(xué)生經(jīng)歷了調(diào)整對(duì)陣順序的過程，思維進(jìn)一步發(fā)散。以上是學(xué)生經(jīng)歷的第二個(gè)認(rèn)知階段。為了讓學(xué)生明確田忌可能獲勝的原因，筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察上文提到的表格中6種策略的比分情況，并說一說有什么發(fā)現(xiàn)。一名學(xué)生說：“要想獲得勝利，比分只能是2∶1。”另一名學(xué)生說：“想要以3∶0的比分獲勝是不可能的?！惫P者追問為什么不可能取得3∶0的比分。學(xué)生回答：“因?yàn)樘锛擅恳粰n次的馬都比齊威王的要差一些，田忌派什么馬都比不過齊威王的上等馬，因此這一局只能輸。”還有的學(xué)生回答：“因?yàn)榈谝痪州斄?，后兩局就必須要贏，總比分才能是2∶1，而田忌用上等馬對(duì)陣齊威王的中等馬、用中等馬對(duì)陣齊威王的下等馬就可能獲勝兩局。”這樣教學(xué)，使學(xué)生建立起從總體到局部的思考路徑。這是學(xué)生經(jīng)歷的第三個(gè)認(rèn)知階段。

三、生長(zhǎng)源于對(duì)問題的類比與延伸

“田忌賽馬”問題不僅僅是賽馬問題，本質(zhì)上是融會(huì)了眾多策略的博弈問題。在這些問題中，有的要從條件入手分析，找出最優(yōu)方案;有的無法從條件入手，只能根據(jù)問題進(jìn)行倒推;還有的必須跳出題目從整體上進(jìn)行思考?；诖耍P者設(shè)計(jì)了不同類型的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中提升優(yōu)化思維。

教材課后習(xí)題設(shè)置了兩人玩撲克牌比大小的游戲。紅色的一組撲克牌牌面數(shù)字分別是5、7、9，黑色的一組撲克牌牌面數(shù)字分別是3、6、8，兩人各持一組牌，每人每次出一張牌，各出3次，贏2次者勝。問題是持黑色撲克牌的人是否有可能獲勝。學(xué)生在解答這道題時(shí)，很容易與“田忌賽馬”問題產(chǎn)生類比，通過遷移得到：紅色撲克牌“9”相當(dāng)于齊威王的上等馬，“7”相當(dāng)于中等馬，“5”相當(dāng)于下等馬;黑色撲克牌“8”相當(dāng)于田忌的上等馬，“6”相當(dāng)于中等馬，“3”相當(dāng)于下等馬。如果按相同檔次的牌面數(shù)字對(duì)陣，持黑色撲克牌者一定會(huì)輸。由此得出，當(dāng)對(duì)方出“9”的時(shí)候，自己應(yīng)出“3”;對(duì)方出“7”的時(shí)候，自己出“8”;對(duì)方出“5”的時(shí)候，自己出“6”，這樣可以獲得兩勝一負(fù)，取得最終勝利。此題是對(duì)所學(xué)內(nèi)容的基本練習(xí)。

在此基礎(chǔ)上，筆者拓展題目類型，出示如下練習(xí)：“100根粉筆，兩人輪流取，每人每次最少取1根、最多取10根，誰能取到最后剩下的粉筆，誰就是勝者。問：先取者為了戰(zhàn)勝對(duì)手，第一次應(yīng)取幾根粉筆？”解決此題的關(guān)鍵是抓住“最多取10根”，先取者只要到最后一次給后取者剩下11根，無論后取者取多少根，最后的贏家一定是先取者。因此，先取者第一次取后留下的根數(shù)是11的倍數(shù)即可。所以先取者為了戰(zhàn)勝后取者，第一次應(yīng)取1根粉筆。這一題雖然還是對(duì)陣問題，但與“田忌賽馬”問題有較大區(qū)別?！疤锛少愸R”中，齊威王的對(duì)陣策略是固定的，因此只需要針對(duì)一種情況來制訂應(yīng)對(duì)策略，而本題由于對(duì)陣時(shí)對(duì)方有多種策略，而應(yīng)對(duì)的辦法各有不同，因此無法從條件入手分析，只能從結(jié)果入手分析。

筆者再出示不同類型的題目：有25個(gè)人在一起圍成一個(gè)圓圈，從某人開始，按1、2、3……的順序報(bào)數(shù)，第一次去掉報(bào)奇數(shù)的人，去掉之后再次報(bào)數(shù)，再去掉報(bào)奇數(shù)的人，如此反復(fù)下去，最后剩下的人是原來的幾號(hào)？筆者引導(dǎo)學(xué)生畫圖分析，這道題第一次去掉的是報(bào)奇數(shù)的人，剩下的都是報(bào)偶數(shù)的人;第二次去掉的是原來報(bào)的數(shù)里面只含有一個(gè)因數(shù)2的人;第三次去掉的是原來報(bào)的數(shù)里只含有兩個(gè)因數(shù)2的人……按照這樣的規(guī)律，哪一個(gè)數(shù)中含有的因數(shù)2最多，那一個(gè)數(shù)就是最后剩下的人的序號(hào)。25以內(nèi)含有因數(shù)2最多的數(shù)為16，所以剩下的人就是原來報(bào)的數(shù)為“16”的人。

四、生長(zhǎng)源于對(duì)問題的一般歸納

結(jié)課時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧研究問題的過程，并提問學(xué)生“有什么收獲”。學(xué)生反饋：“調(diào)換馬匹的出賽順序可以獲得勝利”“取粉筆的題目告訴我們，可以從結(jié)果進(jìn)行思考”“可以用畫圖的方法來解決比較難的問題”。筆者將其總結(jié)為“調(diào)換順序”“逆向思考”“畫圖解題”等思考策略。

整節(jié)課的教學(xué)，教師注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)建構(gòu)的完整過程，讓學(xué)生在挖掘問題本質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行深度思考，得出初步結(jié)論，之后通過發(fā)散練習(xí)，獲得進(jìn)一步的提升，最終總結(jié)出解決這一類問題的方法，形成優(yōu)化的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)了學(xué)生思維能力的整體提升。

（作者單位：孝感市實(shí)驗(yàn)小學(xué)）