莘義 成楊麗

基于現(xiàn)實(shí)問題和學(xué)生已有認(rèn)知設(shè)計(jì)合理的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷收集、整理、分析數(shù)據(jù)及做出合理推斷和預(yù)測(cè)的過程，可以幫助學(xué)生感受統(tǒng)計(jì)的價(jià)值，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念。

一、親歷統(tǒng)計(jì)過程，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念的有效方法，是讓他們真正投入統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的全過程。教學(xué)中，筆者通過設(shè)置“求箱子里黃球個(gè)數(shù)”“估計(jì)圖釘釘尖朝上的概率”等問題，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)并動(dòng)手操作驗(yàn)證，經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、做出統(tǒng)計(jì)決策的過程，幫助學(xué)生積累統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)。

課上，筆者首先創(chuàng)設(shè)了這樣的問題情境：“我們知道拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上的概率為0.5。小明課后做了一個(gè)拋擲硬幣實(shí)驗(yàn)，拋擲10次有4次正面向上，拋擲20次有7次正面向上，小明產(chǎn)生了質(zhì)疑：為什么我做的實(shí)驗(yàn)正面向上的‘概率’不是0.5呢？”學(xué)生回答：“每一次實(shí)驗(yàn)，硬幣正面向上的概率為0.5，并不意味著拋擲2次就一定會(huì)有1次正面向上?！边€有學(xué)生說：“0.5是理論數(shù)值，和實(shí)際是有出入的?！惫P者抓住“和實(shí)際有出入”提問：“‘有出入’是不是說明概率是0.5不合實(shí)際呢？”學(xué)生思考后提出：“是不是實(shí)驗(yàn)次數(shù)少了？如果多實(shí)驗(yàn)幾次可能結(jié)果會(huì)是0.5。”這個(gè)問題情境引發(fā)了學(xué)生思考并提出疑問，從而確立本節(jié)課要研究的問題，讓學(xué)生感受到“為何學(xué)”。

活動(dòng)環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計(jì)了兩次拋硬幣實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐操作，完成數(shù)據(jù)收集與數(shù)據(jù)描述的過程，使學(xué)生感悟頻率的隨機(jī)性和穩(wěn)定性，理解頻率與概率之間的關(guān)系，自然而然地體會(huì)到用頻率估計(jì)概率的合理性。

活動(dòng)1：初次實(shí)驗(yàn)，體會(huì)頻率的隨機(jī)性。全班學(xué)生5人一組，分為10組，每組學(xué)生拋擲硬幣50次，統(tǒng)計(jì)正面向上出現(xiàn)的次數(shù)m，計(jì)算正面向上的頻率[mn]。學(xué)生以小組為單位，分工合作完成實(shí)驗(yàn)并填寫統(tǒng)計(jì)表。實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，筆者首先請(qǐng)各組匯報(bào)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并利用Excel形成各組的頻率數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖（如下圖）。然后筆者提問：觀察統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表，想一想頻率和概率有什么不同？學(xué)生回答：從圖、表可以看出，拋擲硬幣50次的頻率在0.5左右波動(dòng)，每組實(shí)驗(yàn)得出的頻率不同，而概率是一個(gè)確定的數(shù)，即0.5。

活動(dòng)2：增加數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性。此環(huán)節(jié)圍繞“如果重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)增多，結(jié)果會(huì)如何”的問題展開探討。筆者首先請(qǐng)學(xué)生填寫表格（第1組的數(shù)據(jù)填在第1列，第1、第2組的數(shù)據(jù)之和填在第2列……10個(gè)組的數(shù)據(jù)之和填在第10列），并利用Excel形成頻率數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖（圖略）。隨后，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：隨著重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率的變化趨勢(shì)是什么？由此你能得到頻率與概率之間的關(guān)系嗎？學(xué)生通過真實(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出“正面向上的頻率在0.5左右波動(dòng)，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，越來(lái)越接近0.5”的結(jié)論。該環(huán)節(jié)使學(xué)生進(jìn)一步理解了頻率具有隨機(jī)性，但隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)逐漸表現(xiàn)出穩(wěn)定性。

二、解決實(shí)際問題，體會(huì)統(tǒng)計(jì)價(jià)值

用頻率估計(jì)概率是獲得隨機(jī)事件的概率的一種方法，它的適用范圍比用列舉法求概率更廣泛。在運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決問題的過程中，學(xué)生能逐步形成“用數(shù)據(jù)說話”的觀念，感受統(tǒng)計(jì)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值。課上，筆者呈現(xiàn)了兩個(gè)探究問題。

問題1：在不透明的箱子中放5個(gè)大小、質(zhì)地相同的球，有紅色、黃色兩種顏色。每次隨機(jī)摸出一個(gè)小球后放回，通過摸球?qū)嶒?yàn)推測(cè)箱子里有幾個(gè)黃球。

筆者組織學(xué)生討論，發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵在于摸到黃球的概率。學(xué)生仿照教科書中的摸球?qū)嶒?yàn)，小組合作設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)過程，全班分享交流后執(zhí)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生利用圖形計(jì)算器統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，繪制頻率分布圖，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果對(duì)箱子里黃球的個(gè)數(shù)做出合理判斷和預(yù)測(cè)。學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)得出“大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)才能得到相對(duì)準(zhǔn)確的概率，加大實(shí)驗(yàn)次數(shù)可以通過累加數(shù)據(jù)得到，對(duì)于數(shù)據(jù)是否穩(wěn)定需要檢驗(yàn)”等結(jié)論，發(fā)現(xiàn)除已知概率的問題之外，對(duì)于概率未知的問題，也可以利用頻率估計(jì)概率，形成用頻率估計(jì)概率的方法。

問題2：投一枚圖釘，能否估計(jì)出釘尖朝上的概率。對(duì)于這個(gè)問題，學(xué)生首先認(rèn)為“不能”，因?yàn)闊o(wú)法確定釘尖朝上、朝下的可能性是否相等。筆者追問：你認(rèn)為釘尖朝上的可能性大，還是釘尖朝下的可能性大？釘尖朝上的概率是多少？有的學(xué)生猜測(cè)釘尖朝上的可能性大，有的學(xué)生猜測(cè)釘尖朝下的可能性大，但都說不出概率是多少。于是，筆者組織學(xué)生獨(dú)立設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案，完整地經(jīng)歷用頻率估計(jì)概率的全過程，不僅驗(yàn)證了猜想，推斷出概率，而且加深了他們對(duì)用頻率估計(jì)概率這個(gè)統(tǒng)計(jì)方法的理解和運(yùn)用。

三、借助信息技術(shù)，提高學(xué)習(xí)效率

教學(xué)中，筆者利用圖形計(jì)算器收集、整理、描述摸球?qū)嶒?yàn)的數(shù)據(jù)，合理選用Excel的數(shù)據(jù)處理功能，準(zhǔn)確、有序地呈現(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖表，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析，逐步體會(huì)頻率和概率之間的關(guān)系。

課上，筆者首先借助Excel工具引導(dǎo)學(xué)生整理、描述拋擲硬幣的累加數(shù)據(jù)，并形成正面向上的頻率散點(diǎn)圖;接著利用投硬幣模擬軟件演示投2000次硬幣的模擬實(shí)驗(yàn)，并生成統(tǒng)計(jì)表和正面向上的頻率散點(diǎn)圖，讓學(xué)生將模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果與真實(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果做比較;然后利用軟件的“擦除”功能擦除模擬拋擲一枚硬幣2000次的正面向上頻率散點(diǎn)圖中表示概率的直線，引導(dǎo)學(xué)生估計(jì)此未知概率事件發(fā)生的概率是0.5;最后擦除學(xué)生拋擲硬幣100次的正面向上頻率散點(diǎn)圖中表示概率的直線，估計(jì)結(jié)果并不趨向0.5，引導(dǎo)學(xué)生分析估計(jì)頻率不準(zhǔn)確的原因是實(shí)驗(yàn)次數(shù)少，頻率分布不穩(wěn)定，從而得出“需要大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)至頻率穩(wěn)定時(shí)，才能估計(jì)得相對(duì)準(zhǔn)確”的結(jié)論。這樣教學(xué)，使學(xué)生更方便、快捷地得到實(shí)驗(yàn)結(jié)論，為學(xué)生留有更多的思考時(shí)間。

四、滲透數(shù)學(xué)文化，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在課堂中滲透數(shù)學(xué)文化，能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文性和思想價(jià)值，提升學(xué)生的文化素養(yǎng)。筆者在課堂中通過多媒體課件介紹布豐等5位數(shù)學(xué)家成千上萬(wàn)次地做拋擲硬幣實(shí)驗(yàn)，以及雅各布·伯努利以定理的形式給予用頻率刻畫概率的嚴(yán)格證明的過程，讓學(xué)生感受到科學(xué)家求真務(wù)實(shí)的科學(xué)精神和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。這樣教學(xué)，既增加了課堂的趣味性，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，促使學(xué)生從數(shù)學(xué)文化中感悟統(tǒng)計(jì)的力量，形成崇尚科學(xué)的理性精神。

（作者單位：莘義成，棗陽(yáng)市教學(xué)研究室;楊麗，棗陽(yáng)市中興學(xué)校）