戴麗娜

一、引言及文獻綜述

隨著操作風(fēng)險大案要案的頻發(fā)，銀行和學(xué)術(shù)界對操作風(fēng)險的重視程度越來越高。操作風(fēng)險是銀行業(yè)最近幾十年才開始關(guān)注的風(fēng)險，國際活躍銀行對操作風(fēng)險的精確計算也才處于剛剛起步階段。操作風(fēng)險完善計量體系的建立需要長期的過程，對操作風(fēng)險度量的研究是當(dāng)前的一個熱點。

國外對操作風(fēng)險度量的研究比國內(nèi)開始得早。Duncan Wilson[1]（1995）提出，VaR可以用作度量操作風(fēng)險的工具，并且從理論上給出了后來被廣泛采用的操作風(fēng)險的計量框架。Hoffman和Johnson[2]（1996）在信孚銀行的Risk雜志發(fā)表了標(biāo)題為“Operating Procedures”的文章，文章認(rèn)為度量操作風(fēng)險的方法是以損失數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，計算損失的分布，并由此計算風(fēng)險資金。在各種對操作風(fēng)險度量的方法中，損失分布法是很重要的一個方法。2000年，以損失分布法為基礎(chǔ)的高級計量法被銀行業(yè)的一些技術(shù)工作小組開發(fā)出來，并且得到了廣泛深入的討論。2001年9月，巴塞爾委員會正式地把損失分布法并入操作風(fēng)險高級計量法的框架中。

損失分布法方法涉及兩個分布函數(shù)：一個分布函數(shù)用來描述風(fēng)險事件發(fā)生的頻率，另外一個分布函數(shù)用來描述風(fēng)險的損失額。假定對第i種風(fēng)險類型與給定時期t（t=1，…，M）來說，nt表示損失事件發(fā)生的頻率，Xi表示每次損失的損失額（也稱為損失強度），則操作風(fēng)險帶來的總損失Lt可以表示為：

損失發(fā)生的頻率為一離散變量，損失額為一連續(xù)變量，因此nt一般假定服從泊松分布，損失額具有右偏、厚尾的特征，本文把損失額Xi假定服從對數(shù)正態(tài)分布。Cruz[3]（2004）對損失分布法做了全面的介紹。Annalisa Di Clemente和Claudio Romano[4]（2003）以損失分布法為基礎(chǔ)對操作風(fēng)險進行度量，擬合操作風(fēng)險損失分布時采用了蒙特卡羅模擬和VaR理論。損失數(shù)據(jù)缺乏是對操作風(fēng)險建模時需要解決的一個主要問題。Lawrenc[5]（2000）分析了基于損失分布法在內(nèi)部數(shù)據(jù)充足和不充足的情況下如何測算風(fēng)險資金，提供了一種科學(xué)測算操作風(fēng)險資本的思路。解決操作風(fēng)險損失數(shù)據(jù)缺乏的問題也可以采用貝葉斯推斷方法。貝葉斯推斷方法能夠把多種來源的數(shù)據(jù)結(jié)合起來，因此具有很大的靈活性。Alexander C[6]（2000）利用貝葉斯方法對操作風(fēng)險的計量進行研究。Degen等[7]（2007）采用信度理論與貝葉斯方法建立模型。他們分別對內(nèi)部數(shù)據(jù)與外部數(shù)據(jù)建立模型之后，再用這兩種方法對基于兩種數(shù)據(jù)建模得到的結(jié)果進行處理。

國內(nèi)對操作風(fēng)險度量的研究還處在剛起步階段，但研究結(jié)果比較豐富。鐘偉[8]（2004）分析了高級計量法的計量原則、計量難點與使用該方法面臨的挑戰(zhàn)。以媒體公開報道的損失事件為樣本數(shù)據(jù)，樊欣，楊曉光[9]（2005）第一次利用損失分布法對商業(yè)銀行操作風(fēng)險的度量進行研究，把損失分布法與蒙特卡羅模擬結(jié)合起來計算操作風(fēng)險VaR。此文之后，周好文和楊旭等[10]（2006）結(jié)合損失分布法與極值理論進行了實證分析。他們把損失頻率與損失額度的分布分別設(shè)定為泊松分布與廣義帕累托分布，并得到了商業(yè)銀行為操作風(fēng)險需要計提的經(jīng)濟資本。盧安文和任玉瓏等[11]（2009）應(yīng)用貝葉斯推斷估計操作風(fēng)險損失分布中損失頻率、損失額度分布中的參數(shù)。張宏毅和陸靜[12]（2006）用信度理論解決操作風(fēng)險損失數(shù)據(jù)不足的問題。陳倩[13]（2014）基于信度模型對內(nèi)、外部損失數(shù)據(jù)進行整合。陸靜和郭蕾[14]（2012）利用POT模型與部分可信性信度模型相結(jié)合的方法混合操作風(fēng)險內(nèi)外部數(shù)據(jù)并且進行實證分析。

以上文獻從某一方法入手，對操作風(fēng)險的度量進行了研究，研究時沒有把幾種來源的數(shù)據(jù)結(jié)合起來。本文以損失分布法、貝葉斯推斷與信度理論為基礎(chǔ)，把內(nèi)部損失數(shù)據(jù)、外部損失數(shù)據(jù)與專家意見結(jié)合起來對中國商業(yè)銀行操作風(fēng)險的度量進行研究。

二、研究方法

（一）貝葉斯方法

與貝葉斯方法有關(guān)的兩個概念是先驗分布與后驗分布，而貝葉斯公式把這兩個概念聯(lián)系了起來。

式（2）是貝葉斯公式的密度形式。π（θ│x1，L，xn）稱為后驗分布，它指的是在已知樣本下參數(shù)的條件分布。利用貝葉斯公式解決問題時需要確定先驗分布π（θ），共軛分布法是確定先驗分布的一種很常用的方法。

定義：設(shè)θ是總體分布中的參數(shù)（或參數(shù)向量），θ的先驗密度函數(shù)為π（θ），經(jīng)過抽樣信息計算后，如果得到的后驗密度函數(shù)與先驗密度函數(shù)形式相同，則稱π（θ）是θ的（自然）共軛先驗分布。

本文用到的共軛先驗分布與后驗分布如表1所示。此表中，共軛先驗分布參數(shù)稱為超參數(shù)。

表1 共軛先驗分布與后驗分布表

（二）遞推公式

本文利用損失分布法度量操作風(fēng)險，并且把損失頻率假定為泊松分布，把損失額分別假定為對數(shù)正態(tài)分布。因為泊松分布的共軛先驗分布為Г分布，對數(shù)正態(tài)分布（假定方差已知）的共軛先驗分布為正態(tài)分布，因此下面給出了這兩種情形下的遞推公式。

1.泊松-Г分布

假定損失頻數(shù)用N來表示，N來自獨立泊松總體，樣本個數(shù)為 n，即 Ni～π（λ），i=1，2，…，n，其密度函數(shù)為：

如果先驗分布采用共軛先驗分布，可以假定先驗分布 λ～Ga（α，β），其密度函數(shù)為：

根據(jù)貝葉斯公式，其后驗密度函數(shù)可以表示為：

∝表示式子中去掉了一些無關(guān)項之后的部分，它在后面公式中的含義相同。

把后驗分布的均值作為參數(shù)λ的貝葉斯估計值則可以寫作：

假定第i年發(fā)生的次數(shù)為Ni，從（6）式可以知道：

并由此可以得到一個遞推關(guān)系：

2.對數(shù)正態(tài)分布-正態(tài)分布

假定 X1，X2，…，Xn來自獨立同分布的樣本，并且有 Xi～LN（μ，σ2），其密度函數(shù)為：

假定標(biāo)準(zhǔn)差σ為已知的，如果假定均值分布采用共軛先驗分布，由表1可以知道，均值μ服從正態(tài)分布，即有，其密度函數(shù)為：

令 Yi=lnXi，那么有 Y～N（μ，σ2），根據(jù)貝葉斯公式有：

如果把后驗分布的均值作為貝葉斯估計值則可以寫作：

假定觀測值 Y1，Y2，…，Yk，由（13）式可以得到：

并由此可以得到遞推公式：

（三）Buhlmann信度模型

Bühlmann[15]在1967年提出Buhlmann信度模型，Buhlmann信度采用統(tǒng)計的方法，使預(yù)測的均方誤差達到最小的方法給出估計結(jié)果。假定Xi，i=1，2，…，n為獨立同分布樣本，它們與總體具有相同的分布，并且其分布依賴于參數(shù)θ，并且有下面的式子成立：

假定有如下的式子成立：

Buhlmann信度模型的目標(biāo)是給出風(fēng)險X下一期索賠額Xn+1的估計。假設(shè)風(fēng)險模型不變，Buhlmann信度模型希望給出Xn+1的線性估計，即有下面的式子成立：

其中，β0，β1，…，βn是需要選擇的參數(shù)。

取得最小。

三、實證分析

中國沒有專門的商業(yè)銀行操作風(fēng)險外部數(shù)據(jù)庫，僅從一些公開渠道搜集到的單個銀行的樣本數(shù)據(jù)可能不足，又因為中國商業(yè)銀行的性質(zhì)非常相似，因此這里把四大國有商業(yè)銀行的損失數(shù)據(jù)放在一起作為內(nèi)部數(shù)據(jù)，把除了四大國有商業(yè)銀行以外的其他非國有商業(yè)銀行的損失數(shù)據(jù)放在一起作為外部數(shù)據(jù)。這樣，一共得到了310個內(nèi)部數(shù)據(jù)，267個外部數(shù)據(jù)。

（一）基于模擬數(shù)據(jù)的實證分析

這一部分以模擬數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，引入專家意見。

1.泊松-Г分布

由上一部分可以知道，Nt～π（λ），i=1，2，…，n，λ～Ga（α，β）。

現(xiàn)在引入專家意見，如果說專家能夠以一定的概率給出參數(shù)的均值（在這一部分，我們把這個概率統(tǒng)一地設(shè)定為3/4），并且有下面的式子成立：

因為 λ～Ga（α，β），求解上面的方程組可以得到參數(shù)α，β的解。利用MATLAB軟件，得出：

產(chǎn)生50個獨立同分布的樣本Nt～π（0.5）的樣本。根據(jù)遞推公式，可以得到：

按照上面的遞推公式，可以得到50個后驗分布參數(shù)的估計值。

如果采用極大似然方法，可以得到參數(shù)的極大似然估計：

把參數(shù)λ的貝葉斯估計與極大似然估計結(jié)果放在一個圖中表示出來可以得到如圖1所示的折線圖。

圖1 參數(shù)的極大似然估計與貝葉斯估計的折線圖

從圖1可以看出，最初幾年參數(shù)的極大似然估計值遠遠小于參數(shù)的貝葉斯估計值，但隨著時間的推移，極大似然估計與貝葉斯估計的估計結(jié)果相差越來越小。也就是說，當(dāng)樣本容量比較小時，極大似然估計與貝葉斯估計有較大的差距，但隨著樣本容量的增加，極大似然估計與貝葉斯估計的差距越來越小，從圖1可以看出，在第50年，極大似然估計與貝葉斯估計的差距已經(jīng)非常小了，非常接近于真值0.5。因為真實的過程是用0.5作為參數(shù)產(chǎn)生的隨機數(shù)，而專家假定E（λ）=0.4，因此可以看出，貝葉斯估計方法對參數(shù)的誤設(shè)沒有極大似然估計方法敏感，特別是樣本容量比較小時，這個特點更為明顯。

2.對數(shù)正態(tài)分布—正態(tài)分布

假定X～LN（μ，σ），根據(jù)上一部分假定有：

X的條件期望為：

那么，則有：

現(xiàn)在引入專家意見，假定有下面的式子成立：

產(chǎn)生獨立同分布的樣本：

Xi～LN（0.42+4），i=1，2，…，50，可以得到：

利用Matlab軟件，可以求解得到：

根據(jù)上一部分可以知道：

從而可以得到參數(shù)μ的貝葉斯估計：

而μ的極大似然估計為：

把參數(shù)的極大似然估計與貝葉斯估計放在一個圖中可以得到如圖2所示的折線圖。

圖2 參數(shù)的極大似然估計與貝葉斯估計的折線圖

從圖2可以看出，參數(shù)的貝葉斯估計比極大似然估計穩(wěn)健很多，特別是在樣本容量比較小的時候，極大似然估計與參數(shù)的真實值相差非常大。當(dāng)樣本容量越來越大時，兩個估計都越來越接近于真實的參數(shù)0.4。

結(jié)合以上的實證分析可以發(fā)現(xiàn)，對于以上分布組合而言，貝葉斯估計比極大似然估計穩(wěn)健，它也沒有極大似然估計對于分布參數(shù)誤設(shè)敏感，特別是在樣本容量比較小的時候，貝葉斯估計的這個特征更為明顯。當(dāng)樣本容量逐漸增加時，兩種估計方法的估計結(jié)果趨向于一致。

（二）基于損失數(shù)據(jù)的實證分析

從上面對模擬樣本數(shù)據(jù)的實證分析結(jié)果我們可以發(fā)現(xiàn)，貝葉斯方法與專家意見相結(jié)合得到的貝葉斯估計要比極大似然估計的結(jié)果穩(wěn)定，特別是在樣本容量比較小的時候，貝葉斯估計的這個優(yōu)點更為明顯。在這一部分，我們把商業(yè)銀行操作風(fēng)險內(nèi)、外部損失數(shù)據(jù)以及專家意見結(jié)合起來對商業(yè)銀行操作風(fēng)險的度量進行實證分析。本文沒有對損失數(shù)據(jù)的損失事件類型與業(yè)務(wù)類型進行細(xì)分，只從整體上研究操作風(fēng)險的度量。

1.參數(shù)的貝葉斯估計

假定專家對內(nèi)部數(shù)據(jù)和外部數(shù)據(jù)的特征有一定的了解，對這兩種損失數(shù)據(jù)的分布進行估計時采用上一部分實證分析中使用的方法。

（1）泊松分布

a.內(nèi)部數(shù)據(jù)

對于內(nèi)部損失數(shù)據(jù)，λ～Ga（α，β），現(xiàn)在引入專家的意見，如果說專家能夠以一定的概率給出參數(shù)的均值（參數(shù)的均值采用樣本均值，并且，同上一部分一樣把這個概率統(tǒng)一地設(shè)定為3/4），并且有下面的式子成立：

利用MATLAB軟件，得到α與β估計值：

利用Openbugs軟件的MCMC算法，可以得到參數(shù)λ的貝葉斯估計為：

b.外部數(shù)據(jù)

對于外部數(shù)據(jù)，λ的共軛先驗分布為Ga（α，β），其中α，β為超參數(shù)。假設(shè)專家也以3/4的概率給出參數(shù)的均值，用這種方法可以得到：

因為 λ～Ga（α，β），利用 MATLAB軟件，得到參數(shù)α與β的估計值：

利用Openbugs軟件可以得到參數(shù)λ的貝葉斯估計為：

（2）對數(shù)正態(tài)分布

a.內(nèi)部數(shù)據(jù)

假定對數(shù)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差已知，并且等于極大似然估計得到分布的標(biāo)準(zhǔn)差

對于內(nèi)部數(shù)據(jù)，引入專家意見，假定專家以概率0.75給出均值M：

已知：

利用MATLAB軟件求解得到：

利用Openbugs軟件可以得到參數(shù)μ的貝葉斯估計為：

b.外部數(shù)據(jù)

對于外部數(shù)據(jù)，引入專家意見，假定專家以概率0.75給出均值M：

已知：

利用MATLAB軟件求解得到：

利用Openbugs軟件可以得到參數(shù)μ的貝葉斯估計為：

2.用損失分布法計算商業(yè)銀行操作風(fēng)險資本

（1）內(nèi)、外部數(shù)據(jù)風(fēng)險資本的計算

為了估計所需要的風(fēng)險資金，這里用VaR（Value at Risk）與 ES（Expected Shortfall）來測量風(fēng)險。VaR 的計算公式如（49）式所示，ES的計算公式如（50）式所示。

VaR的計算通常采用蒙特卡洛模擬的方法得到，蒙特卡洛模擬方法比較適用于聯(lián)合分布解析式未知的情形。利用蒙特卡洛模擬的方法，共進行了10000次模擬，分別對內(nèi)部數(shù)據(jù)與外部數(shù)據(jù)，不同置信水平與損失額度分布的VaR、操作風(fēng)險資本（風(fēng)險資本的計算公式見公式（51））及ES如表2、表3所示。

經(jīng)濟資本=VaR-預(yù)期損失 （51）

從表2與表3可以看出，當(dāng)損失頻率分布取為泊松分布，損失額分布取為對數(shù)正態(tài)分布時，基于內(nèi)、外部數(shù)據(jù)得到的VaR、操作風(fēng)險資本及ES在不同的置信水平相差非常大。

（2）信度的計算

因為所能搜集到的內(nèi)部數(shù)據(jù)數(shù)量有限，因此這里把內(nèi)、外部數(shù)據(jù)結(jié)合起來以解決樣本容量不足的問題。為了把內(nèi)、外部數(shù)據(jù)結(jié)合，這里用到了信度理論。

從上一部分可以知道，

由此可以得到：

（3）混合數(shù)據(jù)風(fēng)險資本的計算

利用下面的計算公式，可以得到混合數(shù)據(jù)的VaR、風(fēng)險資本與ES，如表4所示。

表2 不同置信水平的VaR、操作風(fēng)險資本與ES（內(nèi)部數(shù)據(jù)） 單位：萬元

表3 不同置信水平的VaR、操作風(fēng)險資本與ES（外部數(shù)據(jù)） 單位：萬元

表4 不同置信水平的VaR、操作風(fēng)險資本與ES（混合數(shù)據(jù)） 單位：萬元

從表4可以看出，把非國有商業(yè)銀行作為外部數(shù)據(jù)引入到模型中以后，得到的經(jīng)濟資本要小于單獨基于國有銀行所得到的風(fēng)險資本。例如在置信水平為99.9%時，如果僅考慮國有銀行，國有銀行需要配置的風(fēng)險資本為34883563萬元。如果把非國有銀行作為外部數(shù)據(jù)引入進來，國有銀行需要配置的風(fēng)險資本為31124721萬元，節(jié)省的風(fēng)險資本達376億多元，節(jié)省了國有商業(yè)銀行的可貸資金，極大地提高了國有商業(yè)銀行資本的流動性。

四、研究結(jié)論

本文以損失分布法、貝葉斯推斷與信度理論為基礎(chǔ)，結(jié)合內(nèi)、外部損失數(shù)據(jù)與專家意見對中國商業(yè)銀行操作風(fēng)險的度量進行了研究，研究的結(jié)果如下：

首先，基于模擬數(shù)據(jù)的實證分析表明，考慮到專家意見的貝葉斯估計要比極大似然估計的結(jié)果更穩(wěn)定，貝葉斯估計對參數(shù)的誤設(shè)沒有極大似然估計對參數(shù)的誤設(shè)敏感。在樣本容量比較小時二者的估計結(jié)果相差比較大，隨著樣本容量的增加，二者的差距越來越小。因此，因為貝葉斯估計對模型誤設(shè)沒有極大似然估計敏感，在樣本容量比較小的時候，貝葉斯估計比極大似然估計更適合估計模型。

其次，貝葉斯估計能夠與專家意見相結(jié)合，能夠有效地彌補操作風(fēng)險樣本容量不足的問題。在對商業(yè)銀行操作風(fēng)險進行度量時，一個比較突出的問題就是樣本容量不足的問題，而貝葉斯估計能夠有效地解決這個問題。

再次，基于內(nèi)部損失數(shù)據(jù)、外部損失數(shù)據(jù)以及混合損失數(shù)據(jù)得到的各個置信水平的VaR、操作風(fēng)險資本及ES相差非常大。

最后，把內(nèi)、外部損失數(shù)據(jù)結(jié)合起來得到的VaR、操作風(fēng)險資本及ES比僅僅利用內(nèi)部損失數(shù)據(jù)得到的VaR、操作風(fēng)險資本及ES要小，節(jié)省了國有商業(yè)銀行的可貸資金。

本文結(jié)合貝葉斯估計對商業(yè)銀行的操作風(fēng)險進行了度量。貝葉斯方法的優(yōu)越性在于能夠很方便地把專家意見、信度理論等有效地結(jié)合起來，能夠有效地解決商業(yè)銀行操作風(fēng)險損失數(shù)據(jù)不足的問題。因此，在對實際問題進行分析時貝葉斯方法是一種有效的方法，值得大力推廣。