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        基于殘差統(tǒng)計的三類北斗衛(wèi)星隨機模型估計與特性分析

        2021-01-08 10:49:42王忠智苗維凱沈云中
        測繪工程 2021年1期
        關(guān)鍵詞:歷元偽距方差

        王忠智, 苗維凱,沈云中

        (同濟大學(xué) 測繪與地理信息學(xué)院,上海 200092)

        GNSS觀測值的隨機模型應(yīng)該充分反映其物理相關(guān)性,包含不同衛(wèi)星之間的空間相關(guān)性、不同類型觀測值之間的交叉相關(guān)性和觀測歷元之間的時間相關(guān)性。 考慮物理相關(guān)性的隨機模型對GNSS高精度定位至關(guān)重要[1]。早期GNSS隨機模型主要采用高度角相關(guān)模型[2],根據(jù)衛(wèi)星高度角對衛(wèi)星觀測值進行加權(quán);后來考慮了時間相關(guān)性和交叉相關(guān)性兩因素的影響[3-4],此時隨機模型對基線解算結(jié)果影響不大,但是隨機模型能夠較為精準(zhǔn)定位;同時研究基于信噪比的隨機模型[5],利用C/N0(1赫茲帶寬內(nèi)載波信號與噪聲功率之比)估計相位觀測值的方差。自相關(guān)、交叉相關(guān)函數(shù)和湍流理論[6]等方法用于分析物理相關(guān)性,方差分量估計(VCE)法也廣泛用于估計多種類型GNSS觀測值的隨機模型[7]。

        傳統(tǒng)隨機模型對所有衛(wèi)星的同一類型觀測值按相同精度模型進行高度角相關(guān)定權(quán)。然而,北斗系統(tǒng)包含靜止軌道(GEO)、傾斜軌道(IGSO)和中軌道(MEO)三類衛(wèi)星,忽略觀測值間的相關(guān)性對北斗系統(tǒng)影響比GPS系統(tǒng)更為顯著,因此需要更準(zhǔn)確估計和分析北斗觀測值的隨機模型?;贕eometry-based函數(shù)模型,本文直接利用觀測值殘差估值使用自相關(guān)函數(shù)和交叉相關(guān)函數(shù)計算北斗三類衛(wèi)星不同類型觀測值的物理相關(guān)性。在此基礎(chǔ)上,進一步分析了北斗衛(wèi)星觀測值高度角相關(guān)的精度、交叉相關(guān)性、空間相關(guān)性和時間相關(guān)性的特性。

        1 基于幾何的單差函數(shù)模型

        為了獲得北斗觀測誤差進行隨機模型估計,必須要消除觀測值中的系統(tǒng)誤差??紤]到在短基線或零基線情況下,接收機間單差可消除觀測值的系統(tǒng)誤差,且該單差觀測值不存在數(shù)學(xué)相關(guān)性,與雙差觀測值相比更利于估計單顆衛(wèi)星的方差[8]。因此,以接收機間單差觀測值為基礎(chǔ)進行隨機模型估計。

        假設(shè)參考站和移動站同時跟蹤s顆衛(wèi)星,則短基線單歷元單差觀測方程在頻率j的形式為[8]:

        (1)

        單差整周模糊度aj和接收機鐘差δtj相關(guān),因為系數(shù)λj,Is和es滿足:

        (2)

        所以需要重新參數(shù)化:

        (3)

        (4)

        重新參數(shù)化的觀測方程為:

        (5)

        隨后,將利用長時間觀測值計算得到的基線向量和模糊度作為已知值,代入觀測方程(5),得到基線向量和模糊度已知的單差觀測方程:

        (6)

        2 考慮物理相關(guān)性的隨機模型

        估計出各類觀測的殘差,直接利用殘差估值,按下列方法分別計算各類觀測值的方差因子,空間相關(guān)性,交叉相關(guān)性和時間相關(guān)性。

        2.1 各類觀測值的方差因子

        根據(jù)自相關(guān)函數(shù),對于K個歷元的觀測值,第s顆衛(wèi)星觀測值方差分量為:

        (7)

        為了驗證自相關(guān)函數(shù)和交叉相關(guān)函數(shù)估計各類觀測值的方差因子,空間相關(guān)性,交叉相關(guān)性和時間相關(guān)性的可行性,本文采用MINQUE方法,對各類型觀測值的方差進行準(zhǔn)確估計,并與直接利用殘差估值使用自相關(guān)函數(shù)計算得到的方差進行比較。

        MINQUE方差分量估計方法解算策略為K個歷元滑動解算s顆衛(wèi)星兩個頻率偽距和相位觀測值的方差因子。K個歷元的方差矩陣為[10]:

        (8)

        式中:k表示未知的方差分量σi的個數(shù)(k=4×s),Ui為與σi對應(yīng)的系數(shù)矩陣(待估參數(shù)位置元素為1,其余位置元素為0)。則σi用下式計算:

        (9)

        其中

        S=tr(CUiCUj),

        C=Q-1-Q-1B(BTQ-1B)-1BTQ-1,

        W=[VTCU1CV,VTCU2CV,…,VTCUkCV]T.

        將兩種方法計算得到的每顆衛(wèi)星每個歷元各類觀測值的方差取平均值作為觀測值最終的方差,并對每類觀測值的標(biāo)準(zhǔn)差進行比較,如表1所示。用B1C和B1L表示B1頻率的偽距和相位觀測值,B2C和B2L表示B2頻率的偽距和相位觀測值。

        表1 自相關(guān)函數(shù)和MINQUE兩種方法估計的各類觀測值精度比較 m

        通過對比兩種方法計算得到的各類觀測值的精度可以看出:直接利用殘差估值,使用自相關(guān)函數(shù)估計得到的觀測值精度與MINQUE方法估計得到的觀測值精度具有較好的一致性,證明此種簡單的估計方法是可行的??紤]到在估計空間、交叉及時間相關(guān)系數(shù)時待估參數(shù)數(shù)量大,MINQUE方差分量估計方法計算效率將會大大降低,因此,在接下來對空間、交叉和時間相關(guān)系數(shù)進行估計時均采用交叉相關(guān)函數(shù)。

        2.2 同類觀測值不同衛(wèi)星間的空間相關(guān)性

        在單差模式下,空間相關(guān)性定義為不同衛(wèi)星的同一類型觀測值在同一歷元的相關(guān)性。根據(jù)交叉相關(guān)函數(shù),對于K個歷元的觀測值,觀測值殘差和的空間相關(guān)系數(shù)定義為:

        (10)

        (11)

        2.3 同一衛(wèi)星不同類型觀測值的交叉相關(guān)性

        交叉相關(guān)性被定義為同一衛(wèi)星的不同類型觀測值在同一歷元的相關(guān)性。根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義,對于K個歷元觀測值,交叉相關(guān)系數(shù)為:

        (12)

        式中:p,q表示觀測值類型,且ρpq=ρqp,第i個歷元所有觀測值的方差陣Qi為:

        (13)

        式中:Cpq和Cqp表示對角的交叉相關(guān)系數(shù)矩陣,

        Cqp=diag(ρqp(1),…,ρqp(s)),Cpq和Cqp的形式相同。

        2.4 同一衛(wèi)星同類型觀測值的時間相關(guān)性

        時間相關(guān)性被定義為同一衛(wèi)星的同一類型觀測值在歷元之間的相關(guān)性。根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義,歷元間隔為τ的時間相關(guān)系數(shù)定義為:

        τ=|i-j|,(i,j=1,…,K).

        (14)

        其中

        因此,K個歷元觀測值的隨機模型可以表示為下面的形式:

        (15)

        3 實驗結(jié)果和分析

        3.1 數(shù)據(jù)描述

        本文采用三種類型的雙頻北斗接收機收集4組北斗數(shù)據(jù),采樣率為30 s,一組零基線,其余為短基線,具體信息見表2。在數(shù)據(jù)處理中,截止高度角設(shè)置為15°,直接利用觀測值殘差估值使用自相關(guān)和交叉相關(guān)函數(shù)估計物理相關(guān)的隨機模型。

        3.2 北斗隨機模型的分析

        在傳統(tǒng)隨機模型中,碼和相位觀測值的精度通常設(shè)置為0.2 m和2 mm,且忽略觀測值之間的物理相關(guān)性。而對于北斗系統(tǒng),導(dǎo)航星座由GEO、IGSO和MEO衛(wèi)星構(gòu)成,其隨機模型分別進行估計和分析。

        表2 北斗觀測數(shù)據(jù)信息

        3.2.1 觀測值精度分析

        以數(shù)據(jù)4為例對三類衛(wèi)星的觀測值精度進行分析。定時間窗口K=6,直接利用殘差估值計算每顆衛(wèi)星每個頻率的載波相位和碼觀測值的方差,按照高度角對觀測值標(biāo)準(zhǔn)差進行排序,結(jié)果如圖1所示,其中不同顏色表示不同衛(wèi)星的標(biāo)準(zhǔn)差。由圖1可見,觀測值精度與高度角相關(guān),因此采用式(16)對三類衛(wèi)星精度進行擬合[11]:

        σ=a1+a2e-θ/θ0.

        (16)

        式中:σ表示在衛(wèi)星高度角為θ時的觀測值標(biāo)準(zhǔn)差,a1和a2表示未知參數(shù),θ0表示未知的參考高度角。

        擬合曲線在圖1中標(biāo)出,其中藍色和紅色曲線分別表示B2和B1頻率的方差擬合結(jié)果;顯然,B1頻率偽距觀測值的精度高于B2頻率,而兩個頻率相位觀測值的精度相當(dāng)。在同一高度角下,GEO衛(wèi)星兩個頻率的偽距和相位觀測值精度都低于IGSO和MEO衛(wèi)星,說明對所有衛(wèi)星的同一類型觀測值采用同一精度指標(biāo)是不合理的。因此,在實際應(yīng)用中對GEO衛(wèi)星的觀測值應(yīng)適當(dāng)降權(quán)。

        圖1 數(shù)據(jù)4的三種衛(wèi)星高度角相關(guān)的精度

        表3給出了三類衛(wèi)星相位和偽距的擬合參數(shù),其中表示擬合誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差,偽距觀測值的單位為米,相位觀測值的單位為毫米??煽闯鯣EO衛(wèi)星的偽距和相位擬合誤差均大于IGSO和MEO衛(wèi)星,IGSO衛(wèi)星的擬合誤差最小。

        表3 數(shù)據(jù)4相位和碼觀測值的高度角相關(guān)擬合模型

        3.2.2 交叉相關(guān)性分析

        利用四組數(shù)據(jù)分析衛(wèi)星觀測值間的交叉相關(guān)性。對于給定的時間窗口,每顆衛(wèi)星的雙頻觀測數(shù)據(jù)共估計6個交叉相關(guān)系數(shù),數(shù)據(jù)1全部衛(wèi)星觀測值的交叉相關(guān)系數(shù)如圖2所示,其中藍色表示5顆GEO衛(wèi)星的交叉系數(shù),綠色表示5顆IGSO衛(wèi)星的交叉系數(shù),紅色表示4顆MEO衛(wèi)星的交叉系數(shù)。

        圖2 數(shù)據(jù)1的交叉相關(guān)系數(shù)

        由于偽距觀測值的噪聲較大,偽距解算結(jié)果的噪聲比相位更大。在圖2中,三類衛(wèi)星的偽距和相位之間(B1C-B1L、B1C-B2L、B2C-B1L、B2C-B2L)的交叉相關(guān)系數(shù)總體上接近0。對于同一類型觀測值兩個頻率之間表現(xiàn)出較強的相關(guān)性,GEO衛(wèi)星B1C和B2C之間的平均交叉相關(guān)系數(shù)高達0.32,這說明對于Trimble NETR9接收機存在交叉相關(guān)性,在實際處理中交叉相關(guān)性不可忽略。

        表4給出不同類型接收機的平均交叉相關(guān)系數(shù),其中BC-BL表示B1C-B1L、B1C-B2L、B2C-B1L、B2C-B2L的平均值。不同接收機的觀測值相關(guān)程度不同,主要由接收機內(nèi)部因素影響。數(shù)據(jù)1和2對應(yīng)同一種接收機,B1C和B2C、B1L和B2L顯著相關(guān),但相位和偽距之間的交叉相關(guān)性很小。對于數(shù)據(jù)3,B1C和B2C之間存在弱負相關(guān),偽距和相位在不同頻率之間基本是獨立的。對于數(shù)據(jù)4,兩個頻率的偽距和相位觀測值基本不存在交叉相關(guān)。

        表4 四組數(shù)據(jù)的平均交叉相關(guān)系數(shù)

        3.2.3 空間相關(guān)性分析

        利用數(shù)據(jù)2對三類衛(wèi)星間的空間相關(guān)性進行分析。在給定的時間窗口K=6下,計算任意兩顆衛(wèi)星間四種類型觀測值的空間相關(guān)系數(shù),假設(shè)某一歷元下觀測n顆衛(wèi)星,總共有4n×(n-1)/2個空間相關(guān)系數(shù),數(shù)據(jù)2的空間相關(guān)系數(shù)如圖3所示。

        圖3 數(shù)據(jù)2的空間相關(guān)系數(shù)

        圖3中,G表示GEO衛(wèi)星,S表示IGSO衛(wèi)星,M表示MEO衛(wèi)星??傮w上兩個頻率偽距觀測值的空間相關(guān)系數(shù)大于相位觀測值的空間相關(guān)系數(shù)。表5給出四組數(shù)據(jù)不同衛(wèi)星之間空間相關(guān)系數(shù)的平均值。從表中可知,對于四組數(shù)據(jù),GEO-GEO、GEO-IGSO和GEO-MEO的空間相關(guān)系數(shù)比其他類型衛(wèi)星之間的空間相關(guān)系數(shù)略大。并且GEO-GEO、GEO-IGSO和GEO-MEO的空間相關(guān)性呈由大到小的趨勢,推測主要原因是GEO衛(wèi)星相對地面幾乎靜止,IGSO相對地面運行的速度也較MEO衛(wèi)星小。

        表5 四組數(shù)據(jù)的平均空間相關(guān)系數(shù)

        3.2.4 時間相關(guān)性分析

        利用數(shù)據(jù)1和2分析三類衛(wèi)星觀測值的時間相關(guān)性。采用式(14)計算每顆衛(wèi)星每類觀測值的時間相關(guān)系數(shù),對同一類衛(wèi)星的同一種觀測值取平均作為圖4和5中的結(jié)果。

        圖4 數(shù)據(jù)1的時間相關(guān)系數(shù)

        圖5 數(shù)據(jù)2的時間相關(guān)系數(shù)

        圖4顯示零基線時間相關(guān)性非常小,幾乎接近零。主要原因是測站之間相關(guān)性太強,差分基本消除了全部誤差,觀測噪聲只剩下時間不相關(guān)的白噪聲。

        隨著基線的增長,差分觀測值會受外部環(huán)境的影響,觀測值噪聲增大,且觀測噪聲中包含的有色噪聲項使得觀測值時間相關(guān)。圖5給出的短基線結(jié)果驗證了觀測值具有時間相關(guān)性。

        圖5中,對全星座衛(wèi)星,時間相關(guān)性在30 s的時間延遲內(nèi)急劇下降,隨著時間延遲的增大而逐漸減小。時間相關(guān)性在不同頻率和不同類型觀測值之間也不同。對于GEO衛(wèi)星,隨著時間延遲的增大,相位觀測值的時間相關(guān)系數(shù)穩(wěn)定在0.1左右;偽距觀測值的時間相關(guān)系數(shù)下降較為緩慢,GEO衛(wèi)星地球靜止的特性是造成該結(jié)果的主要原因。對于MEO和IGSO衛(wèi)星,同類型不同頻率觀測值的時間延遲相當(dāng),且隨著時間延遲的增大,時間相關(guān)系數(shù)逐漸接近零。表6給出了四組數(shù)據(jù)的平均時間相關(guān)系數(shù)。

        表6 四組數(shù)據(jù)的平均時間相關(guān)系數(shù)

        4 結(jié) 論

        本文主要研究北斗觀測值物理相關(guān)的隨機模型,基于幾何觀測模型,通過與MINQUE方差分量估計方法的隨機模型進行比較,驗證直接利用觀測值殘差估值估計隨機模型的有效性,分析了北斗衛(wèi)星四種類型觀測值高度角相關(guān)的精度、交叉相關(guān)性、空間相關(guān)性和時間相關(guān)性。實驗結(jié)果表明:北斗對地靜止軌道(GEO)衛(wèi)星的觀測誤差、空間相關(guān)性、時間相關(guān)性均大于傾斜同步軌道(IGSO)衛(wèi)星和中軌道(MEO)衛(wèi)星。因此,在實際應(yīng)用中應(yīng)適當(dāng)降低GEO衛(wèi)星觀測值的權(quán)重;北斗衛(wèi)星的同類型觀測值之間均具有較強的交叉相關(guān)性,不同類型觀測值間的交叉相關(guān)性較弱;且隨機模型的估計結(jié)果受接收機的內(nèi)部誤差和測站的外部誤差影響。

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