王樂(lè)洋,李志強(qiáng)

(1.東華理工大學(xué) 測(cè)繪工程學(xué)院，江西 南昌 330013；2．山東建筑大學(xué) 測(cè)繪地理信息學(xué)院，山東 濟(jì)南 250101)

大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理所涉及到的觀測(cè)模型一般為非線(xiàn)性模型[1-2]，而非線(xiàn)性模型參數(shù)估計(jì)一直是測(cè)量平差所研究的重點(diǎn)問(wèn)題之一。對(duì)于非線(xiàn)性模型，常用固有曲率和參數(shù)效應(yīng)曲率來(lái)刻畫(huà)非線(xiàn)性平差模型的非線(xiàn)性強(qiáng)度，進(jìn)而評(píng)估參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)推斷效果[3]。處理非線(xiàn)性模型的傳統(tǒng)方法是線(xiàn)性最小二乘法，利用泰勒公式將非線(xiàn)性模型展開(kāi)并截取至一次項(xiàng)[4]。對(duì)于非線(xiàn)性強(qiáng)度較高的模型，如三角網(wǎng)、導(dǎo)線(xiàn)網(wǎng)，線(xiàn)性近似將引起較大的模型誤差[5-7]。隨著測(cè)量技術(shù)的不斷發(fā)展，對(duì)測(cè)量及平差的精度要求不斷提高，因此，傳統(tǒng)方法并不能滿(mǎn)足當(dāng)今科學(xué)技術(shù)的要求，而如何減弱模型線(xiàn)性化帶來(lái)的模型誤差成為了提高成果質(zhì)量的重要內(nèi)容。關(guān)于如何削弱模型誤差影響，文獻(xiàn)[7]通過(guò)對(duì)非線(xiàn)性函數(shù)求三階偏導(dǎo)數(shù)，考慮了二次項(xiàng)及三次項(xiàng)的影響，提出了非線(xiàn)性模型參數(shù)估計(jì)的直接解法。為了有效地避免導(dǎo)數(shù)計(jì)算，可以通過(guò)函數(shù)差分的方法，利用快速差分迭代解算模型獲取非線(xiàn)性最小二乘參數(shù)估值[8]。文獻(xiàn)[9]研究了基于非線(xiàn)性最小二乘的空間三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法。針對(duì)測(cè)距定位方程該非線(xiàn)性平差模型，文獻(xiàn)[10]給出了距離函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，并推導(dǎo)了非線(xiàn)性平差的封閉牛頓迭代公式以及退化條件。對(duì)于非線(xiàn)性平差精度評(píng)定問(wèn)題，可以從近似非線(xiàn)性函數(shù)的概率密度入手，采用無(wú)需求導(dǎo)的Sterling插值方法研究非線(xiàn)性函數(shù)的統(tǒng)計(jì)信息[11]。

目前，解決非線(xiàn)性最小二乘參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的方法主要分三類(lèi)[12]：第一類(lèi)是線(xiàn)性最小二乘法，用線(xiàn)性模型的理論與方法近似求解，其弊端在于當(dāng)模型的非線(xiàn)性強(qiáng)度較強(qiáng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大的模型誤差[6]。第二類(lèi)是直接搜索算法，如模擬退火法、單純形法、遺傳算法等，其優(yōu)勢(shì)在于不需要求導(dǎo)計(jì)算，但是該類(lèi)方法無(wú)法獲得參數(shù)的解析解，且計(jì)算耗時(shí)很長(zhǎng)[13]。第三類(lèi)方法是迭代解法，如牛頓法、高斯牛頓法、改進(jìn)的高斯牛頓法等[14]。牛頓法每次迭代時(shí)都需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的海森矩陣，當(dāng)遇到非線(xiàn)性函數(shù)復(fù)雜時(shí)往往很難獲得[12]。改進(jìn)的高斯牛頓法與高斯牛頓法具有相同的迭代速率，但由于改進(jìn)的高斯牛頓法在每次迭代時(shí)都需要確定一個(gè)步長(zhǎng)因子，因此其計(jì)算量仍大于高斯牛頓法[13]。高斯牛頓法不僅具有牛頓法的收斂速率，而且每次迭代計(jì)算工作量相對(duì)最少[12]，且在實(shí)際執(zhí)行該算法前，總是通過(guò)某種方法求得一個(gè)靠近參數(shù)真值的解作為迭代初值進(jìn)行解算，因此可以避免迭代算法受初值較差的影響，使其迭代收斂。

考慮到使用高斯牛頓迭代法解算非線(xiàn)性模型得到的參數(shù)估值并不能滿(mǎn)足方差最小性和無(wú)偏性[15-17]，考慮將Bootstrap采樣方法引入非線(xiàn)性參數(shù)估計(jì)問(wèn)題中。Bootstrap采樣方法也稱(chēng)為自助法，該方法通過(guò)對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的有放回隨機(jī)采樣，能夠充分利用觀測(cè)值的先驗(yàn)信息和數(shù)據(jù)性質(zhì)，降低參數(shù)估值偏差，改善參數(shù)估值的質(zhì)量。文獻(xiàn)[18]首次提出了自助法，并給出了采樣策略和相關(guān)證明，提出通過(guò)研究由重復(fù)采樣得到的自助世界的經(jīng)驗(yàn)分布來(lái)逼近真實(shí)分布的思想。文獻(xiàn)[19]研究了確定置信區(qū)間的Bootstrap改進(jìn)方法。針對(duì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的數(shù)據(jù)，可以采用更具一般性的Bootstrap假設(shè)檢驗(yàn)方法對(duì)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行推斷分析[20]。文獻(xiàn)[21]綜述了自助法在機(jī)器學(xué)習(xí)方面的應(yīng)用和進(jìn)展。針對(duì)自助法在標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)、偏差計(jì)算、回歸分析、區(qū)間估計(jì)、置換檢驗(yàn)、交叉驗(yàn)證等諸多方面的研究，也獲得了豐富的成果[22-25]。自助法的研究主要集中在該方法在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的性質(zhì)，目前尚未發(fā)現(xiàn)將該方法用于非線(xiàn)性參數(shù)估計(jì)的論文出現(xiàn)。

本文從處理測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差模型的傳統(tǒng)方法出發(fā)，針對(duì)該方法在處理非線(xiàn)性模型時(shí)引起較大模型誤差的局限性，采用高斯牛頓迭代方法求取未知點(diǎn)坐標(biāo)；為減小迭代計(jì)算產(chǎn)生的偏差，引入Bootstrap采樣方法，從而進(jìn)一步改善參數(shù)估值質(zhì)量。針對(duì)等精度和不等精度觀測(cè)數(shù)據(jù)，本文通過(guò)兩個(gè)案例研究并與傳統(tǒng)方法進(jìn)行對(duì)比分析，來(lái)驗(yàn)證本文方法的有效性和優(yōu)勢(shì)性。

1 測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差模型及其高斯牛頓迭代解法

以角度為觀測(cè)值、未知點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)的平差模型，稱(chēng)為測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差模型。為直觀表示，假設(shè)角度測(cè)量的示意圖如圖1所示，其中點(diǎn)j為頂點(diǎn)，∠hjk為待測(cè)角。

圖1 測(cè)角示意圖

假設(shè)測(cè)角觀測(cè)方程的向量表達(dá)式為：

L=f(X)+ε.

(1)

式中：L∈Rn×1為相互獨(dú)立的角度觀測(cè)值向量；X∈Rt×1為未知點(diǎn)坐標(biāo)向量；f(·)表示非線(xiàn)性映射關(guān)系，f(X)為n個(gè)非線(xiàn)性函數(shù)組成的向量；ε∈Rt×1表示角度觀測(cè)誤差向量。

用未知點(diǎn)坐標(biāo)估值和測(cè)角真誤差的估值分別代替其真值，得測(cè)角網(wǎng)模型的誤差方程：

(2)

(3)

(4)

矩陣表達(dá)形式為：

v=Bx-l.

(5)

式中：B為誤差方程的系數(shù)矩陣，x為未知點(diǎn)坐標(biāo)改正數(shù)向量，l為誤差方程常數(shù)項(xiàng)向量。

根據(jù)最小二乘原理，加權(quán)最小二乘解為[26-27]：

x=(BTPB)-1BTPl.

(6)

式中：P是角度觀測(cè)值的權(quán)陣。

最后可得測(cè)角網(wǎng)模型未知點(diǎn)坐標(biāo)估值為：

(7)

式中：X0為未知點(diǎn)坐標(biāo)初值。

(8)

(9)

將高斯牛頓解法用于求解測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差模型的關(guān)鍵，是每步迭代后都需要及時(shí)更新系數(shù)矩陣B及常數(shù)項(xiàng)向量l。因此，分析歸納誤差矩陣及常數(shù)項(xiàng)向量的特點(diǎn)和性質(zhì)就顯得尤為重要。

假設(shè)式(4)的系數(shù)為：

(10)

等價(jià)于

(11)

式中：ai，bi，ci，di由式(10)求得，其數(shù)值的正負(fù)取決于坐標(biāo)增量ΔX,ΔY的正負(fù)；(+ai),(-ai),(+bi),(-bi),(+ci),(-ci),(+di),(-di)的正負(fù)由坐標(biāo)增量與式(6)中的正負(fù)號(hào)共同決定。

由圖1可知，對(duì)于所有觀測(cè)角度L，其誤差方程總共存在7種表達(dá)形式，見(jiàn)表1。

表1 誤差方程的不同形式

根據(jù)高斯牛頓迭代原理及系數(shù)矩陣及常數(shù)項(xiàng)向量的更新規(guī)律，測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差的高斯牛頓迭代解法總結(jié)為算法1。

算法1：高斯牛頓迭代解法。

1)利用余切公式獲取迭代初值X0；

2)計(jì)算各基線(xiàn)邊的坐標(biāo)增量ΔX，ΔY及邊長(zhǎng)S；

3)由式(10)計(jì)算系數(shù)ai，bi，ci，di，并獲取Bk；

4)計(jì)算各基線(xiàn)邊的近似坐標(biāo)方位角α0，得到lk；

2 測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差模型的Bootstrap參數(shù)估計(jì)方法

Bootstrap采樣方法通過(guò)重采樣給定觀測(cè)數(shù)據(jù)獲取自助樣本來(lái)統(tǒng)計(jì)推斷未知參數(shù)，該方法通過(guò)對(duì)已知樣本(假設(shè)樣本容量為n)做有放回隨機(jī)循環(huán)抽樣，得到M個(gè)樣本容量仍為n的自助樣本，進(jìn)而估計(jì)原始樣本的有效信息。自助法能充分利用總體包含在原始樣本中的所有信息，使得自助樣本的分布能夠不斷逼近原始樣本統(tǒng)計(jì)量的分布。該方法的優(yōu)勢(shì)性在于它不需要對(duì)未知模型及分布做任何假設(shè)，也無(wú)需推導(dǎo)估計(jì)量的精確表達(dá)式，只需通過(guò)檢驗(yàn)樣本內(nèi)統(tǒng)計(jì)量的變化來(lái)估計(jì)未知參數(shù)的整個(gè)抽樣分布，即對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行重采樣并計(jì)算估計(jì)值[21]。

(12)

根據(jù)Bootstrap方法采樣策略、高斯牛頓迭代原理及系數(shù)矩陣和常數(shù)項(xiàng)向量的更新規(guī)律，測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差模型的Bootstrap參數(shù)估計(jì)方法總結(jié)為算法2。

算法2：Bootstrap重采樣方法。

1)假設(shè)原始觀測(cè)值樣本N=(L1,L2,…，Ln)為觀測(cè)總體，其權(quán)陣為P=(P1,P2,…,P3)；

2)產(chǎn)生n個(gè)隨機(jī)數(shù)(i1,i2,…，in)，其中1≤iu≤n，(u=1,2,3,…，n)；

3)對(duì)N中的觀測(cè)值進(jìn)行采樣，獲取自助樣本Nr=(Li1,Li2,Li3,…,Lin)，其中1≤r≤1 000；

5)根據(jù)自助樣本中的角度數(shù)據(jù)，利用余切公式獲取坐標(biāo)迭代初值X0；

6)計(jì)算采樣到的基線(xiàn)邊的坐標(biāo)增量ΔY,ΔX及邊長(zhǎng)S；

7)由式(10)計(jì)算系數(shù)ai，bi，ci，di，并獲取系數(shù)矩陣Bk；

8)計(jì)算采樣到的基線(xiàn)邊的近似坐標(biāo)方位角α0，并獲取常數(shù)項(xiàng)向量lk；

12)通過(guò)式(12)計(jì)算未知點(diǎn)坐標(biāo)的自助估計(jì)值。

根據(jù)以上計(jì)算步驟，可以得到測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差模型的Bootstrap參數(shù)估計(jì)算法迭代流程圖，如圖2所示。

圖2 測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差模型的Bootstrap參數(shù)估計(jì)算法迭代流程圖

從上述迭代步驟可以看出，所有自助樣本中包含的樣本數(shù)據(jù)均來(lái)源于原始樣本，并未根據(jù)更多的觀測(cè)信息進(jìn)行計(jì)算，所以測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差模型的Bootstrap參數(shù)估計(jì)方法與高斯牛頓算法均是利用相同的角度觀測(cè)數(shù)據(jù)最終得到未知點(diǎn)坐標(biāo)估值。

3 算例及分析

3.1 案例1：獨(dú)立等精度情況

模擬一個(gè)加密控制網(wǎng)，如圖3所示。網(wǎng)中A，B，C，D是已知三角點(diǎn)，P是待定點(diǎn)，獨(dú)立等精度獲取12個(gè)觀測(cè)角度，已知點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

圖3 測(cè)角網(wǎng)示意圖

表2 已知點(diǎn)數(shù)據(jù) m

表3 自助法計(jì)算參數(shù)估值的過(guò)程

從表3可以看出，自助法采樣過(guò)程將原始觀測(cè)數(shù)據(jù)采樣成了多個(gè)自助樣本，雖然每個(gè)自助樣本的樣本容量與原始樣本相同，但并不是改變觀測(cè)值的先后排列順序。有放回隨機(jī)抽樣過(guò)程使得每個(gè)自助樣本中可能存在重復(fù)的原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，而另外一些原始樣本點(diǎn)沒(méi)有出現(xiàn)。因此，每個(gè)自助樣本將隨機(jī)地異于原始樣本，導(dǎo)致每個(gè)自助樣本獲得的參數(shù)估值存在細(xì)微差異。

采用最小二乘法(LS)、基于最小二乘的Bootstrap方法(LSB)、算法1(GNI)及算法2(GNIB)計(jì)算該測(cè)角網(wǎng)中未知點(diǎn)坐標(biāo)，各方法的參數(shù)估值、范數(shù)結(jié)果見(jiàn)表4。LSB法的具體表現(xiàn)為在獲取自助樣本后、通過(guò)LS方法來(lái)解算自助樣本獲取未知點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)。

表4 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

從表4結(jié)果可以看出，經(jīng)典LS法得到的坐標(biāo)估值與參數(shù)真值偏離較大。考慮到參數(shù)估值的真誤差一般由觀測(cè)誤差以及線(xiàn)性近似所引起的模型誤差共同影響。而針對(duì)非線(xiàn)性強(qiáng)度很強(qiáng)的測(cè)角網(wǎng)模型，在具有相同觀測(cè)誤差的角度觀測(cè)值情況下，LS法得到的參數(shù)估值最差，表明LS法在線(xiàn)性近似的過(guò)程中，引入了較大的模型誤差，從而嚴(yán)重影響坐標(biāo)估計(jì)值的質(zhì)量。相比于LS法及LSB法，基于逐步線(xiàn)性化的GNI法得到的參數(shù)估值更接近于參數(shù)真值，表明GNI法通過(guò)反復(fù)迭代的確能夠削弱線(xiàn)性近似所帶來(lái)的模型誤差的影響，使其參數(shù)估值精確度比傳統(tǒng)方法有較為明顯的提高。

同時(shí)，相比于傳統(tǒng)的LS法，LSB法能夠改善參數(shù)估值的質(zhì)量；而相比于GNI法，GNIB法在估計(jì)值的精確度方面也有較明顯的提升，且均優(yōu)于LS法及LSB法。表明將自助法與傳統(tǒng)的最小二乘法及高斯牛頓迭代法結(jié)合是可行且有效的。自助法的循環(huán)有放回隨機(jī)采樣過(guò)程獲得的自助樣本能夠充分利用角度觀測(cè)值先驗(yàn)信息，而且該采樣過(guò)程不會(huì)產(chǎn)生額外的模型誤差，也不會(huì)改變模型態(tài)性。尤其是GNIB法，其大量的自助樣本能夠減小GNI法計(jì)算坐標(biāo)估值產(chǎn)生的偏差，從而使得GNIB法獲得的坐標(biāo)估值最接近真值。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，算法2除具備算法1的優(yōu)點(diǎn)外，其采樣角度觀測(cè)值獲得的大量自助樣本可以減小GNI法計(jì)算產(chǎn)生的偏差，進(jìn)而改善參數(shù)估值的質(zhì)量。

3.2 案例2：獨(dú)立不等精度情況

模擬一個(gè)更復(fù)雜的測(cè)角網(wǎng)，如圖4所示。網(wǎng)中A,B,C,D是已知點(diǎn)，P1,P2是待定點(diǎn)，獨(dú)立不等精度觀測(cè)了18個(gè)角度，已知點(diǎn)坐標(biāo)值見(jiàn)表5。

圖4 測(cè)角網(wǎng)示意圖

表5 已知點(diǎn)數(shù)據(jù) m

表6 角度觀測(cè)數(shù)據(jù)

針對(duì)不等精度的測(cè)角網(wǎng)觀測(cè)數(shù)據(jù)，自助法獲取自助樣本及參數(shù)估值的具體實(shí)施過(guò)程見(jiàn)表7。

表7 Bootstrap參數(shù)估計(jì)方法重采樣過(guò)程

XLFXL從表7的自助采樣過(guò)程可以看出，針對(duì)不等精度觀測(cè)數(shù)據(jù)，自助法重采樣獲取自助樣本的過(guò)程中，需要對(duì)觀測(cè)值及其權(quán)值同步采樣，保持觀測(cè)值與其權(quán)值相對(duì)應(yīng)。自助法通過(guò)有放回隨機(jī)抽樣將樣本容量為18的原始角度觀測(cè)值樣本采樣成M個(gè)自助樣本，該過(guò)程并不是改變觀測(cè)值的先后排列順序，其采樣過(guò)程使得某些原始數(shù)據(jù)點(diǎn)重復(fù)出現(xiàn)，而另外一些原始樣本點(diǎn)沒(méi)有被采樣到。因此，利用高斯牛頓解算每個(gè)自助樣本得到的未知點(diǎn)坐標(biāo)估值存在細(xì)微差異。

分別采用線(xiàn)性加權(quán)最小二乘法(WLS)、基于加權(quán)最小二乘的Bootstrap方法(WLSB)、算法1(GNI)以及算法2(GNIB)對(duì)該測(cè)角網(wǎng)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，各方法的參數(shù)估值、范數(shù)結(jié)果見(jiàn)表8。為更好地實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)對(duì)照，WLSB法是WLS法與Bootstrap方法結(jié)合后的方法，具體表現(xiàn)為通過(guò)WLS法來(lái)解算自助樣本。

表8 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

由表8的結(jié)果可以看出，傳統(tǒng)WLS法獲取的坐標(biāo)估值質(zhì)量最差，是由于該方法需要利用泰勒級(jí)數(shù)對(duì)測(cè)角網(wǎng)模型進(jìn)行線(xiàn)性化處理，在截?cái)嗳≈烈淮雾?xiàng)的過(guò)程中不可避免地引入了線(xiàn)性化模型誤差。對(duì)于非線(xiàn)性強(qiáng)度很強(qiáng)的測(cè)角網(wǎng)模型，線(xiàn)性近似將產(chǎn)生大于觀測(cè)誤差的模型誤差，該誤差極易引起參數(shù)估值與真值偏離較大；當(dāng)坐標(biāo)初值計(jì)算不準(zhǔn)確時(shí)，將嚴(yán)重影響坐標(biāo)估計(jì)值的質(zhì)量。而相比于WLS法和WLSB法，GNI法得到的參數(shù)估值最優(yōu)，說(shuō)明GNI法能夠減弱測(cè)角網(wǎng)函數(shù)模型線(xiàn)性近似所帶來(lái)的模型誤差的影響，其循環(huán)迭代過(guò)程可以不斷修正參數(shù)估值，在一定程度上能夠有效改善傳統(tǒng)WLS法對(duì)測(cè)角網(wǎng)模型線(xiàn)性化過(guò)程中所引起的精度損失，使其參數(shù)估值比傳統(tǒng)的線(xiàn)性近似方法更接近參數(shù)真值。

相比于傳統(tǒng)的WLS法，WLSB能夠提高參數(shù)估值的質(zhì)量；而相比于GNI法，GNIB法在參數(shù)估值的精確度方面也具有一定的提升。結(jié)果表明自助法同樣適用于不等精度的角度觀測(cè)數(shù)據(jù)。由于自助法重采樣不需要對(duì)模型及分布做任何假設(shè)，也無(wú)需推導(dǎo)參數(shù)估值的精確表達(dá)式，而有放回隨機(jī)采樣過(guò)程獲得的自助樣本能夠更好地包含原始觀測(cè)值的先驗(yàn)信息和數(shù)據(jù)性質(zhì)。尤其是GNIB法，其大量的自助樣本能夠減小GNI法計(jì)算產(chǎn)生的偏差，提高參數(shù)估值的精確度。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了自助法在重采樣不等精度觀測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)需要對(duì)觀測(cè)值的權(quán)值同步采樣的正確性，也再次驗(yàn)證了將自助法與高斯牛頓迭代法相結(jié)合、并用于測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差模型的有效性與優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差模型和Bootstrap重采樣理論，將高斯牛頓迭代解法應(yīng)用于測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差模型，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合自助法，提出了測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差模型的Bootstrap參數(shù)估計(jì)算法，并給出了詳細(xì)的采樣步驟及計(jì)算流程圖。針對(duì)等精度與不等精度的獨(dú)立觀測(cè)數(shù)據(jù)，將本文方法用于兩個(gè)測(cè)角網(wǎng)案例，并與傳統(tǒng)的加權(quán)最小二乘法和基于加權(quán)最小二乘的Bootstrap方法求取的坐標(biāo)估值進(jìn)行比較。由于測(cè)角網(wǎng)模型的非線(xiàn)性強(qiáng)度較強(qiáng)，經(jīng)典的加權(quán)最小二乘法在對(duì)測(cè)角網(wǎng)模型進(jìn)行線(xiàn)性化處理過(guò)程中引入了較大的模型誤差，導(dǎo)致其坐標(biāo)估值與真值偏離較大。而高斯牛頓法通過(guò)迭代削弱了因線(xiàn)性近似帶來(lái)的模型誤差的影響，有效改善傳統(tǒng)最小二乘法對(duì)測(cè)角網(wǎng)模型線(xiàn)性化所引起的參數(shù)精度損失，使其坐標(biāo)估值比傳統(tǒng)方法獲得的結(jié)果更加準(zhǔn)確。測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差模型的Bootstrap參數(shù)估計(jì)算法具備了除高斯牛頓迭代法的所有優(yōu)點(diǎn)外，由于其重采樣過(guò)程不僅不會(huì)產(chǎn)生額外的模型誤差，而且能夠充分利用角度觀測(cè)值性質(zhì)，其大量的自助樣本能夠減小高斯牛頓迭代計(jì)算產(chǎn)生的偏差，進(jìn)一步提高參數(shù)估值的精確度。算例驗(yàn)證了將高斯牛頓迭代解法應(yīng)用于測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差模型的必要性與實(shí)用性，也驗(yàn)證了將Bootstrap參數(shù)估計(jì)方法用于測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差模型的有效性與優(yōu)勢(shì)性。

在計(jì)算效率方面，自助法通過(guò)重采樣觀測(cè)值得到M個(gè)自助樣本，其解算過(guò)程盡管會(huì)增加計(jì)算耗時(shí)，但是其原理簡(jiǎn)單、適用性強(qiáng)，易于理解和編碼，且重采樣次數(shù)M可調(diào)，它僅需要通過(guò)計(jì)算機(jī)重復(fù)解算自助樣本便可改善未知參數(shù)的質(zhì)量，不失為一種較好的參數(shù)估計(jì)方法。本文方法同樣也適用于觀測(cè)值相互獨(dú)立的非線(xiàn)性模型參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，本文僅以測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差為例。隨著自助法的首次引入測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差模型中，將拓展自助法在參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用，也將是非線(xiàn)性平差理論研究的一個(gè)重要補(bǔ)充。

Bootstrap采樣方法依賴(lài)于原始觀測(cè)數(shù)據(jù)的樣本容量，足夠的觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)提高參數(shù)估值的自助估計(jì)十分重要。此外，對(duì)于相關(guān)觀測(cè)數(shù)據(jù)的非線(xiàn)性平差及提高計(jì)算效率的問(wèn)題還需要進(jìn)一步研究。