華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 葛文秀

廣東食品藥品職業(yè)學(xué)院軟件學(xué)院(510665) 阮麗華

一、導(dǎo)言

有些關(guān)鍵考試的結(jié)果對(duì)于受試者而言,其重要性是不言而喻的,比如高考成績(jī)甚至?xí)绊懙娇忌囊簧?考試結(jié)束之后,接踵而至的是閱卷評(píng)分工作.隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展,閱卷方式也發(fā)生了較大的變化.在現(xiàn)代信息技術(shù)出現(xiàn)之前,閱卷的主要方式是手工閱卷.光學(xué)標(biāo)記閱讀機(jī)的出現(xiàn), 完成了通過掃描信息卡上的涂寫內(nèi)容實(shí)現(xiàn)對(duì)選擇題目的自動(dòng)判讀.隨著網(wǎng)絡(luò)通信技術(shù)的發(fā)展,網(wǎng)上閱卷開始被大量采用,大大節(jié)省了成績(jī)的錄入時(shí)間,提高了閱卷的工作效率[1].

然而,值得注意的是,網(wǎng)絡(luò)閱卷只是閱卷方式的改變,由原來的紙質(zhì)答卷變?yōu)殡娮訏呙柚蟮碾娮觾?nèi)容,其非選擇題部分仍然需要人工閱卷.同時(shí),隨著考試頻率的增加,教師要在有限的時(shí)間內(nèi)對(duì)大量的試卷給出科學(xué)、公平的評(píng)判仍然是一項(xiàng)重要而且艱巨的工作.已有少量文獻(xiàn)開始探討將人工智能技術(shù)引入到評(píng)卷工作中[1-4].不同于已有文獻(xiàn),本文將以地市級(jí)模擬考試為例探討大型數(shù)學(xué)考試中將填空題目分割與否對(duì)考試評(píng)卷工作中的錯(cuò)判數(shù)量和工作效率的影響.此外,本文采用概率建模和隨機(jī)模擬兩種方法分析問題,也是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育中有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的一個(gè)較好的應(yīng)用范例.

二、兩種評(píng)卷方式的比較

本文討論中學(xué)數(shù)學(xué)大型模擬考試中關(guān)于4 道填空題目的兩種評(píng)卷方式:

方案1將4 道填空題目切割,即閱卷系統(tǒng)每次向一位評(píng)卷員發(fā)送的任務(wù)是評(píng)閱一道題,以下簡(jiǎn)稱為切割填空題;

方案24 道填空題目未切割,即閱卷系統(tǒng)每次向一位評(píng)卷員發(fā)送的任務(wù)是評(píng)閱4 道題,評(píng)卷員需將4 道題的成績(jī)一起提交,以下簡(jiǎn)稱為未切割填空題.

在具體討論之前,首先介紹一下大型數(shù)學(xué)模擬考試填空題目的評(píng)卷制度.大型中學(xué)數(shù)學(xué)模擬考試填空題的改卷實(shí)行“二評(píng)制度”,即一份答卷首先由兩名評(píng)卷員評(píng)分,稱為第一評(píng)和第二評(píng).若兩名評(píng)卷員的給分完全一致,則此份試卷的給分確定.否則,此份試卷將提交到題組長(zhǎng)處進(jìn)行第三評(píng).

本文主要研究?jī)蓚€(gè)問題:問題1.在兩種方案下,由兩名評(píng)卷員同時(shí)改錯(cuò)導(dǎo)致的錯(cuò)判試卷數(shù)量; 問題2.在兩種方案下,組長(zhǎng)卷的數(shù)量.

為表述方便,引入如下符號(hào):N:考生試卷總份數(shù);Ai:第i題兩名評(píng)卷員同時(shí)改錯(cuò),i=1,2,3,4;Bij:第i題第j名改卷員改錯(cuò),i=1,2,3,4,j=1,2;Di:第i題兩名評(píng)卷員的給分不同,i=1,2,3,4.同時(shí)做如下假設(shè):每名評(píng)卷員每道題的改錯(cuò)概率相同,而且任意兩名評(píng)卷員改錯(cuò)與否是相互獨(dú)立的.

問題1.兩種方案下,由兩個(gè)評(píng)卷員同時(shí)改錯(cuò)導(dǎo)致的錯(cuò)判試卷數(shù)量

方案1.切割填空題.

記每名評(píng)卷員每道題目的改錯(cuò)概率為參數(shù)p1, 即P(Bi1)=P(Bi2)=p1.進(jìn)而, 因?yàn)閮擅u(píng)卷員同時(shí)改錯(cuò)同一道題目而導(dǎo)致錯(cuò)判的概率P(Ai)=P(Bi1∩Bi2)=.因?yàn)樘羁疹}切割,則改卷數(shù)量由N份變成4N份.記Y1:4N份試卷中, 兩名評(píng)卷員同時(shí)改錯(cuò)的數(shù)量.則Y1服從參數(shù)為4N和的二項(xiàng)分布Y1～B(4).

方案2.未切割填空題.

記每名評(píng)卷員每道題目的改錯(cuò)概率為參數(shù)p2, 即P(Bi1)=P(Bi2)=p2,i= 1,2,3,4.進(jìn)而, 第i道題目?jī)擅u(píng)卷員同時(shí)改錯(cuò)的概率P(Ai)=P(Bi1∩Bi2)=.記X:同一份試卷兩名評(píng)卷員同時(shí)改錯(cuò)的題目數(shù)量.則有X ～B(4).從而,對(duì)于一份試卷,此份試卷被兩名評(píng)卷員同時(shí)改錯(cuò)導(dǎo)致錯(cuò)判的概率為

記Y2:N份試卷中,兩名評(píng)卷員同時(shí)改錯(cuò)導(dǎo)致錯(cuò)判的數(shù)量.則有Y2～B(N,1-(1)4).

因?yàn)閅1,Y2的分布不同, 從期望角度進(jìn)行比較, 可知:E(Y1)=4Np21,E(Y2)=N[1-(1-p22)4].當(dāng)p22很小時(shí),由Taylor 展開式可得,

由上面的概率建模,不難發(fā)現(xiàn):若p1=p2,從期望角度看,兩種不同方案下,因?yàn)樵u(píng)卷員同時(shí)改錯(cuò)導(dǎo)致的錯(cuò)判試卷數(shù)量無顯著差異.

表1 給出了在考生人數(shù)N= 400000,p1=p2=p分別為0.0001,0.0005,0.001,0.005 以及0.01 的情況下,兩種方案平均錯(cuò)判的數(shù)量E(Y1),E(Y2)以及兩者差值的模擬結(jié)果.

表1.兩種方案下平均錯(cuò)判試卷數(shù)量的比較

注:結(jié)果保留2 位小數(shù).

由上面的模擬結(jié)果發(fā)現(xiàn),與理論結(jié)果相同,在每名評(píng)卷員每道題目的改錯(cuò)概率相同的情況下,由期望角度看,兩種方案的平均錯(cuò)判數(shù)量沒有顯著差異.

問題2.在兩種方案下,組長(zhǎng)改卷量

因?yàn)樘羁疹}每道題目的給分只有正確和錯(cuò)誤兩種情況,按照改卷質(zhì)量控制的要求,若兩名評(píng)卷員對(duì)同一道題目的給分不一致,則此份試卷將由題組長(zhǎng)批改.

方案1.切割填空題.

與問題1 相同,仍然記每名評(píng)卷員每道題目的改錯(cuò)概率為參數(shù)p1.則對(duì)于第i題,兩名評(píng)卷員給分不一致的概率為

記Y3:4N份試卷中, 題組長(zhǎng)的改卷數(shù)量.則有Y3～B(4N,2p1(1-p1)).

方案2.未切割填空題.

仍然記每名評(píng)卷員每道題目的改錯(cuò)概率為參數(shù)p2.則對(duì)于第i題,兩名評(píng)卷員給分不一致的概率

記Z:同一份試卷兩名評(píng)卷員給分不一致的題目數(shù)量.則Z ～B(4,2p2(1-p2)).進(jìn)而對(duì)于一份試卷,需要題組長(zhǎng)批改的概率為

記Y4:N份試卷中,題組長(zhǎng)的改卷數(shù)量.則Y4～B(N,1-[1-2p2(1-p2)]4).

因?yàn)閅3,Y4的分布不同, 從期望角度進(jìn)行比較:E(Y3)=8Np1(1-p1),E(Y4)=N{1-[1-2p2(1-p2)]4}.

表2 給出了在考生人數(shù)N= 400000,p1=p2=p分別為0.0001,0.0005,0.001,0.005 以及0.01 的情況下,兩種方案下組長(zhǎng)卷的數(shù)量E(Y3),E(Y4)以及兩者差值的模擬結(jié)果.

表2.兩種改卷方案下組長(zhǎng)卷數(shù)量的比較

注:結(jié)果保留2 位小數(shù).

由上面的模擬結(jié)果不難發(fā)現(xiàn):在兩種方案下,若每道題目每個(gè)評(píng)卷員改錯(cuò)的概率相同,則從期望角度比較,因?yàn)閮蓚€(gè)評(píng)卷員給分不一致導(dǎo)致的題組長(zhǎng)改卷數(shù)量方案1 比方案2 略多,而且隨評(píng)卷員改錯(cuò)概率增加,兩種方案的題組長(zhǎng)改卷量差異增大.

三、結(jié)論

本文以中學(xué)數(shù)學(xué)大型模擬考試的填空題為例,探討切割填空題的評(píng)卷方式與未切割填空題的評(píng)卷方式兩種方案在試卷錯(cuò)判數(shù)量以及相應(yīng)的組長(zhǎng)卷數(shù)量方面的優(yōu)劣比較.通過概率統(tǒng)計(jì)建模以及模擬研究發(fā)現(xiàn):在兩種方案下,從期望的角度出發(fā),因?yàn)閮擅u(píng)卷員同時(shí)改錯(cuò)導(dǎo)致的錯(cuò)判試卷數(shù)量無顯著性差異;同時(shí),因?yàn)閮擅u(píng)卷員給分不一致導(dǎo)致的題組長(zhǎng)改卷量切割填空題的方案1 比未切割方式的方案2 略多,而且隨評(píng)卷員改錯(cuò)概率增加,兩種方案的組長(zhǎng)卷差異增大.

此外,相比于未切割填空題的方案2,切割填空的方案1每個(gè)題目的評(píng)分都需要點(diǎn)擊“提交”按鈕,導(dǎo)致評(píng)卷員點(diǎn)擊鼠標(biāo)次數(shù)高于方案2.同時(shí),因?yàn)殚喚頂?shù)量大,調(diào)用試卷過程中涉及到的網(wǎng)絡(luò)延時(shí)也是一個(gè)影響方案1 工作效率的因素.然而,方案1 并不是完全沒有優(yōu)點(diǎn).切割填空的方案1 將能夠獲得每一道填空題目的分值數(shù)據(jù),有助于進(jìn)一步分析處理.

綜上所述,本文認(rèn)為在保證公平性、科學(xué)性基礎(chǔ)上,從提高大型模擬考試評(píng)卷的工作效率角度出發(fā),基于錯(cuò)判試卷數(shù)量和組長(zhǎng)卷數(shù)量?jī)蓚€(gè)指標(biāo),未切割填空題的方案2 優(yōu)于切割填空題的方案1.