李龍妹,鄭婷婷,尹文靜

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

0 引言

現(xiàn)實世界中存在著大量的不確定、不完整的信息,Zadeh[1]提出的模糊集理論是解決這類問題的有效工具。許多學(xué)者在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入的研究,并推廣至直覺模糊集[2](Intuitionistic fuzzy set, IFS),區(qū)間直覺模糊集[3],畢達(dá)哥拉斯模糊集[4](Pythagorean fuzzy set,PFS)等。但當(dāng)多位專家對某項決策出現(xiàn)猶豫不決、決策難以達(dá)成一致時,上述的模糊集方法顯得有些力不從心。為解決此類問題,Torra[5]提出了猶豫模糊集的概念,其元素的隸屬度是由一般模糊數(shù)組成的集合,從而包含所有專家在決策中產(chǎn)生的模糊信息。人們在猶豫模糊集的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究,產(chǎn)生了對偶猶豫模糊集[6]、直覺猶豫模糊集[7]、區(qū)間直覺猶豫模糊集[8]等概念,這些理論已經(jīng)成功應(yīng)用到聚類分析、模式識別、多屬性決策等領(lǐng)域。現(xiàn)實世界可能會存在隸屬度和非隸屬度之和大于1的情形,此時在直覺模糊環(huán)境下就不能解決此問題。Yager[4]提出了畢達(dá)哥拉斯模糊集,其中隸屬度和非隸屬度的平方和小于等于1，顯然畢達(dá)哥拉斯模糊集的應(yīng)用范圍比直覺模糊集更廣泛。近年來一些學(xué)者把猶豫模糊集和畢達(dá)哥拉斯模糊集結(jié)合在一起,提出了畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集,但不同的學(xué)者對此的定義不同,Khan[9]和Liang[10]認(rèn)為任意一個元素的隸屬度與非隸屬度是兩個獨(dú)立的猶豫模糊數(shù)。Wei[11]認(rèn)為一個畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊數(shù)是幾個畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)組成的集合。Zhang[12]研究了區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集 (Interval-valued Pythagorean hesitant fuzzy set,IVPHFS),將每個區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊數(shù) (Interval-valued Pythagorean hesitant fuzzy element,IVPHFE) 視為幾個區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù) (Interval-valued Pythagorean fuzzy element,IVPFE) 的集合,該理論更適合描述復(fù)雜模糊的環(huán)境。她提出了IVPHFS的一些算子,并把它們應(yīng)用到群決策問題中。Zheng[13]構(gòu)造了一系列IVPHFS相關(guān)系數(shù),并用它們?nèi)ソ鉀Q聚類和多屬性決策問題。到目前為止,關(guān)于區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊環(huán)境下的不確定性問題的研究還很少。

模糊集的不確定性一直是模糊集理論的研究熱點(diǎn)之一。這其中最重要的度量指標(biāo)就是熵和相似度。熵是度量不確定信息的重要組成部分。熵值越大,說明信息越模糊。相似度反映的是兩個模糊集之間的近似程度。相似度越大,說明兩個模糊集越接近。它們在模式識別、屬性決策、醫(yī)療診斷等領(lǐng)域都有非常廣泛的應(yīng)用。1968年Zadeh[14]首先提出了模糊熵的概念,用于度量模糊集的模糊程度。Burillo和Bustiuse[15]進(jìn)一步給出了直覺模糊熵的公理化定義。Mao[16]結(jié)合直覺度、模糊度和區(qū)間跨度提出了新的區(qū)間直覺模糊熵和混合熵的概念,并基于混合熵作為相似性度量成功應(yīng)用于多屬性決策問題。Xu[17]給出了猶豫模糊熵、猶豫模糊集相似性度量的公理化定義。Peng[18]研究了畢達(dá)哥拉斯模糊集的各種信息測度間的關(guān)系,包括距離測度、相似度、熵等。Peng[19]還繼續(xù)推廣研究了區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊集(Interval-valued Pythagorean fuzzy set,IVPFS)的相似度。然而目前對IVPHFS的模糊熵和相似度的研究還少見報道。為探究區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集的不確定性,本文提出了區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊熵的公理化準(zhǔn)則,定義了區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊熵,并將其應(yīng)用到屬性權(quán)重完全未知的區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊多屬性決策中,為解決多屬性決策問題提供一種新的思路。

本文首先介紹了區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊集和區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集的定義和相關(guān)知識，然后定義區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集的模糊因子和直覺因子,并給出區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊熵的公理化準(zhǔn)則?；谙戕r(nóng)熵和兩個因子去構(gòu)造區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模熵,證明其符合公理化準(zhǔn)則。之后基于模糊貼近度提出區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集的相似性度量,在此基礎(chǔ)上給出了加權(quán)相似度公式。最后利用新提出的熵和相似度去解決畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊環(huán)境下的多屬性決策問題。

定義1[2]設(shè)X是一個有限論域,稱A為論域X上的一個區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊集IVPFS,定義為:

定義2[12]設(shè)X是一個有限論域,稱A為論域X上的一個區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集IVPHFS其定義為:

A={〈x,hA(x)〉|x∈X},

其中

當(dāng)IVPHFEs中IVPFEs的個數(shù)全為1時,一個IVPHFS退化為一個IVPFS。當(dāng)所有IVPFEs都滿足μ-=μ+,ν-=ν+時,一個IVPFS退化成一個PFS。當(dāng)所有畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)滿足μ+ν≤1時,一個PFS退化成一個IFS。

1 區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊熵

熵可以有效地度量模糊信息,熵值越大,表明信息越模糊?？紤]到區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集的不確定性由模糊因子和直覺因子兩部分構(gòu)成,下面給出模糊因子和直覺因子的定義:

定義3設(shè)A∈IVPHFS(X),則A的模糊因子定義為:

ΔA(x)=

A的直覺因子定義為:

ψA(x)=

下面根據(jù)模糊因子和直覺因子來定義區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊熵的公理化準(zhǔn)則:

定義4設(shè)映射E:IVPHFS(X)→[0,1],對于A∈IVPHFS(X),若E(A)=F(ΔA,ψA),且E(A)滿足以下準(zhǔn)則:

(1)E(A)=0當(dāng)且僅當(dāng)A是X上的清晰集,即?x∈X,hA(x)={〈x,[1,1],[0,0]〉}或hA(x)={〈x,[0,0],[1,1]〉};

(2)E(A)=1當(dāng)且僅當(dāng)?x∈X,hA(x)={〈x,[0,0],[0,0]〉};

(3)E(A)=E(AC);

(4)E(A)隨ΔA(x)的增大而減小,隨ψA(x)的增大而增大。

則稱E(A)為區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊熵。

下面根據(jù)香農(nóng)熵來定義區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊熵。

設(shè)G(x)=-[xlog2x+(1-x)log2(1-x)]是香農(nóng)熵,其中x∈[0,1]。

定義5設(shè)A∈IVPHFS(X),定義:

定理1定義5中的E(A)是一個區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊熵。

(1)E(A)=0

??x∈X,hA(x)={〈x,[1,1],[0,0]〉}或

hA(x)={〈x,[0,0],[1,1]〉}。

(2)E(A)=1

??x∈X,hA(x)={〈x,[0,0],[0,0]〉}。

(4)設(shè)x=ΔA(x),y=ψA(x),

其中x∈[0,1],x2∈[0,1],y∈[0,1],y2∈[0,1]。對x,y求偏導(dǎo),結(jié)果如下:

因此F(x,y)隨x的增大而減小,隨y的增大而增大,所以F(ΔA,ψA)隨ΔA(x)的增大而減小,隨ψA(x)的增大而增大。即E(A)隨ΔA(x)的增大而減小,隨ψA(x)的增大而增大。

綜上知定義5中的E(A)滿足定義4中的公理化條件。

2 區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集的相似性度量

相似度可以衡量兩個IVPHFSs之間的差異,相似度越大,說明兩者越相近;相似度越小,則反映出兩者的區(qū)別越大。

采用Peng[20]的方法對IVPFEs從大到小依次進(jìn)行排序。

分別為A和B的得分函數(shù),

分別為A和B的精確函數(shù)。

(1) 如果K(A)>K(B),則A?B;

(2) 如果K(A)

(3) 如果K(A)=K(B),則

當(dāng)H(A)>H(B),則A?B;

當(dāng)H(A)

當(dāng)H(A)=H(B),則A=B。

不同的IVPHFEs中IVPFEs的個數(shù)可能不同,為了解決這個問題,本文采用最小公倍數(shù)法[13]對IVPHFEs進(jìn)行擴(kuò)充。

對某個IVPHFE中的IVPFEs進(jìn)行排序擴(kuò)充后,基于模糊貼近度給出區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集的相似性度量。

定義8設(shè)A,B∈IVPHFS(X),則A與B之間的相似度定義如下:

s1(A,B)=

s2(A,B)=

其中

σ(j)表示IVPHFE中IVPFEs重新排序擴(kuò)充后的第j大的IVPFE,LA(xi)為|hA(xi)|和|hB(xi)|的最小公倍數(shù)。

性質(zhì)1設(shè)A,∈IVPHFS(X),定義8的5個相似度具有以下性質(zhì):

(1)0≤s(A,B)≤1;

(2)s(A,B)=s(B,A);

(3)s(A,B)=1?A=B。

證明下面以s1為例：

(2)顯然s1(A,B)=s1(B,A)。

(3)如果s1(A,B)=1,則

即

可得A=B。

如果A=B,則

可得

故s1(A,B)=1。

s2,s3,s4,s5的證明過程與s1類似。

例1 設(shè)A,B∈IVPHFS(X),X={x},其中

A={x,〈[0.2,0.3],[0.4,0.5]〉,

〈[0.4,0.5],[0.2,0.3]〉},

B={x,〈[0.4,0.5],[0.2,0.3]〉,

〈[0.2,0.3],[0.4,0.5]〉}。

如果不對其中的IVPFEs進(jìn)行排序,以s1為例:s1(A,B)=0.7544。但經(jīng)過排序后得到

A′={x,〈[0.4,0.5],[0.2,0.3]〉,

〈[0.2,0.3],[0.4,0.5]〉},

B′={x,〈[0.4,0.5],[0.2,0.3]〉,

〈[0.2,0.3],[0.4,0.5]〉}。

且s1(A,B)=s1(A′,B′)=1。

從上述例子會發(fā)現(xiàn),在探討兩個IVPHFSs間的相似性時,我們需要對每個IVPHE先進(jìn)行排序,如果不進(jìn)行排序則相似度可能會不滿足性質(zhì)1中的性質(zhì)(3)。

當(dāng)IVPHFS退化為IVPFS時,設(shè)A,B∈IVPFS(X),以s1為例:

s1(A,B)=

其中

當(dāng)兩個IVPFSsA,B退化為PFSs時,

進(jìn)一步,當(dāng)A,B繼續(xù)退化為IFSs時,

其中

以上退化后所得s1均滿足性質(zhì)1中的三條性質(zhì)。

同樣可以發(fā)現(xiàn)s2,s3,s4,s5經(jīng)過上述退化后與s1的情形類似,均滿足性質(zhì)1中的三條性質(zhì)。

定理2設(shè)A,B,C∈IVPHFS(X)。如果si(A,B)=1,si(A,C)=1,則si(B,C)=1 (i=1,…,5)。

證明由性質(zhì)1中的(3)知si(A,B)=1 ?A=B,si(A,C)=1?A=C,所以B=C，因此si(B,C)=1 (i=1,…,5)成立。

上述討論的IVPHFSs中每個元素所占比重相同,但實際問題中,元素所占比重往往是不同的。下面介紹IVPHFSs的加權(quán)相似性測度。

顯然s6,s7,s8,s9,s10滿足性質(zhì)1中的3條性質(zhì)。

3 多屬性決策

在實際的決策問題中,不同屬性所提供信息的重要性可能是不同的,此時可通過屬性權(quán)重加以區(qū)分。熵可以有效地度量模糊信息,熵值越小,信息越清晰。當(dāng)屬性權(quán)重完全未知時,我們可以通過熵權(quán)法來計算屬性權(quán)重。一個屬性的熵值越小,則屬性所占的權(quán)重越大,否則對于決策者來說,該屬性所提供的信息越不重要。

3.1 算法步驟

算法步驟如下:

(2)計算屬性權(quán)重

(1)

(3) 計算每個方案的貼近度

(2)

(4)對貼近度進(jìn)行排序,ρi越大,則選擇Ai越優(yōu)。

3.2 實例分析

一個投資公司根據(jù)Cj(j=1,2,3)這三個指標(biāo)來評估四個方案Ai(i=1,2,3,4),其中C1和C2為效益型,C3為消費(fèi)型,專家給出決策矩陣[15]如表1。

(1) 正理想解:

A+={{〈[0.5,0.8],[0.1,0.3]〉},

{〈[0.6,0.8],[0.1,0.2]〉},

{〈[0.3,0.4],[0.5,0.7]〉}};

負(fù)理想解:

A-={{〈[0.3,0.5],[0.1,0.2]〉},

{〈[0.3,0.5],[0.2,0.7]〉},

{〈[0.5,0.8],[0.2,0.3]〉}}。

(2) 通過公式(1)算得屬性權(quán)重結(jié)果如下:

ω1=0.326 2,ω2=0.322 0,ω3=0.351 8。

(3) 分別用s6,s7,s8,s9,s10來計算方案與正負(fù)理想解之間的相似度,再由公式(2)計算貼近度，表2為在5個相似度下方案的貼近度及其排序。

(4) 從表2可以看出ρ3總是最大的，即A3是最優(yōu)方案。此結(jié)果與文獻(xiàn)[13]中的結(jié)果一致。

表1 區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊決策矩陣

表2 排序

4 結(jié)論

區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集是區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊集和猶豫模糊集的推廣，其在多屬性決策、聚類分析、模式識別等方面有廣泛的應(yīng)用。本文首先提出了區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊熵的公理化準(zhǔn)則，基于模糊因子和直覺因子定義了一個區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊熵。然后基于模糊貼近度提出了區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集間的相似性度量。最后用提出的熵和相似度去解決區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊環(huán)境下的多屬性決策問題。實例結(jié)果證明了方法的合理性和有效性。