張博倫， 周荻

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院， 黑龍江 哈爾濱 150001)

收稿日期：2020-01-05

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61773142)

作者簡(jiǎn)介：張博倫(1994—),男,博士研究生。E-mail: bolun1104@163.com

通信作者：周荻(1969—)，男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail：zhoud@hit.edu.cn

0 引言

導(dǎo)彈等飛行器為了能夠順利地飛向目標(biāo)，要求目標(biāo)始終處在飛行器導(dǎo)引頭的視場(chǎng)之內(nèi)。這就需要飛行器的俯仰角?和偏航角ψ分別跟蹤視線傾角qε及視線偏角qβ. 現(xiàn)有針對(duì)剛體飛行器的姿態(tài)控制方法[1-3]并不能實(shí)現(xiàn)對(duì)于柔性飛行器姿態(tài)的跟蹤控制。已發(fā)表的針對(duì)柔性飛行器的姿態(tài)控制方法，通常將彈性振動(dòng)的影響視為模型不確定性或外部擾動(dòng)，引入干擾觀測(cè)器對(duì)彈性振動(dòng)引起的擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)[4-6]，在設(shè)計(jì)控制律時(shí)對(duì)彈性擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償。Shahravi等[7-8]和Jin等[9]直接設(shè)計(jì)具有魯棒性的控制器，對(duì)柔性飛行器進(jìn)行了姿態(tài)控制。Gennaro[10]和Zhu等[11]在設(shè)計(jì)控制律時(shí)，沒有使用角速度測(cè)量信息便可實(shí)現(xiàn)對(duì)姿態(tài)角的控制。此外，使用文獻(xiàn)[11]中的方法能同時(shí)使得彈性振動(dòng)最終收斂至0，但是需要在沒有外界擾動(dòng)的情況下才能實(shí)現(xiàn)。Hou等[12]提出了一種無(wú)模型自適應(yīng)控制的方法，Qi等[13]將其應(yīng)用到對(duì)柔性飛行器的姿態(tài)控制。在角速度測(cè)量信息沒有受到柔性影響的情況下控制效果理想，但是當(dāng)測(cè)量信息由于彈性振動(dòng)而不準(zhǔn)確時(shí)，姿態(tài)角也會(huì)在指令值附近大幅震蕩。此外還有在柔性附件上安裝壓電器件的方法[14-15]，通過(guò)調(diào)節(jié)輸入電壓抑制相應(yīng)柔性附件的振動(dòng)。以上方法的共同特點(diǎn)是都需要使用剛體姿態(tài)角、角速度等信息，并認(rèn)為其是準(zhǔn)確可測(cè)的。在工程實(shí)際中，對(duì)于細(xì)長(zhǎng)型柔性飛行器(特別是導(dǎo)彈)，彈體整體都會(huì)受到柔性振動(dòng)的影響。受慣性導(dǎo)航(以下簡(jiǎn)稱慣導(dǎo))系統(tǒng)安裝位置的影響，角速度的測(cè)量會(huì)附加對(duì)應(yīng)位置柔性形變，即不能獲取剛體真實(shí)的姿態(tài)角及角速度信息。若直接將帶有柔性影響測(cè)得的姿態(tài)角、角速度等信息代入所設(shè)計(jì)的控制律，會(huì)使計(jì)算得到的控制力矩與真實(shí)需要的控制力矩不相符合。若簡(jiǎn)單地將彈性振動(dòng)產(chǎn)生的影響視作模型的不確定性和外部擾動(dòng)，在測(cè)量信息有誤差的情況下使用上述控制方法，極易使得姿態(tài)控制系統(tǒng)發(fā)散。

根據(jù)對(duì)柔性飛行器的研究[16]及有限元建模方法的使用[17]，柔性特性可簡(jiǎn)化為一個(gè)2階振蕩環(huán)節(jié)，柔性形變程度與飛行器所受轉(zhuǎn)動(dòng)力矩有關(guān)。Oh等[18]和Zhou等[19]使用陷波濾波器對(duì)角速度的測(cè)量進(jìn)行了濾波估計(jì)；楊永泰等[20]通過(guò)采用前饋的控制方法抑制彈性振動(dòng)，在沒有外部擾動(dòng)力矩的情況下，能很好地對(duì)剛體的角速度進(jìn)行估計(jì)或彈性振動(dòng)進(jìn)行抑制；但是當(dāng)存在外部擾動(dòng)時(shí)，對(duì)剛體角速度的估計(jì)及彈性振動(dòng)抑制效果將不再理想。角加速度計(jì)的應(yīng)用[21-22]，使獲取角加速度從而間接獲得作用在飛行器各軸方向的控制與擾動(dòng)總力矩成為了可能。

針對(duì)擾動(dòng)環(huán)境下剛體飛行器姿態(tài)控制有很好效果的傳統(tǒng)滑?？刂品椒?，由于切換項(xiàng)的存在，不僅會(huì)導(dǎo)致抖震，而且控制力矩的突變還會(huì)激發(fā)柔性形變。受此啟發(fā)，對(duì)于柔性飛行器的姿態(tài)控制系統(tǒng)，采用的控制器應(yīng)該避免過(guò)大的增益；在實(shí)現(xiàn)姿態(tài)指令跟蹤的過(guò)程中，逐步降低飛行器柔性變形程度也是必要的。

本文主要研究在姿態(tài)角及角速度有彈性振動(dòng)產(chǎn)生的測(cè)量誤差情況下大氣層外飛行器的姿態(tài)控制問題，以保證目標(biāo)始終處于導(dǎo)引頭視場(chǎng)之內(nèi)。 引入角加速度計(jì)的測(cè)量，間接得到作用在飛行器上的力矩。結(jié)合彈性振動(dòng)特性，對(duì)剛體真實(shí)的角速度信息進(jìn)行估計(jì)。同時(shí)也將并不精確驗(yàn)前已知的彈性振動(dòng)頻率當(dāng)作一個(gè)狀態(tài)量進(jìn)行實(shí)時(shí)在線估計(jì)，驗(yàn)證了整個(gè)濾波估計(jì)系統(tǒng)的可觀性。此外，針對(duì)未來(lái)細(xì)長(zhǎng)型飛行器的特點(diǎn)，為了減小彈性振動(dòng)對(duì)慣性器件測(cè)量的影響，使姿態(tài)控制發(fā)動(dòng)機(jī)具備提供連續(xù)推力的能力，使用了動(dòng)態(tài)面的方法進(jìn)行姿態(tài)控制律的設(shè)計(jì)。

本文內(nèi)容的結(jié)構(gòu)如下：第2節(jié)建立了大氣層外飛行器柔性振動(dòng)模型和飛行器在剛體部分繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)模型，分析了柔性形變對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)及角加速度計(jì)測(cè)量的影響；第3節(jié)設(shè)計(jì)了姿態(tài)角指令跟蹤控制器，使用動(dòng)態(tài)面控制方法，使姿態(tài)角跟蹤誤差半全局穩(wěn)定，具有一定魯棒性；第4節(jié)研究了角加速度及角速度的濾波器設(shè)計(jì)，在測(cè)量器件受到柔性影響下，通過(guò)設(shè)計(jì)相應(yīng)的濾波器分別估計(jì)了剛體部分的角加速度及角速度；第5節(jié)針對(duì)具體問題進(jìn)行了仿真驗(yàn)證；第6節(jié)對(duì)柔性飛行器的姿態(tài)控制問題進(jìn)行了總結(jié)。

1 建立柔性飛行器相關(guān)模型

1.1 柔性特性

根據(jù)假設(shè)模態(tài)法可以將柔性振動(dòng)寫為

(1)

在實(shí)際情況中，飛行器的滾轉(zhuǎn)方向受柔性影響很小，可忽略不計(jì)。因此本文只考慮柔性變形對(duì)俯仰及偏航方向的影響。此外，1階模態(tài)對(duì)于柔性形變起主導(dǎo)作用，在后續(xù)分析中只考慮1階模態(tài)。對(duì)于大氣層外飛行器，沒有氣動(dòng)特性對(duì)柔性形變的影響，廣義坐標(biāo)q1(t)的動(dòng)態(tài)模型可用一個(gè)2階振蕩環(huán)節(jié)表示為

(2)

1.2 飛行器剛體部分姿態(tài)動(dòng)力學(xué)及運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

剛體部分姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型可表示成如下形式：

(3)

選擇俯仰角?→滾轉(zhuǎn)角γ→偏航角ψ(z軸→x軸→y軸)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)換的順序，空間飛行器剛體部分的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程用四元數(shù)可以表示為

(4)

(5)

1.3 慣導(dǎo)系統(tǒng)及角加速度計(jì)測(cè)量模型

在柔性和測(cè)量噪聲的影響下，將飛行器長(zhǎng)度做歸一化處理，慣導(dǎo)系統(tǒng)對(duì)角速度的測(cè)量方程為

(6)

式中：ωxm、ωym、ωzm表示對(duì)飛行器角速度的測(cè)量值；μy、μz為慣導(dǎo)系統(tǒng)安裝位置處對(duì)應(yīng)模態(tài)的振型函數(shù)；v1,x、v2,y、v3,z為慣導(dǎo)系統(tǒng)對(duì)角速度的測(cè)量誤差。類似地，可以得到角加速度計(jì)測(cè)量方程為

(7)

式中：aωxm、aωzm、aωzm表示對(duì)飛行器角加速度的測(cè)量值；μ′y、μ′z為角加速度計(jì)安裝位置處對(duì)應(yīng)模態(tài)的振型函數(shù)；ν4,x、ν5,y、ν6,z為角加速度計(jì)對(duì)3個(gè)軸向的角加速度的測(cè)量誤差；aωx、aωy、aωz為飛行器剛體部分真實(shí)的角加速度，

(8)

控制的目標(biāo)是：在測(cè)量hω、ha受到柔性影響的情況下，控制剛體的姿態(tài)角?、ψ、γ，以跟蹤指定指令。

2 動(dòng)態(tài)面姿態(tài)控制方法設(shè)計(jì)

(9)

式中：

柔性空間飛行器總的姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)可描述為

(10)

取z2=x2-α(z1,xd)，α(z1,xd)定義在下文給出。用動(dòng)態(tài)面控制技術(shù)設(shè)計(jì),定義虛擬控制為

(11)

(12)

(13)

于是，姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)可表示為

(14)

對(duì)于具有有限初始狀態(tài)的閉環(huán)系統(tǒng)(14)式，設(shè)計(jì)如下控制律：

(15)

式中：P2為一個(gè)正定對(duì)角矩陣。

3 估計(jì)剛體角速度及角加速度的濾波器設(shè)計(jì)

第2節(jié)根據(jù)(15)式設(shè)計(jì)的姿態(tài)控制律是與剛體狀態(tài)有關(guān)的狀態(tài)反饋，控制目標(biāo)為剛體的姿態(tài)角。但是慣導(dǎo)系統(tǒng)測(cè)量所得到的角速度信息受到了柔性的影響。若直接將測(cè)量值用于控制律，會(huì)使控制系統(tǒng)不能正常工作，姿態(tài)角趨于發(fā)散。因此需要設(shè)計(jì)濾波器估計(jì)剛體的角速度，并通過(guò)對(duì)估計(jì)的角速度積分獲得剛體姿態(tài)角的估計(jì)值。

3.1 引入角加速度測(cè)量并對(duì)其進(jìn)行濾波估計(jì)

若只根據(jù)慣導(dǎo)系統(tǒng)測(cè)量的角速度信息設(shè)計(jì)濾波器，將會(huì)遇到很大困難。這是因?yàn)檐壙匕l(fā)動(dòng)機(jī)質(zhì)心偏移等因素產(chǎn)生的干擾力矩F只能當(dāng)作模型誤差處理。在實(shí)際情況中，軌控發(fā)動(dòng)機(jī)推力大小由制導(dǎo)律計(jì)算得到，是時(shí)變的，其對(duì)姿控系統(tǒng)產(chǎn)生的干擾力矩難以用數(shù)學(xué)規(guī)律描述，若將其當(dāng)作模型誤差處理，會(huì)對(duì)角速度的估計(jì)產(chǎn)生不利影響。

在此情況下，觀察(2)式柔性震蕩的特性，若能獲取姿控發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的控制力矩u和干擾力矩F，在阻尼矩陣C1、剛度矩陣K1以及增益矩陣D已知的情況下，可較為精確地得出飛行器柔性形變的數(shù)值。此外，由(3)式可得，若控制力矩u和干擾力矩F已知，在對(duì)剛體角速度進(jìn)行濾波估計(jì)時(shí)，便可將二者作為已知輸入而非模型誤差進(jìn)行處理，在此情況下，對(duì)剛體角速度的估計(jì)效果將明顯提升。

考慮到獲取控制力矩u和干擾力矩F的必要性，選擇引入角加速度計(jì)的測(cè)量通過(guò)(8)式間接獲得總力矩。由(7)式注意到角加速度計(jì)測(cè)量是受到柔性影響的，若不經(jīng)過(guò)處理直接使用，將會(huì)使總力矩的估計(jì)值與真實(shí)值產(chǎn)生較大誤差。為了獲得較為精確的角加速度，本文使用陷波濾波器對(duì)角加速度測(cè)量值進(jìn)行濾波。

由于x軸方向的角加速度計(jì)測(cè)量沒有撓性影響，故將測(cè)量值直接作為估計(jì)值，即

ωx=aωxm.

(16)

以y軸方向?yàn)槔榻B陷波濾波器，

ωy=G(s)aωym，

(17)

式中：

ω1=2π(f1-3),f1是彈性干擾信號(hào)的標(biāo)稱頻率，f1=ωny/(2π)，在該濾波器中將它設(shè)置為中心頻率；ω2=2π(f1-1)；ω3=2π(f1+1)；ω4=2π(f1+3)。同理，可獲得繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度估計(jì)值ωz.

3.2 使用推廣卡爾曼濾波器估計(jì)剛體角速度

對(duì)于軸對(duì)稱飛行器，通常y軸和z軸方向的振蕩頻率與阻尼是相同的。在實(shí)際情況中，飛行器真實(shí)的柔性振蕩頻率會(huì)在ωny、ωnz測(cè)定基礎(chǔ)上有所變化，不能精確地驗(yàn)前已知。在建立角速度濾波估計(jì)模型時(shí)，將柔性振蕩頻率ωn也作為一個(gè)狀態(tài)變量，其動(dòng)態(tài)過(guò)程視為一個(gè)慢時(shí)變的隨機(jī)游走。使用角加速度的估計(jì)值ωx、ωy、ωz作為系統(tǒng)輸入，結(jié)合(2)式和(3)式，可以建立角速度與柔性形變的系統(tǒng)模型。

選取系統(tǒng)狀態(tài)變量為

狀態(tài)方程寫作向量方程的形式為

(18)

ν7為高斯白噪聲，以此代表一個(gè)慢時(shí)變的隨機(jī)游走過(guò)程。測(cè)量函數(shù)寫作

(19)

根據(jù)非線性系統(tǒng)可觀性理論[23-24]可以判斷系統(tǒng)(18)式和(19)式是可觀的(具體過(guò)程如下)。系統(tǒng)方程(18)式階次為n=8，對(duì)測(cè)量(19)式求直到n-1=7階的Lie導(dǎo)數(shù)：

依此類推, 進(jìn)一步可求得

則系統(tǒng)觀測(cè)矩陣為

(20)

計(jì)算結(jié)果表明(20)式中矩陣O的秩等于8，即等于系統(tǒng)狀態(tài)的維數(shù)，那么根據(jù)非線性局部弱可觀性理論，可以判定該系統(tǒng)完全能觀。

應(yīng)用推廣卡爾曼濾波器理論，可以得到狀態(tài)X的估計(jì)值. 其中狀態(tài)估計(jì)量x、y、z進(jìn)行積分，可以得到對(duì)剛體姿態(tài)角的估計(jì)值、、，通過(guò)(5)式得到姿態(tài)四元數(shù)。角速度的估計(jì)值及姿態(tài)四元數(shù)的估計(jì)值代入控制律(15)式，可以實(shí)現(xiàn)較好的姿態(tài)跟蹤效果。具體仿真結(jié)果將在第4節(jié)體現(xiàn)。

4 仿真結(jié)果

在仿真實(shí)例中，柔性飛行器相關(guān)參數(shù)取為：Jx=0.125，Jy=Jz=0.32，ξy=ξz=0.001 3，dy=dz=2.2，μy=μz=1，μ′y=μ′z=-1.2；測(cè)量噪聲ν1,x、ν2,y、ν3,z為0均值、標(biāo)準(zhǔn)差為3×10-3的高斯白噪聲，ν4,x、ν5,y、ν6,z為0均值、標(biāo)準(zhǔn)差為0.175的高斯白噪聲。姿態(tài)角跟蹤指令為xd，由?d=qε、ψd=qβ、代入(5)式求得，其中qε、qβ是導(dǎo)引頭計(jì)算出來(lái)的視線角。此外，彈性振動(dòng)頻率在標(biāo)稱值ωn/(2π)=44 Hz的基礎(chǔ)上有±3 Hz范圍內(nèi)的隨機(jī)擾動(dòng)。擾動(dòng)力矩是飛行器的軌控發(fā)動(dòng)機(jī)在實(shí)現(xiàn)制導(dǎo)指令時(shí)產(chǎn)生的干擾力矩，其數(shù)值大小如圖1所示。

圖1 干擾力矩Fig.1 Disturbance torque

圖2 角加速度誤差Fig.2 Errors of angular acceleration

經(jīng)過(guò)陷波濾波器處理后的角加速度估計(jì)誤差與角加速度計(jì)測(cè)量誤差如圖2所示。從圖2中可以看出，陷波濾波器在沒有外界其他擾動(dòng)的情況下，對(duì)排除柔性干擾有較好的作用。對(duì)彈性振動(dòng)的估計(jì)效果如圖3所示，對(duì)振動(dòng)頻率的估計(jì)如圖4所示，產(chǎn)生誤差(見圖4)的原因是(18)式中角加速度引入的誤差并不是高斯白噪聲，使用卡爾曼濾波器處理這種噪聲有一定難度。角速度估計(jì)效果如圖5所示，姿態(tài)角跟蹤效果如圖6所示。

圖3 彈性振動(dòng)參數(shù)的估計(jì)值與真實(shí)值Fig.3 Estimated and true values of elastic vibration parameters

圖4 振動(dòng)頻率Fig.4 Vibration frequency

圖5 角速度估計(jì)值與真實(shí)值Fig.5 Estimated and true values of angular velocity

圖6 姿態(tài)角Fig.6 Attitude angles

為了體現(xiàn)測(cè)量誤差對(duì)姿態(tài)控制系統(tǒng)的影響，將慣導(dǎo)系統(tǒng)測(cè)量得到的角速度和姿態(tài)角信息直接代入控制律(15)式。得到姿態(tài)角跟蹤效果如圖7所示。慣導(dǎo)系統(tǒng)對(duì)y軸、z軸方向角速度測(cè)量值與真實(shí)值對(duì)比如圖8所示。

由圖8可以看出，慣導(dǎo)系統(tǒng)對(duì)角速度的測(cè)量誤差是發(fā)散的。這是因?yàn)閹в腥嵝哉`差的測(cè)量值代入控制律(14)式將不能產(chǎn)生期望的控制力矩，而期望力矩與實(shí)際輸入力矩的偏差又會(huì)激發(fā)出更大的彈性形變，產(chǎn)生更大的測(cè)量誤差。當(dāng)姿態(tài)角跟蹤誤差的大小超出導(dǎo)引頭視場(chǎng)大小后，飛行器將失控。

文獻(xiàn)[13]中所提無(wú)模型自適應(yīng)控制方法，通過(guò)規(guī)避給控制系統(tǒng)建模來(lái)解決柔性振動(dòng)帶來(lái)的不確定性。該控制方法對(duì)于測(cè)量器件同樣受到柔性影響的姿態(tài)控制效果如圖9所示。在使用該控制方法時(shí)，姿態(tài)角的測(cè)量值也是經(jīng)過(guò)濾波器處理之后再進(jìn)入控制系統(tǒng)的，盡管如此，姿態(tài)角仍在指令附近有較大的波動(dòng)。由此可以看出柔性振動(dòng)對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)測(cè)量的作用將會(huì)對(duì)控制系統(tǒng)產(chǎn)生非常不利的影響。

圖7 姿態(tài)角(使用角速度測(cè)量值)Fig.7 Attitude angles(using the measurements of angular velocity)

圖8 角速度估計(jì)值與真實(shí)值Fig.8 Estimated and true values of angular velocity

圖9 姿態(tài)角(使用無(wú)模型自適應(yīng)控制)Fig.9 Attitude angles(using model-free adaptive control)

結(jié)合圖1可知，受到制導(dǎo)指令的影響，飛行器軌控發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的干擾力矩是不可避免的。受此影響，在實(shí)際情況中難以將彈性振動(dòng)完全抑制，只能選取合適的控制增益，在滿足姿態(tài)指令跟蹤精度的基礎(chǔ)上盡量減少作用在飛行器上的總力矩，使柔性形變處在合理的區(qū)間內(nèi)。

5 結(jié)論

針對(duì)測(cè)量器件受到飛行器柔性影響的問題，本文通過(guò)濾波器設(shè)計(jì)估計(jì)出了彈性振動(dòng)的形變程度以及彈性振動(dòng)頻率，獲得了剛體姿態(tài)角及角速度的估計(jì)值。將上述剛體狀態(tài)的估計(jì)值代入所設(shè)計(jì)的控制律，雖然沒有使姿態(tài)角跟蹤誤差收斂至0°，但是保證了誤差小于0.5°. 對(duì)于制導(dǎo)問題，該精度可以保證目標(biāo)始終處于導(dǎo)引頭視場(chǎng)范圍(通常為2°)之內(nèi)。