吳曉霞，馬巧珍

( 西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 蘭州730070)

1.引言

我們考慮如下帶有線性記憶的波方程

時(shí)間依賴吸引子的存在性，其中u(x，t)是未知函數(shù)，h(·) ∈L2(Rn).η = ηt(x，s) := u(x，t)-u(x，t-s)，s ∈R+，ε(t)和f(u)分別滿足下面的條件:

(F1) ε是單調(diào)遞減的并滿足:

特別地，存在L ＞0使得

(F2) 非線性項(xiàng)f ∈C1(R)，f(0)=0并滿足

其中，當(dāng)n=1，2時(shí)，0 ≤p ＜∞; 當(dāng)n ≥3時(shí)，0 ≤p(n-2)≤2.

如文[1-3]，對(duì)ηt(x，s) = u(x，t)-u(x，t-s)兩邊分別關(guān)于t和s求導(dǎo)，計(jì)算后可將(1.1)化為下面的系統(tǒng):

相應(yīng)的初始條件為

其中

記憶核μ(·)滿足以下條件:

其中ρ是正常數(shù).

方程(1.1)可以用來(lái)描述具有衰減記憶的粘彈性固體，其中耗散性由固體周?chē)慕橘|(zhì)，混合材料，相場(chǎng)以及波現(xiàn)象所體現(xiàn)，見(jiàn)文[4-6].

μ恒等于零時(shí)，方程(1.1)為阻尼波方程，這類(lèi)問(wèn)題已經(jīng)被許多作者研究過(guò).例如，當(dāng)ε為常數(shù)時(shí)，文[7-12]在半群的框架下，利用全局吸引子的概念研究了解的長(zhǎng)時(shí)間行為.而當(dāng)ε依賴于時(shí)間且為正遞減函數(shù)時(shí)，我們知道即使外力項(xiàng)不依賴于時(shí)間，系統(tǒng)(1.1)仍然為非自治的，其吸引子仍在非自治的框架下理解，見(jiàn)文[13-18].作者在文[19-20]中研究了有界域上帶有非線性阻尼和線性記憶的波方程時(shí)間依賴吸引子的存在性，文[21-23]考慮了無(wú)界域上波方程解的長(zhǎng)時(shí)間行為.無(wú)界域上plate方程時(shí)間依賴吸引子的存在性在文[24]中被研究.然而，時(shí)間依賴全空間Rn上帶有線性記憶的波方程時(shí)間依賴吸引子的存在性目前還沒(méi)有任何結(jié)果，因此我們?cè)诒疚难芯窟@一問(wèn)題解的長(zhǎng)時(shí)間行為.

2.準(zhǔn)備知識(shí)

不失一般性，記H =L2(Rn)，內(nèi)積和范數(shù)分別為〈·，·〉和‖·‖.對(duì)于s ∈R+，記Hs=Hs(Rn)=并賦予以下內(nèi)積和范數(shù):

特別地，

對(duì)于t ∈R，s ∈R+，有下面的時(shí)間依賴空間=Hs+1×Hs×(R+;Hs+1).

當(dāng)s = 0時(shí)，記時(shí)間依賴空間為: Ht= H1×H ×(R+;H1)，對(duì)應(yīng)的范數(shù)為:=

對(duì)?t ∈R，設(shè)Xt是一族賦范線性空間，下面介紹Xt的R-球:

兩集合(非空) B，C ?Xt的Hausdorff半距離表示為:

對(duì)于任意給定?＞0，集合B ?Xt的?-領(lǐng)域定義為

下面給出基本概念和抽象結(jié)果，詳見(jiàn)文[13，18，24].

定義2.1設(shè){Xt}t∈R是一族賦范線性空間.稱(chēng)雙參數(shù)算子族{U(t，τ):Xτ→Xt，t ≥τ，τ ∈R}是一過(guò)程，如果它滿足:

i) U(τ，τ)=Id是Xτ上的恒等映射，?τ ∈R;

ii) U(t，s)U(s，τ)=U(t，τ)，?t ≥s ≥τ.

定義2.2設(shè)有界集Ct?Xt，我們說(shuō)集合族C = {Ct}t∈R是一致有界的，如果存在常數(shù)R ＞0，使得Ct?Bt(R)，?t ∈R.

定義2.3一致有界集族B = {Bt}t∈R是過(guò)程U(t，τ)的時(shí)間依賴吸收集，如果對(duì)任意的R ＞0，存在常數(shù)t0，使得τ ≤t-t0?U(t，τ)Bτ(R)?Bt.

定義2.4一致有界族K={Kt}t∈R是拉回吸引的，若對(duì)所有?＞0，族{(Kt)}t∈R是拉回吸收的.

定義2.5過(guò)程U(t，τ)的時(shí)間依賴吸引子是滿足以下性質(zhì)的最小的族U={At}t∈R:

i) 任意的At在Xt中是緊的;

ii) U是拉回吸引的，即對(duì)任意一致有界族C={Ct}t∈R，成立:

定理2.6[24]設(shè){Xt}t∈R為一族Banach空間且C = {Ct}t∈R為{Xt}t∈R中的一致有界子集族.稱(chēng)定義在{Xt}t∈R×{Xt}t∈R上的函數(shù)，(·，·)為Ct×Ct上的漸近壓縮函數(shù)是指:對(duì)任意t ∈R與任意序列?Ct，存在一個(gè)子序列使得:

其中τ ≤t.我們用C(Ct)表示{Ct}t∈R×{Ct}t∈R上的漸近壓縮函數(shù)全體.

定理2.7[24]設(shè)U(·，·)為{Xt}t∈R中的一族過(guò)程且對(duì)任意?＞0，存在τ ＜T(?) ≤t，∈C(CT)，使得對(duì)任意固定t ∈R，

則U(·，·)是漸近壓縮過(guò)程.

定理2.8[24]若過(guò)程U(·，·)是漸近壓縮的，則它是拉回漸近緊的.

定理2.9[24]設(shè)U(·，·)是Banach空間族{Xt}t∈R中的過(guò)程，則{Xt}t∈R中U(·，·)有一個(gè)時(shí)間依賴全局吸引子U*={t∈R如果它滿足下面的條件:

i) U(·，·)有拉回吸收族B={Bt}t∈R;

ii) U(·，·)是Bt上的拉回漸近壓縮過(guò)程.

引理2.10[3]令F(u) =f(y)dy.根據(jù)(1.7)，取0 ＜ν = min{1，λ}，則存在?(ν) ＞0，ci(ν)＞0(i=1，2)，使得

引理2.11[3]設(shè)ψ，r1，r2是非負(fù)局部可積函數(shù)，對(duì)δ ＞0，滿足下面的微分不等式:

同時(shí)設(shè)定

則

3.適定性和時(shí)間依賴吸收集

定理3.1[25-26]設(shè)(1.2)-(1.5)成立，則對(duì)任意初值z(mì)τ= (u0，u1，η0) ∈Hτ，在Ht中存在問(wèn)題(1.1)的唯一解z(t)=(u(t)，ut(t)，ηt(s))，且對(duì)任意τ ∈R，t ≥τ，滿足

此外，設(shè)zi(τ) ∈Hτ是滿足‖zi(τ)‖Hτ≤R(i = 1，2) 的兩個(gè)初值，且zi(t)是(1.1)的解.則存在在C =C(R)＞0，使得

因此，系統(tǒng)(1.6)-(1.7)生成一個(gè)強(qiáng)連續(xù)過(guò)程U(t，τ)，其中U(t，τ) : Hτ→Ht，即U(t，τ)z(τ) ={u(t)，ut(t)，ηt(s)}.

引理3.2假設(shè)(1.2)-(1.5)成立，當(dāng)初值z(mì)(τ)∈Hτ，存在C ＞0，使得

證設(shè)δ ＞0，取j =0，1定義

選取足夠大的常數(shù)Λ ＞0，使得對(duì)任意t，Ej(t)≥0.此外，定義

用v =ut+δu與(1.6)在L2(Rn)中做內(nèi)積，得到

先用jηt與(1.6)2在(R+，H)上做內(nèi)積，再用ηt與(1.6)2在R+，H1)上做內(nèi)積后相加得到

根據(jù)(1.10)有

由(1.2)且將(3.3)和(3.4)加起來(lái)，并利用(3.5)有

根據(jù)Young不等式，(1.9)和(3.2)則有

其中C2=2m0/ρC1且

利用(2.2)，有

其中C3=2δc1.

現(xiàn)在設(shè)j =0，1，利用引理2.11，得

其中M :R+→R+是依賴于C4，C5，δ的遞增函數(shù).結(jié)合(3.12)有

其中ψ(y)=4C2ye-δy(當(dāng)y →∞，ψ(y)→0).由于E0(τ)≤E1(τ)，從(3.14)-(3.15)得到

因此，根據(jù)Young不等式及嵌入H1L4(Rn)，存在正常數(shù)C6，使得

從而，對(duì)z(τ)∈Hτ，存在C ＞0以及兩個(gè)有界遞增函數(shù)C1i: R+→R+，i =1，2，以及(3.16)中的函數(shù)ψ，根據(jù)(3.16)和(3.17)可得

從引理3.2，我們可以得下面的結(jié)果:

引理3.3設(shè)條件(1.2)-(1.5)成立，對(duì)于引理3.2中的C ＞0，B = {Bt(C)} 為問(wèn)題(1.1)生成過(guò)程{U(t，τ)}的時(shí)間依賴吸收集，且對(duì)R ≥C，有

證結(jié)合(3.11)，且δ =0，得到

在[τ，t]上積分，當(dāng)t →∞時(shí)，(3.18)就得到了證明.

對(duì)于非線性項(xiàng)f，為了得到無(wú)界域上過(guò)程的漸近緊性，我們還需要下面的條件:

其中l(wèi) ＞0.

4.尾部估計(jì)

引理4.1設(shè)條件(1.2)-(1.5)成立，則對(duì)任意的?＞0，存在T1= T1(?)，使得當(dāng)t ≥T1且k =k(?)＞0，成立

證選擇合適的光滑函數(shù)θ，使得對(duì)任意的s ∈R+，有0 ≤θ(s) ≤1.具體地，當(dāng)0 ≤s ≤1時(shí)，有θ(s)=0; 當(dāng)s ≥2 時(shí)，有θ(s)=1，且存在一正常數(shù)使得max{|θ′(s)|，θ′′(s)|}≤

先給(1.6)2乘以并在Rn上做積分，然后用ηt與(1.6)2在(R+，H) 上做內(nèi)積，最后用ηt與(1.6)2在(R+，H1)上做內(nèi)積，記算后相加得

根據(jù)(1.10)有

將(4.1)和(4.2)加起來(lái)，并利用(4.3)有

根據(jù)Young不等式，(1.9)和(3.2)則有

接下來(lái)，我們處理上述方程中的每一項(xiàng)，首先我們有

此外有

結(jié)合上面的估計(jì)得到

設(shè)k1(?)＞0，且?0 ＜?＜1，使得k ≥k1(?)，則

同理，設(shè)k2(?)＞0，且?0 ＜?＜1，使得k ≥k2(?)，則

此外，存在k3(?)＞0，當(dāng)k ≥k3(?)，使得

選取k0=max{k1(?)，k2(?)，k3(?)}，當(dāng)k ≥k0時(shí)，有

在[τ，t]上應(yīng)用Growall引理，并結(jié)合引理3.3，得到

對(duì)給定?＞0，設(shè)K =K(?)，存在T1=T1(?)，當(dāng)t ≥T，且k ≥K(?)，有

則得到

5.時(shí)間依賴全局吸引子的存在性

定理5.1設(shè)條件(1.2)-(1.5)成立，問(wèn)題(1.6)生成的過(guò)程U(t，τ) : Hτ→Ht在H1(Rn)×L2(Rn)×(R+;H1(Rn))中存在一個(gè)不變的時(shí)間依賴全局吸引子U={At}t∈R.

接下來(lái)，我們利用漸近壓縮函數(shù)方法得到系統(tǒng)(1.6)時(shí)間依賴吸引子的存在性.

引理5.2設(shè)條件(1.2)-(1.5)成立，h ∈L2(Rn)，問(wèn)題(1.6)的解(un，unt，(s))對(duì)應(yīng)的初值∈BT.則對(duì)任意k ＞0 及T(?)＞0，令Ωk={x ∈Rn:|x|＜k}，成立:

在L∞(T，t;L2(Ωk))中，unt→ut弱*收斂.

在L∞(T，t;(Ωk))中，un→u弱*收斂.

在L2(T，t;(Ωk))中，un(t)→u(t)強(qiáng)收斂.

在L2中，un(T)→u(T)和un(t)→u(t)強(qiáng)收斂.

先驗(yàn)估計(jì)設(shè)(ui(t)，uit(t)，(s))為(1.6)的解，對(duì)應(yīng)的初值為(∈{Bτ}τ∈R，且

則ω(t)滿足

定義

用ωt與(5.1)在L2(Rn)上作內(nèi)積，有

用ζt與在(R+，H)上做內(nèi)積得到

將(5.3)與(5.4)相加得

根據(jù)(1.10)，則有

結(jié)合(5，5)-(5.7)有

對(duì)(5.8)在[s，t]上作內(nèi)積，有

其中T ≤s ≤t，L ＜α，根據(jù)(1.3)式，得到

用ω與(5.1)式在Rn×[T，t]上作積分，得到

根據(jù)(1.10)式有

結(jié)合上式得

結(jié)合(5.11)(5.12)式，可得

給(5.9)式在[T，t]上作積分，有

根據(jù)(5.13)和(5.14)有

設(shè)

且

則有

定理5.3設(shè)條件(1.2)-(1.5)成立，則過(guò)程{U(t，τ)}是漸近壓縮的，即，對(duì)任意固定t ∈R，有界序列且任意當(dāng)n →∞時(shí)，τn→-∞，序列在H1(Rn)×L2(Rn)×(R+;H1(Rn))中是準(zhǔn)緊的.

證設(shè)

且

同樣地當(dāng)m，n足夠大，我們可以得到

因此我們可以得到

接下來(lái)，對(duì)任意固定?＞0，令T ＜t使得t-T足夠大，則

因此，根據(jù)定義2.6，2.7，對(duì)任意固定T，我們只需要證明(5.23)中是壓縮函數(shù).

現(xiàn)在，我們將處理(5.18)中的每一項(xiàng).

首先，從引理3.2和引理5.2中，得到

定理5.1的證明由引理3.2可知，U(t，τ)存在一致有界的時(shí)間依賴吸收集{Bt}t∈R.由引理4.1和引理5.3，可知U(t，τ)是漸近緊的，從而得到了H1(Rn)×L2(Rn)×(R+;H1(Rn))中時(shí)間依賴吸引子U={At}t∈R的存在性.