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        帶有線性記憶的波方程在Rn上的時(shí)間依賴吸引子

        2021-01-07 01:23:38吳曉霞馬巧珍
        應(yīng)用數(shù)學(xué) 2021年1期
        關(guān)鍵詞:內(nèi)積線性定理

        吳曉霞,馬巧珍

        ( 西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州730070)

        1.引言

        我們考慮如下帶有線性記憶的波方程

        時(shí)間依賴吸引子的存在性,其中u(x,t)是未知函數(shù),h(·) ∈L2(Rn).η = ηt(x,s) := u(x,t)-u(x,t-s),s ∈R+,ε(t)和f(u)分別滿足下面的條件:

        (F1) ε是單調(diào)遞減的并滿足:

        特別地,存在L >0使得

        (F2) 非線性項(xiàng)f ∈C1(R),f(0)=0并滿足

        其中,當(dāng)n=1,2時(shí),0 ≤p <∞; 當(dāng)n ≥3時(shí),0 ≤p(n-2)≤2.

        如文[1-3],對(duì)ηt(x,s) = u(x,t)-u(x,t-s)兩邊分別關(guān)于t和s求導(dǎo),計(jì)算后可將(1.1)化為下面的系統(tǒng):

        相應(yīng)的初始條件為

        其中

        記憶核μ(·)滿足以下條件:

        其中ρ是正常數(shù).

        方程(1.1)可以用來(lái)描述具有衰減記憶的粘彈性固體,其中耗散性由固體周?chē)慕橘|(zhì),混合材料,相場(chǎng)以及波現(xiàn)象所體現(xiàn),見(jiàn)文[4-6].

        μ恒等于零時(shí),方程(1.1)為阻尼波方程,這類(lèi)問(wèn)題已經(jīng)被許多作者研究過(guò).例如,當(dāng)ε為常數(shù)時(shí),文[7-12]在半群的框架下,利用全局吸引子的概念研究了解的長(zhǎng)時(shí)間行為.而當(dāng)ε依賴于時(shí)間且為正遞減函數(shù)時(shí),我們知道即使外力項(xiàng)不依賴于時(shí)間,系統(tǒng)(1.1)仍然為非自治的,其吸引子仍在非自治的框架下理解,見(jiàn)文[13-18].作者在文[19-20]中研究了有界域上帶有非線性阻尼和線性記憶的波方程時(shí)間依賴吸引子的存在性,文[21-23]考慮了無(wú)界域上波方程解的長(zhǎng)時(shí)間行為.無(wú)界域上plate方程時(shí)間依賴吸引子的存在性在文[24]中被研究.然而,時(shí)間依賴全空間Rn上帶有線性記憶的波方程時(shí)間依賴吸引子的存在性目前還沒(méi)有任何結(jié)果,因此我們?cè)诒疚难芯窟@一問(wèn)題解的長(zhǎng)時(shí)間行為.

        2.準(zhǔn)備知識(shí)

        不失一般性,記H =L2(Rn),內(nèi)積和范數(shù)分別為〈·,·〉和‖·‖.對(duì)于s ∈R+,記Hs=Hs(Rn)=并賦予以下內(nèi)積和范數(shù):

        特別地,

        對(duì)于t ∈R,s ∈R+,有下面的時(shí)間依賴空間=Hs+1×Hs×(R+;Hs+1).

        當(dāng)s = 0時(shí),記時(shí)間依賴空間為: Ht= H1×H ×(R+;H1),對(duì)應(yīng)的范數(shù)為:=

        對(duì)?t ∈R,設(shè)Xt是一族賦范線性空間,下面介紹Xt的R-球:

        兩集合(非空) B,C ?Xt的Hausdorff半距離表示為:

        對(duì)于任意給定?>0,集合B ?Xt的?-領(lǐng)域定義為

        下面給出基本概念和抽象結(jié)果,詳見(jiàn)文[13,18,24].

        定義2.1設(shè){Xt}t∈R是一族賦范線性空間.稱(chēng)雙參數(shù)算子族{U(t,τ):Xτ→Xt,t ≥τ,τ ∈R}是一過(guò)程,如果它滿足:

        i) U(τ,τ)=Id是Xτ上的恒等映射,?τ ∈R;

        ii) U(t,s)U(s,τ)=U(t,τ),?t ≥s ≥τ.

        定義2.2設(shè)有界集Ct?Xt,我們說(shuō)集合族C = {Ct}t∈R是一致有界的,如果存在常數(shù)R >0,使得Ct?Bt(R),?t ∈R.

        定義2.3一致有界集族B = {Bt}t∈R是過(guò)程U(t,τ)的時(shí)間依賴吸收集,如果對(duì)任意的R >0,存在常數(shù)t0,使得τ ≤t-t0?U(t,τ)Bτ(R)?Bt.

        定義2.4一致有界族K={Kt}t∈R是拉回吸引的,若對(duì)所有?>0,族{(Kt)}t∈R是拉回吸收的.

        定義2.5過(guò)程U(t,τ)的時(shí)間依賴吸引子是滿足以下性質(zhì)的最小的族U={At}t∈R:

        i) 任意的At在Xt中是緊的;

        ii) U是拉回吸引的,即對(duì)任意一致有界族C={Ct}t∈R,成立:

        定理2.6[24]設(shè){Xt}t∈R為一族Banach空間且C = {Ct}t∈R為{Xt}t∈R中的一致有界子集族.稱(chēng)定義在{Xt}t∈R×{Xt}t∈R上的函數(shù),(·,·)為Ct×Ct上的漸近壓縮函數(shù)是指:對(duì)任意t ∈R與任意序列?Ct,存在一個(gè)子序列使得:

        其中τ ≤t.我們用C(Ct)表示{Ct}t∈R×{Ct}t∈R上的漸近壓縮函數(shù)全體.

        定理2.7[24]設(shè)U(·,·)為{Xt}t∈R中的一族過(guò)程且對(duì)任意?>0,存在τ <T(?) ≤t,∈C(CT),使得對(duì)任意固定t ∈R,

        則U(·,·)是漸近壓縮過(guò)程.

        定理2.8[24]若過(guò)程U(·,·)是漸近壓縮的,則它是拉回漸近緊的.

        定理2.9[24]設(shè)U(·,·)是Banach空間族{Xt}t∈R中的過(guò)程,則{Xt}t∈R中U(·,·)有一個(gè)時(shí)間依賴全局吸引子U*={t∈R如果它滿足下面的條件:

        i) U(·,·)有拉回吸收族B={Bt}t∈R;

        ii) U(·,·)是Bt上的拉回漸近壓縮過(guò)程.

        引理2.10[3]令F(u) =f(y)dy.根據(jù)(1.7),取0 <ν = min{1,λ},則存在?(ν) >0,ci(ν)>0(i=1,2),使得

        引理2.11[3]設(shè)ψ,r1,r2是非負(fù)局部可積函數(shù),對(duì)δ >0,滿足下面的微分不等式:

        同時(shí)設(shè)定

        3.適定性和時(shí)間依賴吸收集

        定理3.1[25-26]設(shè)(1.2)-(1.5)成立,則對(duì)任意初值z(mì)τ= (u0,u1,η0) ∈Hτ,在Ht中存在問(wèn)題(1.1)的唯一解z(t)=(u(t),ut(t),ηt(s)),且對(duì)任意τ ∈R,t ≥τ,滿足

        此外,設(shè)zi(τ) ∈Hτ是滿足‖zi(τ)‖Hτ≤R(i = 1,2) 的兩個(gè)初值,且zi(t)是(1.1)的解.則存在在C =C(R)>0,使得

        因此,系統(tǒng)(1.6)-(1.7)生成一個(gè)強(qiáng)連續(xù)過(guò)程U(t,τ),其中U(t,τ) : Hτ→Ht,即U(t,τ)z(τ) ={u(t),ut(t),ηt(s)}.

        引理3.2假設(shè)(1.2)-(1.5)成立,當(dāng)初值z(mì)(τ)∈Hτ,存在C >0,使得

        證設(shè)δ >0,取j =0,1定義

        選取足夠大的常數(shù)Λ >0,使得對(duì)任意t,Ej(t)≥0.此外,定義

        用v =ut+δu與(1.6)在L2(Rn)中做內(nèi)積,得到

        先用jηt與(1.6)2在(R+,H)上做內(nèi)積,再用ηt與(1.6)2在R+,H1)上做內(nèi)積后相加得到

        根據(jù)(1.10)有

        由(1.2)且將(3.3)和(3.4)加起來(lái),并利用(3.5)有

        根據(jù)Young不等式,(1.9)和(3.2)則有

        其中C2=2m0/ρC1且

        利用(2.2),有

        其中C3=2δc1.

        現(xiàn)在設(shè)j =0,1,利用引理2.11,得

        其中M :R+→R+是依賴于C4,C5,δ的遞增函數(shù).結(jié)合(3.12)有

        其中ψ(y)=4C2ye-δy(當(dāng)y →∞,ψ(y)→0).由于E0(τ)≤E1(τ),從(3.14)-(3.15)得到

        因此,根據(jù)Young不等式及嵌入H1L4(Rn),存在正常數(shù)C6,使得

        從而,對(duì)z(τ)∈Hτ,存在C >0以及兩個(gè)有界遞增函數(shù)C1i: R+→R+,i =1,2,以及(3.16)中的函數(shù)ψ,根據(jù)(3.16)和(3.17)可得

        從引理3.2,我們可以得下面的結(jié)果:

        引理3.3設(shè)條件(1.2)-(1.5)成立,對(duì)于引理3.2中的C >0,B = {Bt(C)} 為問(wèn)題(1.1)生成過(guò)程{U(t,τ)}的時(shí)間依賴吸收集,且對(duì)R ≥C,有

        證結(jié)合(3.11),且δ =0,得到

        在[τ,t]上積分,當(dāng)t →∞時(shí),(3.18)就得到了證明.

        對(duì)于非線性項(xiàng)f,為了得到無(wú)界域上過(guò)程的漸近緊性,我們還需要下面的條件:

        其中l(wèi) >0.

        4.尾部估計(jì)

        引理4.1設(shè)條件(1.2)-(1.5)成立,則對(duì)任意的?>0,存在T1= T1(?),使得當(dāng)t ≥T1且k =k(?)>0,成立

        證選擇合適的光滑函數(shù)θ,使得對(duì)任意的s ∈R+,有0 ≤θ(s) ≤1.具體地,當(dāng)0 ≤s ≤1時(shí),有θ(s)=0; 當(dāng)s ≥2 時(shí),有θ(s)=1,且存在一正常數(shù)使得max{|θ′(s)|,θ′′(s)|}≤

        先給(1.6)2乘以并在Rn上做積分,然后用ηt與(1.6)2在(R+,H) 上做內(nèi)積,最后用ηt與(1.6)2在(R+,H1)上做內(nèi)積,記算后相加得

        根據(jù)(1.10)有

        將(4.1)和(4.2)加起來(lái),并利用(4.3)有

        根據(jù)Young不等式,(1.9)和(3.2)則有

        接下來(lái),我們處理上述方程中的每一項(xiàng),首先我們有

        此外有

        結(jié)合上面的估計(jì)得到

        設(shè)k1(?)>0,且?0 <?<1,使得k ≥k1(?),則

        同理,設(shè)k2(?)>0,且?0 <?<1,使得k ≥k2(?),則

        此外,存在k3(?)>0,當(dāng)k ≥k3(?),使得

        選取k0=max{k1(?),k2(?),k3(?)},當(dāng)k ≥k0時(shí),有

        在[τ,t]上應(yīng)用Growall引理,并結(jié)合引理3.3,得到

        對(duì)給定?>0,設(shè)K =K(?),存在T1=T1(?),當(dāng)t ≥T,且k ≥K(?),有

        則得到

        5.時(shí)間依賴全局吸引子的存在性

        定理5.1設(shè)條件(1.2)-(1.5)成立,問(wèn)題(1.6)生成的過(guò)程U(t,τ) : Hτ→Ht在H1(Rn)×L2(Rn)×(R+;H1(Rn))中存在一個(gè)不變的時(shí)間依賴全局吸引子U={At}t∈R.

        接下來(lái),我們利用漸近壓縮函數(shù)方法得到系統(tǒng)(1.6)時(shí)間依賴吸引子的存在性.

        引理5.2設(shè)條件(1.2)-(1.5)成立,h ∈L2(Rn),問(wèn)題(1.6)的解(un,unt,(s))對(duì)應(yīng)的初值∈BT.則對(duì)任意k >0 及T(?)>0,令Ωk={x ∈Rn:|x|<k},成立:

        在L∞(T,t;L2(Ωk))中,unt→ut弱*收斂.

        在L∞(T,t;(Ωk))中,un→u弱*收斂.

        在L2(T,t;(Ωk))中,un(t)→u(t)強(qiáng)收斂.

        在L2中,un(T)→u(T)和un(t)→u(t)強(qiáng)收斂.

        先驗(yàn)估計(jì)設(shè)(ui(t),uit(t),(s))為(1.6)的解,對(duì)應(yīng)的初值為(∈{Bτ}τ∈R,且

        則ω(t)滿足

        定義

        用ωt與(5.1)在L2(Rn)上作內(nèi)積,有

        用ζt與在(R+,H)上做內(nèi)積得到

        將(5.3)與(5.4)相加得

        根據(jù)(1.10),則有

        結(jié)合(5,5)-(5.7)有

        對(duì)(5.8)在[s,t]上作內(nèi)積,有

        其中T ≤s ≤t,L <α,根據(jù)(1.3)式,得到

        用ω與(5.1)式在Rn×[T,t]上作積分,得到

        根據(jù)(1.10)式有

        結(jié)合上式得

        結(jié)合(5.11)(5.12)式,可得

        給(5.9)式在[T,t]上作積分,有

        根據(jù)(5.13)和(5.14)有

        設(shè)

        則有

        定理5.3設(shè)條件(1.2)-(1.5)成立,則過(guò)程{U(t,τ)}是漸近壓縮的,即,對(duì)任意固定t ∈R,有界序列且任意當(dāng)n →∞時(shí),τn→-∞,序列在H1(Rn)×L2(Rn)×(R+;H1(Rn))中是準(zhǔn)緊的.

        證設(shè)

        同樣地當(dāng)m,n足夠大,我們可以得到

        因此我們可以得到

        接下來(lái),對(duì)任意固定?>0,令T <t使得t-T足夠大,則

        因此,根據(jù)定義2.6,2.7,對(duì)任意固定T,我們只需要證明(5.23)中是壓縮函數(shù).

        現(xiàn)在,我們將處理(5.18)中的每一項(xiàng).

        首先,從引理3.2和引理5.2中,得到

        定理5.1的證明由引理3.2可知,U(t,τ)存在一致有界的時(shí)間依賴吸收集{Bt}t∈R.由引理4.1和引理5.3,可知U(t,τ)是漸近緊的,從而得到了H1(Rn)×L2(Rn)×(R+;H1(Rn))中時(shí)間依賴吸引子U={At}t∈R的存在性.

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