占周婷,吳群英
( 桂林理工大學(xué)理學(xué)院,廣西 桂林541004)
隨著社會(huì)和科學(xué)的發(fā)展,極限理論被廣泛的應(yīng)用到統(tǒng)計(jì)、經(jīng)濟(jì)和金融等領(lǐng)域中.經(jīng)典極限理論是在模型確定的條件下成立,然而模型確定性假設(shè)在現(xiàn)實(shí)生活中許多應(yīng)用領(lǐng)域是不成立的,因?yàn)椴淮_定性現(xiàn)象無法用確定性模型解釋.在經(jīng)典極限理論中,概率和期望是具有可加性的,而現(xiàn)實(shí)生活中很多不確定現(xiàn)象不符合線性可加的條件.因此為解決經(jīng)典極限理論在應(yīng)用方面受到的限制,彭實(shí)戈院士[1]引入了次線性期望空間理論,并給出了次線性期望理論的完整公理體系.次線性期望是經(jīng)典線性期望的延伸,近幾年一系列新的研究結(jié)果被大量應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)、金融、經(jīng)濟(jì)和風(fēng)險(xiǎn)度量等方面.如PENG[2]證明了次線性期望下的中心極限定理;ZHANG[3-5]研究了次線性期望下END序列的Kolmogorov強(qiáng)大數(shù)定律、矩不等式、重對(duì)數(shù)律以及獨(dú)立和ND情況下的Rosenthal’s不等式; WU和JIANG[6]研究得到次線性期望下的強(qiáng)大數(shù)律與Chover’s型重對(duì)數(shù)律; HU[7]研究得到次線性期望空間下一般矩條件的強(qiáng)大數(shù)律;WANG和WU[8]研究了次線性期望下行END陣列的完全收斂性.
完全收斂性最初是由統(tǒng)計(jì)學(xué)者HSU和ROBBINS[9]在1947年提出,至此吸引了廣大學(xué)者的興趣.現(xiàn)如今,經(jīng)典概率空間中關(guān)于完全收斂性的研究成果已經(jīng)碩果累累.如KATE[10]和BAUM[11]得到了獨(dú)立同分布隨機(jī)變量部分和完全收斂的充分必要條件; 白志東和蘇淳[12]加強(qiáng)并改進(jìn)了KATE和BAUM獨(dú)立同分布隨機(jī)變量部分和完全收斂性的研究結(jié)果; WU[13-14]分別給出了ND序列和ND陣列隨機(jī)變量完全收斂性的證明; 孟兵和吳群英[15]證明了ND陣列加權(quán)乘積和的完全收斂性; YI等[16]研究了NOD序列加權(quán)和的完全收斂性; SUNG[17]運(yùn)用指數(shù)不等式得到了一個(gè)針對(duì)于獨(dú)立隨機(jī)變量陣列的新的完全收斂的結(jié)果; HU[18]等得到了行END陣列的完全收斂性.在次線性期望下雖然有LI和WU[19]證明了廣義獨(dú)立陣列的完全收斂和完全積分收斂性.但作為一種誕生不久的理論,次線性期望空間中關(guān)于極限理論的研究還需大量投入與輸出.本文在現(xiàn)有的理論基礎(chǔ)上,進(jìn)一步將文[18]中定理3.1從概率空間中行END陣列的完全收斂性推廣到次線性期望下行END陣列的完全收斂性,并且進(jìn)一步擴(kuò)展了條件范圍得到相應(yīng)的結(jié)果.
我們使用彭實(shí)戈院士[1-2]提出的次線性期望空間的框架,假設(shè)(Ω,F(xiàn))是給定的可測空間,H是定義在(Ω,F(xiàn))上由實(shí)函數(shù)構(gòu)成的線性空間,使得如果X1,X2,··· ,Xn∈H,則對(duì)于任意的φ ∈Cl,Lip(Rn)有φ(X1,X2,··· ,Xn) ∈H,其中Cl,Lip(Rn)表示在線性空間的局部Lipschitz函數(shù),即對(duì)任意φ ∈Cl,Lip(Rn),存在常數(shù)c >0,m ∈N取決于φ,都有
也稱H是由隨機(jī)變量所構(gòu)成的空間,并記X ∈H.
定義1.1[4]在空間H上的如果對(duì)任意的X,Y ∈H滿足以下四個(gè)條件:
定義1.2[4]令G ?F,如果函數(shù)V :G →[0,1]滿足以下兩個(gè)條件:
1) V(?)=0,V(Ω)=1;
2) 對(duì)任意A ?B,A,B ∈G,則有V(A)≤V(B).
則稱V 為容度.如果對(duì)所有的A,B ∈G,有V(A ∪B)≤V(A)+V(B),則稱V 具有次可加性; 如果對(duì)任意An∈F,有則稱V 具有可數(shù)次可加性.
在次線性期望空間中對(duì)上容度V和下容度V的定義如下:
其中,Ac為A的的補(bǔ)集.因此根據(jù)定義很容易可以看出V具有次可加性,且
如果I(A)∈H,有
如果f ≤I(A)≤g,f,g ∈H,則有
對(duì)于?X ∈H,p >0,x >0,因?yàn)?/p>
成立.
定義1.3[4]定義Choquet積分為
其中V 可由上容度V和下容度V替換.
定義1.4[3](END) 在次線性期望空間(Ω,H,)下隨機(jī)變量序列{Xn;n ≥1}被稱為END隨機(jī)變量序列,如果存在常數(shù)K ≥1,使得對(duì)任意的屬于Cb,Lip(R)的非降(或非增)的非負(fù)函數(shù)φi,都有
成立.
設(shè){kn;n ≥1}是正整數(shù)序列,如果對(duì)任意固定的n ≥1,{Xni;1 ≤i ≤kn}是END序列,則稱{Xni;1 ≤i ≤kn,n ≥1}為行END陣列.
顯然,根據(jù)END隨機(jī)變量序列的定義很容易可以得到,如果{Xn;n ≥1}是END隨機(jī)變量序列,f1(x),f2(x),··· ∈Cl,Lip(R)是非降(或非增)的函數(shù),則{fn(Xn);n ≥1}也是END隨機(jī)變量序列.
本文約定,C總代表一個(gè)正常數(shù),在不同的地方可取不同的值; an?bn表示存在常數(shù)C使得對(duì)充分大的n都有an≤Cbn; I(·)表示示性函數(shù).
為證本文的結(jié)論,我們需要下面的引理.
引理1.1[3]設(shè){Xn;n ≥1}是次線性期望空間下的END隨機(jī)變量序列,且0,令則
且對(duì)任意的p ≥2,存在常數(shù)Cp≥1,使得
其中K是END隨機(jī)變量序列定義中的控制常數(shù).
引理1.2設(shè){Xn;n ≥1}是次線性期望空間下的END隨機(jī)變量序列,且Xk≤0,令且存在y >0使得|Xk|≤y,則對(duì)任意的x >0,n ≥1和0 <p ≤2,都有
其中K的定義同(1.4).
證由END序列的定義可知,對(duì)任意的t >0,{etXk;k ≥1}也是END序列,則有
對(duì)t >0和0 <p ≤2,定義函數(shù)k(x) = (etx-1-tx)/xp,?x >0,則容易證得k(x)在x >0上單調(diào)遞增.因此當(dāng)t >0和0 <p ≤2 時(shí),函數(shù)k(x)=(etx-1-tx)/xp,?x >0是增函數(shù),以及|Xk|≤y可得
又由ex>x+1,?x >0可得
因此由(1.2)和(1.6)式可得
所以就完成了引理1.2的證明.
在次線性期望空間中,由于次線性期望和容度不再具有可加性,所以對(duì)次線性期望空間的完全收斂性的研究與經(jīng)典概率空間的相比有所不同,且更具挑戰(zhàn)性.
假設(shè){Xni;1 ≤i ≤kn,n ≥1} 是次線性期望空間下的行END隨機(jī)變量陣列,{kn}是正整數(shù)序列,{an;n ≥1}是非減的正常數(shù)序列.由END序列的定義可知,為了確保截尾后的隨機(jī)變量陣列也是行END陣列,需采用定義在Cl,Lip(R)上的非減函數(shù)或非增函數(shù)來進(jìn)行截尾.令fb(x)=-bI(x <-b)+xI(|x|≤b)+bI(x >b),?b >0.
對(duì)ε >0 和λ >0,令
顯然Xni=Yni+Zni.因?yàn)閒b(x)∈Cl,Lip以及fb(x)是非減的,所以{Yni;1 ≤i ≤kn,n ≥1}也是行END 隨機(jī)變量陣列.
定理2.1假設(shè){Xni;1 ≤i ≤kn,n ≥1}是次線性期望空間下的行END隨機(jī)變量陣列,{kn;n ≥1}是正整數(shù)序列,{an;n ≥1}是非減的正常數(shù)序列,其中{Yni;1 ≤i ≤kn,n ≥1}由(2.1)定義,如果
存在λ >0和0 <p ≤2或者0 <λ ≤1和p >2使得
則
注定理2.1是將文[18]中定理3.1的結(jié)論從概率空間推廣到了次線性期望空間,并推廣得到更一般的結(jié)果.文[20]的定理3.2雖然也是將文[18]中定理3.1的結(jié)論推廣到次線性期望空間,但是它的期望定義與本文不同,所以得到的結(jié)論與本文的結(jié)論互不包含.
證由(2.1)可知
所以要證明(2.4)式,只需證
首先將所有自然數(shù)分為如下A11和A12兩個(gè)數(shù)集:
由A12的定義和(2.3)式很容易可以得到
因此,只需證明
首先證明j =1時(shí)的(2.8)式.由(2.2)式就有
再證明j =2時(shí)的(2.8)式.下面分為三種情況來證明.
由此便完成了在0 <p ≤2和0 <λ ≤1條件下的(2.4)式的證明.
由此完成了在0 <p ≤2和λ >1條件下的(2.4)式的證明.
所以要證明j = 2時(shí)的(2.8)式,只需證明I21<∞和I22<∞.首先證明I21<∞.由0 <λ ≤1和(2.3)式可得
再證明I22<∞.由當(dāng)x >0時(shí)和(2.3)式可得
由此就得到了在p >2和0 <λ ≤1條件下的(2.4)式.
結(jié)合1),2)和3)便完成了(2.4)的證明.
因此有
這樣就得到了(2.5)式.
這便得到式子(2.6),即完成了定理2.1的證明.