陳思溢，牛 旭

(湘潭大學(xué) 自動化與電子信息學(xué)院，湖南 湘潭 411105)

0 引言

分?jǐn)?shù)階微積分起源于三百多年前，分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階相比能更精確地描述實際對象。鑒于分?jǐn)?shù)階理論的優(yōu)越性，近年來對分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的研究愈發(fā)成為一個熱點課題。特別是對分?jǐn)?shù)階控制器研究，1998年I.Podlubny教授提出的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器作為經(jīng)典控制器模型已成為最近分?jǐn)?shù)階領(lǐng)域的研究重點[1]。對于分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的參數(shù)整定，取得的成果主要有：圖解設(shè)計法、智能優(yōu)化算法、解析設(shè)計法、D分解法等。此外，極點配置在控制系統(tǒng)設(shè)計的瞬態(tài)響應(yīng)和魯棒性等性能方面具有重要作用。文獻(xiàn)[2]采用參數(shù)空間法討論利用分?jǐn)?shù)階PIλ控制器實現(xiàn)時滯系統(tǒng)極點配置問題。D分解法最早引入自動控制系統(tǒng)分析過程中是有Lanzkron等人在1959年提出[3]。文獻(xiàn)[4]利用D分解法精確地確定不確定系統(tǒng)的控制器參數(shù)區(qū)間范圍。文獻(xiàn)[5]運用D分解法分別描述了PD/PDμ控制器在(Kp,Kd)平面上的分?jǐn)?shù)階時滯系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定區(qū)域。文獻(xiàn)[6-7]利用D分解法求解閉環(huán)系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性問題，在此基礎(chǔ)上確定參數(shù)空間中穩(wěn)定域邊界的解析表達(dá)式，并且研究了線性分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)和線性參數(shù)相關(guān)情況下的D分解方法。文獻(xiàn)[8]應(yīng)用D分解法和值集的幾何結(jié)構(gòu)提出了一種有效的算法來計算帶時滯的區(qū)間對象的魯棒性區(qū)域。文獻(xiàn)[9]提出了一種確定滿足給定H∞優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)的PID控制器的方法。該方法使用D分解的概念確定值集的邊界，通過取區(qū)間交集來直觀地描述滿足要求的控制器參數(shù)范圍。文獻(xiàn)[10]通過D分解法解決低階控制器控制高階或時滯系統(tǒng)的問題。文獻(xiàn)[11]使用D分解法求解閉環(huán)倒立擺系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定問題，同時文中還研究了線性分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)和線性參數(shù)相關(guān)情況下的D分解方法。

本文提出了一種利用D分解法進(jìn)行主導(dǎo)極點配置的分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計方法。其基本思想是基于動態(tài)響應(yīng)指標(biāo)約束來進(jìn)行主導(dǎo)極點配置，由此可以得到分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)Kp,Ki關(guān)于Kd,α,β的線性函數(shù)，固定參數(shù)β后，就只有Kp和α兩個自由參數(shù)。D分解法用來確定Kd和α，從而確保所選極點的優(yōu)勢。在此過程中，引入差分進(jìn)化算法作為媒介，確定參數(shù)的穩(wěn)定區(qū)域，從而使得分?jǐn)?shù)階PID控制器達(dá)到理想的系統(tǒng)控制性能。

1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

2DOF PID的概念最早由Horowitz在1963年提出的，和傳統(tǒng)的1DOF PID相比，它較好地實現(xiàn)了抑制擾動和快速響應(yīng)設(shè)定值變化二者之間的均衡。從本質(zhì)上講，一般情況下的單輸入單輸出系統(tǒng)理應(yīng)是一個兼有設(shè)定值和擾動信號雙輸入且單輸出的系統(tǒng)，使用PID控制器去控制雙輸入系統(tǒng)，本該使系統(tǒng)的兩路性能均達(dá)到最優(yōu)，然而在大部分情況下此二者不可兼得。而2DOF PID正好能較好解決這一問題，它通過引進(jìn)一組無關(guān)誤差的參數(shù)，使用Kp,Ki,Kd去進(jìn)行擾動的抑制，再利用權(quán)重系數(shù)α,β去調(diào)整輸出。

考慮如圖1所示的采用二自由度分?jǐn)?shù)階PID控制策略的閉環(huán)控制系統(tǒng)，P(s)為被控對象，C1(s)為采用分?jǐn)?shù)階PID控制策略的主控制器，C2(s)為采用不完全微分控制策略的反饋補(bǔ)償控制器，它們的傳遞函數(shù)形式如式(1)～(3)所示：

(1)

(2)

(3)

圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

式中，v0,vi,vj為控制對象中的分?jǐn)?shù)階階次，pi,nj為常數(shù)。Kp,Ki,Kd為控制器的比例、積分和微分增益，α,β為控制器中的分?jǐn)?shù)階階次，Td為濾波時間常數(shù)。

將圖1轉(zhuǎn)化為具有單位負(fù)反饋形式的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，如圖2所示。其中：

(4)

圖2 具有單位負(fù)反饋形式的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

結(jié)合式(2)和(4)，可得出圖2所示的控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)如式(5)所示：

(5)

式中：

N(s)=(Kp+Kis-β+Kdsα)(Tdsα+1)

D(s)=(Tdsα+1)Kp+(Tdsα-β+s-β)Ki+

2 基于動態(tài)響應(yīng)指標(biāo)約束的主導(dǎo)極點配置

令s=σd±jωd為系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點，即閉環(huán)特征多項式D(s)的根?？紤]到閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)特性主要由主導(dǎo)極點確定，可根據(jù)閉環(huán)主導(dǎo)極點得到式(5)的近似閉環(huán)傳遞函數(shù)，如式(6):

(6)

考慮如式(7)的典型二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：

(7)

式中，ζ為阻尼系數(shù)，ωn為振蕩角頻率。由式(7)可得出二階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)指標(biāo)，如式(8)：

(8)

式中，δ%為最大超調(diào)量，ts為調(diào)節(jié)時間。令式(6)和(7)中各項分別相等，可得：

(9)

聯(lián)立式(8)和(9)，則可通過預(yù)設(shè)定δ%和ts解出期望閉環(huán)主導(dǎo)極點的位置。

將s=σd±jωd代入閉環(huán)特征多項式D(s)，并分別取其實部和虛部，可得關(guān)于Kp,Ki,Kd和α,β的多項式方程組如式(10)：

A1Kp+B1Ki+C1Kd=D1

A2Kp+B2Ki+C2Kd=D2

(10)

式中，

求解式(10)，Kp和Ki可通過Kd,α,β描述得出，如式(11):

(11)

3 基于D分解的控制器參數(shù)區(qū)域化

3.1 D分解思想

經(jīng)過上一節(jié)對閉環(huán)極點配置的研究，閉環(huán)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點可被配置在圖3中由‘×’號所標(biāo)識的位置，但若有其余極點同樣位于圖3中虛軸左側(cè)且陰影部分右側(cè)的位置，該對共軛極點則不是主導(dǎo)極點，系統(tǒng)的主要響應(yīng)性能就無法由它得到確定。

本文采用D分解評估期望閉環(huán)極點為主導(dǎo)極點的真實性，它的思想如下?？紤]閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，以復(fù)平面中的虛軸為界，若存在極點在其右側(cè)，則該系統(tǒng)不穩(wěn)定。選取控制器參數(shù)Kp,Ki,Kd,α,β，使閉環(huán)特征方程包含k個位于右半復(fù)平面的不穩(wěn)定根，則定義控制器參數(shù)的變化區(qū)域為d(k)?？刂破鲄?shù)的變化區(qū)間可由此被劃分成多個子域，其中每個都對應(yīng)了固定個數(shù)位于右半復(fù)平面的不穩(wěn)定根。若能尋找到一子域d(0)，則由對應(yīng)的控制器參數(shù)構(gòu)造得到的系統(tǒng)的閉環(huán)極點全部位于左半復(fù)平面，即該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。

圖3 閉環(huán)主導(dǎo)極點示意圖

將D分解思想中的判別邊界由虛軸替換為圖3與實軸相交于mσd的虛線，其中m≥5表示系統(tǒng)的其余閉環(huán)極點與虛軸的距離至少5倍于主導(dǎo)極點與虛軸的距離?？紤]此情形，在配置好期望極點的前提下，通過D分解評估得出對應(yīng)控制器參數(shù)的子域為d(2)，則認(rèn)為該極點為主導(dǎo)極點。

3.2 控制器參數(shù)區(qū)域化

改進(jìn)后的D分解方法中的邊界性條件可由以下兩點實現(xiàn)：

1)D(0)=0，說明閉環(huán)特征多項式D(s)中不包含常數(shù)項，如式(12)。

2)D(mσd+jω)=0，其中ω∈(-∞,+∞)，由它即可確定圖3中虛線所示的判別邊界。

(12)

求解式(12)，可將Kd用式(13)描述:

(13)

由D(mσd+jω)=0，并代入式(11)消去其中的Kp和Ki，則有：

(14)

(15)

通過式(14)解出Kd，可得：

(16)

將式(16)代入式(15)，可得：

(17)

可見，在保持β一定的前提下，隨著ω的變化可唯一確定α的變化軌跡，再將α代入式(13)和(16)，可進(jìn)一步確定兩種α與Kd之間的變化軌跡。由這兩條軌跡包圍而成的區(qū)域即為D分解方法中的閉環(huán)極點個數(shù)判別區(qū)域。

4 基于差分進(jìn)化算法的主導(dǎo)極點配置

若控制器參數(shù)的整體變化區(qū)間內(nèi)都不包含d(2)子域，即意味著在圖3中虛軸左側(cè)且陰影部分右側(cè)的區(qū)域內(nèi)包含兩個以上的閉環(huán)極點。本文考慮子域為d(3)或d(4)的情形，對于除主導(dǎo)極點以外的閉環(huán)極點，利用差分進(jìn)化算法在子域內(nèi)尋找合適的控制器參數(shù)α,β和Kd，再根據(jù)式(11)確定Kp和Ki，從而在閉環(huán)傳遞函數(shù)的分子多項式N(s)中配置出復(fù)平面中位置與該閉環(huán)極點相同或相近的閉環(huán)零點，構(gòu)造偶極子以消除該閉環(huán)極點帶來的影響。

令s=σa+jωa為d(3)或d(4)子域中除主導(dǎo)極點外期望被配置出的閉環(huán)極點，則有：

D(σa+jωa)=0

N[σa+Δσ+j(ωa+Δω)]=0

(18)

式中，Δσ和Δω表示偶極子中閉環(huán)零點與極點之間的微小距離。若子域為d(3)，則意味著該閉環(huán)極點為位于[-mσd,0]區(qū)間內(nèi)的負(fù)實根，此時有ωa=Δω=0。列出差分進(jìn)化算法中的目標(biāo)函數(shù)和約束條件如下：

差分進(jìn)化算法的執(zhí)行步驟如圖4所示。

步驟1：對種群進(jìn)行初始化，種群中的每個個體都包含5個參數(shù)：分?jǐn)?shù)階階次α、閉環(huán)極點的實軸坐標(biāo)σa和虛軸坐標(biāo)ωa、以及偶極子中零極點之間間距的實軸坐標(biāo)Δσ和虛軸坐標(biāo)Δω。

xi,G=(σa,ωa,Δσ,Δω,α)

(20)

式中，i代表種群中的第i個個體，G代表算法的迭代次數(shù)。為兼顧算法的優(yōu)化效率和運行速度，本文選擇種群的總個體數(shù)量和最大迭代次數(shù)分別為30和500。

步驟2：根據(jù)式(20)中的參數(shù)，利用式(11)和(18)計算Kp,Ki,Kd，若α和Kd的取值位于D分解子域d(3)或d(4)內(nèi)，則認(rèn)為此時種群個體的選擇滿足邊界約束條件。

(19)

圖4 差分進(jìn)化算法流程

步驟3：隨機(jī)選取種群中兩個不同的個體xr1,G和xr2,G，將兩者的向量差按比例縮放后，與目標(biāo)個體xi,G進(jìn)行向量合成，得到變異個體vi,G+1，其計算過程如式(21):

vi,G+1=xi,G+F(xr1,G-xr2,G)

(21)

式中，F(xiàn)為縮放因子，本文中取值為1.2。

步驟4：對目標(biāo)個體xi,G及其變異個體vi,G+1按一定概率進(jìn)行個體間的交叉操作，從而確保變異個體中的部分信息能被傳遞到下一代個體ui,G+1。本文中交叉概率取值為0.8。

步驟5：將經(jīng)過交叉操作得到的個體ui,G+1和原個體xi,G中的參數(shù)分別代入式(19)中的目標(biāo)函數(shù)，選取適應(yīng)度值較優(yōu)所對應(yīng)的個體，將其保留并傳遞至下一代xi,G+1。

5 仿真結(jié)果與分析

本文所提方法在兩類控制對象上進(jìn)行仿真驗證，控制對象的模型如式(22)。

(22)

為驗證本文所提方法的優(yōu)越性，使用改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法[12-14]和改進(jìn)粒子群算法[15]被用來作對比，同時為了更好地對各類方法的差異進(jìn)行量化分析，本文引入如式(23)的ITAE評價指標(biāo)。

(23)

式中，tm表示仿真終止時間，r(t),y(t),e(t)分別表示閉環(huán)控制系統(tǒng)的輸入、輸出和誤差量。

5.1 整數(shù)階對象P1(s)

設(shè)定期望的最大超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間分別為10%和13.92 s，根據(jù)式(8)和(9)，可解得期望的主導(dǎo)極點位于s=-0.368 62±j0.296 20，令濾波時間常數(shù)Td和分?jǐn)?shù)階階次β分別為0.094 2和1.05，即可通過D分解方法將控制器參數(shù)α,Kd的整體可變區(qū)域劃分為圖5所示的各個子域。

圖5 由改進(jìn)D分解方法劃分控制器參數(shù)的變化區(qū)域

圖6 配置參數(shù)后的控制系統(tǒng)零極點圖

由圖6可知，經(jīng)過配置參數(shù)，控制系統(tǒng)有一對共軛零點和一對共軛極點形成了偶極子，使系統(tǒng)的響應(yīng)性能可以主要受到主導(dǎo)極點的影響。而與其他的極點或零點沒什么太大關(guān)系。

以下為三類參數(shù)整定方法得到的參數(shù)結(jié)果，如表1所示，控制對象模型如式(20)。仿真結(jié)果如圖7所示。

從試驗結(jié)果可知,針對整數(shù)階被控系統(tǒng)，本文方法在響應(yīng)速度和精確度均優(yōu)于改進(jìn)灰狼算法及改進(jìn)粒子群算法。

表1 各類方法的對比

圖7 整數(shù)階被控系統(tǒng)階躍輸出響應(yīng)圖

P1(s)上升時間/s穩(wěn)定時間/s超調(diào)本文方法9.87100改進(jìn)灰狼算法9.292170.098改進(jìn)粒子群算法9.768180.122

5.2 分?jǐn)?shù)階對象P2(s)

設(shè)定期望的最大超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間分別為3%和9.1秒，根據(jù)式(8)和(9)，可解得期望的主導(dǎo)極點位于s=-0.330 1±j0.943 9，令濾波時間常數(shù)Td和分?jǐn)?shù)階階次β分別為0.094 2和1.05，即可通過D分解方法將控制器參數(shù)α,Kd的整體可變區(qū)域劃分為類似圖5所示的幾個子域。

以下為三類參數(shù)整定方法得到的參數(shù)結(jié)果，如表3所示，控制對象模型如式(20)。仿真結(jié)果如圖8所示。

表3 各類方法的對比

圖8 分?jǐn)?shù)階被控系統(tǒng)階躍輸出響應(yīng)圖

在實驗中，第20 s時加入干擾信號。從實驗結(jié)果可知，針對分?jǐn)?shù)階被控系統(tǒng)，各項性能均優(yōu)于整數(shù)階被控系統(tǒng)，一定程度上也表明了分?jǐn)?shù)階控制器和分?jǐn)?shù)階被控對象結(jié)合較之整數(shù)階被控對象的系統(tǒng)控制性能更優(yōu)。而在三類方法對比中，本文方法和改進(jìn)和灰狼算法的結(jié)果相似，同時二者在響應(yīng)速度、精確度及抗干擾性能方面均優(yōu)于改進(jìn)粒子群算法。

6 結(jié)束語

本文提出了一種基于D分解法進(jìn)行主導(dǎo)極點配置的2自由度分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計方法。其基本思想是基于動態(tài)響應(yīng)指標(biāo)約束來進(jìn)行主導(dǎo)極點配置，以差分進(jìn)化算法作為媒介，在D分解得到的穩(wěn)定區(qū)域中確定最優(yōu)參數(shù)，從而使得分?jǐn)?shù)階PID控制器達(dá)到理想的系統(tǒng)控制性能。 針對整數(shù)階被控對象和分?jǐn)?shù)階被控對象采用三類參數(shù)整定方法設(shè)計控制器，對比實驗結(jié)果顯示文中所設(shè)計的方法在控制系統(tǒng)的快速性，穩(wěn)定性和魯棒性等方面均表現(xiàn)較好，由于其他兩類整定方法。