吳曉

(湖南文理學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，湖南常德415000)

夾芯梁由于具有質(zhì)量輕、高比強(qiáng)度、高比剛度等優(yōu)點(diǎn)，已在車輛工程、航空航天等實(shí)際工程中得到廣泛應(yīng)用。李川蘇等[1]采用試驗(yàn)研究了結(jié)構(gòu)彎曲性能。李澤華等[2]研究了泡沫鋁夾層梁的三點(diǎn)彎曲變形行為。楊福俊等[3]研究了泡沫鋁夾芯板靜態(tài)三點(diǎn)彎曲變形行為及力學(xué)性能。方海等[4]研究了泡桐木夾層結(jié)構(gòu)材料的力學(xué)性能。以上研究工作均說(shuō)明了夾芯梁在實(shí)際工程中應(yīng)用的重要性?？紫榍宓萚5]將夾芯梁彎曲實(shí)驗(yàn)引入到材料力學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中。文獻(xiàn)[6-7]介紹了夾芯梁的計(jì)算方法，并把計(jì)算夾芯梁彎曲時(shí)的許用彎矩作為習(xí)題，但介紹材料力學(xué)方法計(jì)算許用彎矩時(shí)沒有考慮剪切效應(yīng)的影響。

1 問(wèn)題的提出

材料力學(xué)教材[6]中有一道計(jì)算夾芯梁彎曲時(shí)許用彎矩的習(xí)題，矩形截面的鋼、木夾芯梁，其截面形狀可見圖1，上、下層均為鋼板，中間層為木材。

圖1 夾芯梁截面

梁的計(jì)算參數(shù)為：l=3 m，b=200 mm，h=300 mm，t=12 mm，鋼板的彈性模量和剪切彈性模量分別為E1=210 GPa，G1=79.38 GPa，木材的彈性模量和剪切彈性模量分別為E2=10 GPa，G2=0.5 GPa，鋼、木許用應(yīng)力分別為[σ1]=170 MPa，[σ2]=10 MPa。試求此梁的許用彎矩。

文獻(xiàn)[6-7]沒有介紹關(guān)于矩形截面的鋼、木夾芯梁上下鋼板與木芯層的連接方式，但是根據(jù)題意可以認(rèn)為鋼片與木材是緊密結(jié)合的。因此，本文假設(shè)矩形截面的鋼板與木夾芯層間用環(huán)氧樹脂粘合劑緊密粘結(jié)且梁兩端用鋼箍箍緊，來(lái)保證在外載荷作用下夾芯梁上下面板與夾芯層共同彎曲變形。

由文獻(xiàn)[6-7]可知，沒有考慮剪切效應(yīng)時(shí)夾芯梁的彎曲正應(yīng)力公式為

式中

由式(1)可知應(yīng)力校核式為

將夾芯梁參數(shù)代入式(2)中可得許用彎矩為[M]=145.13 kN·m。

梁的許用彎矩看似被求解，其實(shí)還存在問(wèn)題，那就是不知道作用在夾芯梁上的是集中載荷還是分布載荷。

如果是集中載荷作用在梁上，剪切變形對(duì)夾芯梁的許用彎矩校核計(jì)算沒有影響。假如是分布載荷作用在梁上，就要考慮剪切效應(yīng)對(duì)許用彎矩校核計(jì)算的影響。

由材料力學(xué)可知，如果梁在各橫截面上的剪力都相等，則各截面的翹曲也相同，相鄰橫截面間縱向纖維的長(zhǎng)度不會(huì)因截面翹曲而改變。因此，在這種情況下橫截面的翹曲并不影響纖維由彎矩所引起的縱向伸長(zhǎng)或縮短，也就不影響根據(jù)平面假設(shè)所導(dǎo)出的正應(yīng)力分布規(guī)律。但在分布載荷作用下，梁在各橫截面上的剪力不同，各橫截面的翹曲程度也不同，相鄰橫截面間縱向纖維的長(zhǎng)度必然會(huì)因此而發(fā)生變化，從而影響彎曲正應(yīng)力的分布。

2 剪切效應(yīng)對(duì)許用彎矩的影響

本文利用材料力學(xué)方法推導(dǎo)夾芯梁截面的剪應(yīng)力公式。

因?yàn)閵A芯梁的上、下面板較薄，因此夾芯梁的彎曲可以僅考慮夾芯層的剪切剛度。

圖2 所示為夾芯梁微段，左邊的軸向拉力N1的表達(dá)式為同理，圖2所示梁微段右邊的軸向拉力N2的表達(dá)式為

所以，圖2所示靜力平衡方程為

將式(3)和式(4)代入式(5)可得夾芯層橫截面上的剪應(yīng)力為

式中，Q=dM/dx為剪力。

圖2 夾芯梁微段

由文獻(xiàn)[8]可知，矩形截面梁在均布載荷或集中載荷作用下，其梁截面上的剪應(yīng)力公式與材料力學(xué)推導(dǎo)出的剪應(yīng)力公式是一致的，也就是說(shuō)材料力學(xué)推導(dǎo)出的剪應(yīng)力公式是二維彈性理論梁截面上的剪應(yīng)力精確解，所以利用彈性體的剪應(yīng)變與位移的幾何方程，可以推導(dǎo)出考慮剪切變形時(shí)夾層梁的彎曲正應(yīng)力公式。

由彈性力學(xué)可知軸向位移、橫向位移與剪應(yīng)力、剪應(yīng)變的關(guān)系為

式中，ui為軸向位移，w為橫向位移，γi為剪應(yīng)變，i=1時(shí)代表上、下表板，i=2時(shí)代表夾芯層，G2為夾芯層的剪切彈性模量。

將式(7)對(duì)z積分一次可得

式中，Ci為待定常數(shù)。

夾芯梁中性軸處及表板與夾芯層連接處的位移條件為

將式(6)及τ1=0代入式(8)中積分且利用式(9)可得表板及夾芯層軸向位移分別為

由式(10)可知夾芯梁表板、夾芯層正應(yīng)力分別為

式中，q(x)=dQ/dx。

由于夾芯梁橫截面彎矩方程為

將式(11)代入式(12)中可得

式中，C為剪切剛度

將式(13)代入式(11)中可得夾芯梁表板及夾芯層的彎曲正應(yīng)力公式分別為

由式(14)和式(15)可以看出夾芯梁在分布載荷作用下，分布載荷對(duì)梁的彎曲正應(yīng)力有一定影響。當(dāng)夾芯梁在集中力作用下，式(14)和式(15)即退化為式(1)。

為了檢驗(yàn)本文式(14)和式(15)的計(jì)算精度，以簡(jiǎn)支梁為例，可令q(x)=q，E=E1=0，t=0，所以式(15)可化為

式中，I=bh3/12，A=bh，G為剪切彈性模量。

利用E=2G(1+μ)，可把式(16)化為

式中，μ為泊松比。

在式(17)中令μ=0可得

即文獻(xiàn)[8]給出的均布載荷作用下簡(jiǎn)支梁截面正應(yīng)力的彈性理論精確解。

參閱文獻(xiàn)[9]可令μ=0.25時(shí)，由式(17)和式(18)可得圖3所示簡(jiǎn)支梁截面最大彎曲正應(yīng)力分別為

式中，W=bh2/6，Mmax=ql2/8。

圖3 均布載荷作用下簡(jiǎn)支梁

式(19)和式(20)計(jì)算的結(jié)果列在表1中，以便比較計(jì)算精度。

表1 最大彎曲正應(yīng)力系數(shù)β

表1 中，σmax=β×Mmax/W，由表1可以看出本文方法計(jì)算精度非常高。

下面以圖3所示均布載荷作用下簡(jiǎn)支夾芯梁為例，采用式(14)和式(15)分析剪切效應(yīng)對(duì)許用彎矩的影響。

將有關(guān)計(jì)算參數(shù)代入式(14)可得夾芯梁的最大正應(yīng)力為

由式(21)可以求得

將有關(guān)計(jì)算參數(shù)代入式(15)可得夾芯梁的夾芯層最大正應(yīng)力為

由式(23)可以求得

比較式(22)和式(24)可知作用在圖3所示夾芯梁的許用均布載荷應(yīng)該為q1=134.175 2 kN/m。所以，考慮剪切效應(yīng)時(shí)圖3所示夾芯梁上的許用彎矩為

所以，文獻(xiàn)[6]方法計(jì)算的許用彎矩與本文方法計(jì)算的許用彎矩的誤差為

以上計(jì)算說(shuō)明剪切效應(yīng)對(duì)均布載荷作用下夾芯梁的許用彎矩還是有一定影響的，雖然實(shí)際工程中一般要求計(jì)算誤差不超過(guò)5%，而本文方法的計(jì)算誤差也僅為4.01%。但是，對(duì)于設(shè)計(jì)精度要求高的結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)4.01%也是較大的誤差。眾所周知，梁的跨高比越小剪切效應(yīng)對(duì)梁的彎曲變形計(jì)算影響就越大，尤其是對(duì)夾芯梁的彎曲變形，以l/(h+2t)=9.26的簡(jiǎn)支夾芯梁為例來(lái)計(jì)算夾芯梁的許用彎矩，如果夾芯梁的跨高比l/(h+2t)更小，文獻(xiàn)[6]方法計(jì)算的許用彎矩與本文方法計(jì)算的許用彎矩的誤差會(huì)更大。

在材料力學(xué)的實(shí)際教學(xué)中，如果讓學(xué)生掌握本文關(guān)于夾芯梁許用彎矩的計(jì)算方法是有一定困難的，但是作為材料力學(xué)教師是應(yīng)該掌握的。在關(guān)于夾芯梁內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該告訴學(xué)生剪切效應(yīng)會(huì)對(duì)夾芯梁的彎曲變形計(jì)算產(chǎn)生較大影響。

3 結(jié)語(yǔ)

本文關(guān)于矩形截面的鋼、木夾芯梁彎曲應(yīng)力的計(jì)算方法，對(duì)齒板-玻璃纖維混合夾層梁、泡沫鋁夾芯梁、泡桐木夾層梁等其他夾芯梁彎曲應(yīng)力計(jì)算均適用。克服了有關(guān)材料力學(xué)教材計(jì)算許用彎矩時(shí)，沒有考慮剪切效應(yīng)的不足，也對(duì)實(shí)際工程中有關(guān)設(shè)計(jì)人員具有理論指導(dǎo)意義。