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        壓桿穩(wěn)定性的平衡視角與剛?cè)釢u近

        2021-01-06 05:18:38李依倫北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院北京100191
        力學(xué)與實(shí)踐 2020年6期
        關(guān)鍵詞:碟簧壓桿力矩

        李 敏 李依倫(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院,北京100191)

        ?(北京航空航天大學(xué)中法工程師學(xué)院,北京100191)

        1 教學(xué)內(nèi)容回顧與問(wèn)題的提出

        在材料力學(xué)課程體系中,作為結(jié)構(gòu)安全性三大指標(biāo)之一的穩(wěn)定性是以壓桿穩(wěn)定性,特別是臨界載荷的求解為主要教學(xué)內(nèi)容。教學(xué)內(nèi)容除穩(wěn)定性現(xiàn)象描述外,還包括:剛桿與彈簧壓桿穩(wěn)定性分析;兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界載荷的推導(dǎo)與討論;兩端非鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界載荷的推導(dǎo)與比擬;中、小柔度壓桿臨界應(yīng)力;壓桿穩(wěn)定條件與合理設(shè)計(jì)。

        筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn):在所有穩(wěn)定性教學(xué)內(nèi)容中,同學(xué)們?cè)谂R界載荷公式應(yīng)用方面掌握較好,但提及什么是壓桿失穩(wěn)以及為什么會(huì)失穩(wěn)往往不能準(zhǔn)確描述,這反映出學(xué)生在理解壓桿穩(wěn)定性的機(jī)理方面有欠缺。究其原因,一方面,相比強(qiáng)度與剛度分析中拉壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲章節(jié)的重復(fù)強(qiáng)化,穩(wěn)定性分析教學(xué)內(nèi)容較少,所以學(xué)生感受不充分;另一方面,穩(wěn)定性分析屬于特征值問(wèn)題,其分析方法與強(qiáng)度和剛度所歸屬的響應(yīng)問(wèn)題差異較大。以上的原因使學(xué)生們普遍對(duì)壓桿穩(wěn)定性章節(jié)產(chǎn)生一種“霧里看花”的感覺(jué),因此找尋一種采用學(xué)生們熟知的分析模式,或者基于已有理論基礎(chǔ)的教學(xué)方法非常必要。

        事實(shí)上,除了彈性壓桿穩(wěn)定性的分析過(guò)程,剛桿-彈簧系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析,包括為了講述方便而引入的剛性小球凹凸曲面穩(wěn)定性問(wèn)題(圖1),同學(xué)們認(rèn)為穩(wěn)定性的機(jī)理是比較清晰的:

        (1)對(duì)于剛性小球--從力平衡的角度出發(fā),當(dāng)小球偏離平衡點(diǎn)A后,凹曲面內(nèi)小球所受合力始終指向平衡位置;而凸曲面外小球所受合力始終背離平衡位置B,所以平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的機(jī)理一目了然;

        (2)對(duì)于剛桿-彈簧軸向受壓穩(wěn)定性問(wèn)題(圖2),基于從中學(xué)就熟悉的力(矩)平衡的知識(shí),也能迅速領(lǐng)會(huì)驅(qū)動(dòng)力矩Fδ與恢復(fù)力矩kδl的相互關(guān)系決定剛桿-彈簧系統(tǒng)直線平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的機(jī)理,這與剛性小球平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析一脈相承:均為力(矩)平衡關(guān)系的視角,而這種基于中學(xué)或大學(xué)物理課程中力(矩)平衡的分析模式很容易被學(xué)生們接受與掌握。

        圖1 剛性小球凹凸曲面平衡穩(wěn)定性示意圖

        圖2 剛桿-彈簧壓桿平衡穩(wěn)定性示意圖

        在兩端鉸支彈性細(xì)長(zhǎng)壓桿穩(wěn)定性分析過(guò)程中,利用梁的撓曲軸(近似)微分方程,代入微彎臨界狀態(tài)下彎矩表達(dá)式,通過(guò)邊界條件與通解存在條件確定臨界載荷,在此過(guò)程中并未明顯涉及熟知的力(矩)平衡,而是借用了常微分方程解算模式,致使解答(臨界載荷)的物理含義不明晰。后續(xù)講解臨界載荷π2EI/l2屬于結(jié)構(gòu)的固有特性時(shí),盡管學(xué)生們基于表達(dá)式的形式可以接受這一結(jié)論,但講解中物理本質(zhì)的缺失是學(xué)生理解彈性壓桿穩(wěn)定性機(jī)理的主要障礙。

        2 彈性壓桿穩(wěn)定性問(wèn)題的力(矩)平衡視角

        事實(shí)上,在兩端鉸支彈性細(xì)長(zhǎng)壓桿分析過(guò)程中也有驅(qū)動(dòng)力矩與恢復(fù)力矩的分類:在微彎臨界狀態(tài)下分離體平衡(圖3),由此獲得內(nèi)力分量的彎矩M與外力矩Fw平衡,其中彎矩M即為恢復(fù)力矩,而外力矩Fw為驅(qū)動(dòng)力矩。盡管這種講述方式也被部分教師采用,但相比剛桿-彈簧系統(tǒng)中恢復(fù)力矩kδl明確的物理含義,彈性壓桿恢復(fù)力矩M與結(jié)構(gòu)幾何尺寸和材料有何關(guān)系并不明確,導(dǎo)致該種講述方式失去闡述內(nèi)在機(jī)理的價(jià)值。

        圖3 彈性壓桿平衡穩(wěn)定性分析內(nèi)力圖

        本文提出一種方法修補(bǔ)該缺陷,建議在基本內(nèi)容講述完成后對(duì)分析內(nèi)容進(jìn)行另一種模式的回顧:當(dāng)彈性壓桿處于微彎臨界狀態(tài),利用撓曲軸近似微分方程與撓度解的形式,由

        為了形象化表征各力矩變化與相互關(guān)系,使用圖4表示彈性壓桿系統(tǒng)的力矩變化,其中橫軸表示外加軸向壓力,縱軸表示力矩。當(dāng)桿件偏離初始直線平衡位置時(shí),圖中OA1直線表示隨著軸向壓力F的增加,x=x1截面(任意軸向位置)驅(qū)動(dòng)力矩Fw(x1)呈線性增長(zhǎng);而恢復(fù)力矩M=π2EIw(x1)/l2與外加軸向壓力F無(wú)關(guān)所以呈水平直線(圖中B1C1)(式(2)中負(fù)號(hào)表示恢復(fù)力矩M與驅(qū)動(dòng)力矩方向相反,為了便于畫(huà)圖比較,圖中只考慮數(shù)量)。兩線相交點(diǎn)D1表征臨界狀態(tài),其交點(diǎn)對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)即為臨界載荷Fcr=π2EI/l2。圖中Fcr左側(cè)箭頭表示:當(dāng)外加軸向壓力F<Fcr時(shí),線段B1D1位于OD1之上,即恢復(fù)力矩大于驅(qū)動(dòng)力矩,壓桿將回到原始直線平衡位置;同理,右側(cè)箭頭表示外加軸向壓力F>Fcr時(shí)恢復(fù)力矩小于驅(qū)動(dòng)力矩(線段D1C1位于D1A1之下),壓桿無(wú)法回到原始直線平衡位置。當(dāng)然也可以取不同的軸向位置x=x2,情況是完全類似的:OA2表示驅(qū)動(dòng)力矩Fw(x2),B2C2表示恢復(fù)力矩π2EIw(x2)/l2,兩線交點(diǎn)D2所對(duì)應(yīng)的臨界載荷仍為Fcr。

        圖4 彈性壓桿系統(tǒng)的力矩變化

        剛桿-彈簧系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)力矩Fδ與恢復(fù)力矩kδl的相互關(guān)系完全類似(如圖5,圖中δi均表示壓桿上端部水平位移),此處不再贅述。

        圖5 剛桿-彈簧系統(tǒng)的力矩變化

        沿襲力(矩)平衡的視角,采用該類圖線可以展示驅(qū)動(dòng)力矩與恢復(fù)力矩的關(guān)系,臨界載荷的來(lái)歷,以及外力小于或大于臨界載荷時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài),不失為一種幫助學(xué)生理解彈性壓桿穩(wěn)定性機(jī)理的方法。

        以上的分析模式從形式上統(tǒng)一了剛桿-彈簧系統(tǒng)與彈性壓桿系統(tǒng)失穩(wěn)機(jī)理,但相比于剛桿-彈簧系統(tǒng)恢復(fù)力矩的來(lái)源,彈性壓桿系統(tǒng)的恢復(fù)力矩源于撓曲軸近似微分方程與撓度解的形式,也許會(huì)使學(xué)生感覺(jué)有些“陌生”或者“不直接”。更重要的是,相比前者臨界載荷kl作為系統(tǒng)固有特性的物理本質(zhì),后者臨界載荷π2EI/l2不易理解:盡管從直觀感受上,結(jié)構(gòu)抵抗失穩(wěn)的能力與剛度成正向比例,與桿長(zhǎng)度成反向比例是合理的,但比例的方次,包括系數(shù)大小,以及π2EI/l2從總體形式上與結(jié)構(gòu)的什么性質(zhì)直接關(guān)聯(lián)并不明顯。講述內(nèi)容中剛桿-彈簧系統(tǒng)與彈性壓桿系統(tǒng)兩種穩(wěn)定性問(wèn)題還是相對(duì)獨(dú)立的,這是以上方法的“缺憾”。

        3 壓桿穩(wěn)定性問(wèn)題的剛?cè)釢u近

        為了解決上節(jié)方法中的“缺憾”,這里首先介紹一個(gè)典型題目(圖6),該題目出現(xiàn)在許多教科書(shū)中作為例題或習(xí)題[1-3]。

        圖6 雙剛桿+線性碟簧系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題示意圖

        雙剛桿+一個(gè)線性碟簧(螺旋彈簧)系統(tǒng)臨界載荷的解算是非常簡(jiǎn)單的,考慮微擾臨界狀態(tài)下分離體剛桿AC的平衡

        在雙桿模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展,使用相同的方法可以解算多桿+線性碟簧模型的臨界載荷,對(duì)于三桿模型(圖7),根據(jù)對(duì)稱性,CD桿處于水平位置,其力平衡分析與雙桿模型相同

        四桿模型(圖8)需考慮AC桿與CD桿的平衡

        聯(lián)立可得θ1與θ2的關(guān)系

        可解得θ2/θ1=■2-1,即

        圖7 三剛桿+線性碟簧系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題示意圖

        圖8 四剛桿+線性碟簧系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題示意圖

        更多桿件模型均可參照以上的平衡條件解出,另外也可利用最小勢(shì)能原理,采用變分方法進(jìn)行簡(jiǎn)化分析,以下給出各模型的勢(shì)能表達(dá)式

        式中,Π的下標(biāo)表示桿件數(shù)目,對(duì)θi變分即可得到平衡方程,這里不再詳述[4]。

        觀察式(4),式(6)和式(9)等系列結(jié)果并順序排列,從形式上完全相似,臨界載荷均與線性碟簧剛度成正比,與剛桿長(zhǎng)度成反比。考慮到圖中蝶形彈簧剛度的物理含義是相鄰兩剛桿產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需力矩,如果關(guān)聯(lián)到彈性梁彎曲變形中集中彎矩產(chǎn)生的彎曲角

        可得

        式中l(wèi)i=l/i。代入各模型臨界載荷公式中整理成為統(tǒng)一的模式

        式中ai數(shù)值如表1。

        表1 ai數(shù)值表

        隨著桿件數(shù)目的增加,依據(jù)式(12)我們可以猜測(cè)ai的發(fā)展趨勢(shì)是否有可能趨近π2≈9.87。

        事實(shí)上,我們可以證明這一點(diǎn):對(duì)于總長(zhǎng)l等分i段(i→∞)的剛桿+線性碟簧模型如圖9,考慮對(duì)稱性取左半部分為研究對(duì)象(為方便畫(huà)圖,不妨設(shè)i為偶數(shù)),

        沿用形狀函數(shù)Asinπx/l,極限狀態(tài)下中點(diǎn)附近彎曲角極小,利用小變形假設(shè)

        圖9 無(wú)限細(xì)分剛桿+線性碟簧系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題示意圖

        對(duì)于壓桿穩(wěn)定性教學(xué)內(nèi)容的講解,特別是壓桿穩(wěn)定性內(nèi)涵的理解,此例有兩方面的作用:

        (1)說(shuō)明了彈性壓桿穩(wěn)定性臨界載荷π2EI/l2中各參數(shù)與方次的來(lái)歷。

        (2)統(tǒng)一了剛桿-彈簧壓桿穩(wěn)定性與彈性壓桿穩(wěn)定性兩種壓桿穩(wěn)定性模式,前者是后者在一定條件下的近似,后者可以看作前者的極限化。

        4 結(jié)語(yǔ)

        在材料力學(xué)課程內(nèi)容中,彈性壓桿穩(wěn)定性臨界載荷的物理本質(zhì)屬于比較難于理解的部分。相對(duì)而言,基于中學(xué)或者大學(xué)物理中有關(guān)力(矩)平衡的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行講解容易被學(xué)生接受。本文通過(guò)幾種簡(jiǎn)單模型和圖像展示,揭示了彈性壓桿穩(wěn)定性臨界載荷中各參量與桿件彎曲剛度和幾何尺寸的關(guān)系,并統(tǒng)一了兩種壓桿穩(wěn)定性模型的分析過(guò)程,可作為材料力學(xué)壓桿穩(wěn)定性部分教學(xué)的補(bǔ)充材料。

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