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        虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)與局部變分
        ——張量變分學(xué)的基本概念及其定義1)

        2021-01-06 05:15:36殷雅俊
        力學(xué)與實(shí)踐 2020年6期
        關(guān)鍵詞:拉格朗變分張量

        殷雅俊

        (清華大學(xué)航天航空學(xué)院工程力學(xué)系,北京100084)

        本文標(biāo)題涉及了三個(gè)關(guān)鍵詞:虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)、局部變分、張量變分學(xué),其中,虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)和局部變分是似曾相識的詞匯:虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)似乎只是在經(jīng)典物質(zhì)導(dǎo)數(shù)前面加了一個(gè)“虛”字;局部變分似乎只是在經(jīng)典變分前面加了一個(gè)限定詞“局部”。

        讀者也許會有疑問:“為何多此一舉?”“這不是玩弄詞藻嗎?”作者的辯解如下。引入虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)和局部變分概念,是為了實(shí)現(xiàn)三個(gè)意圖:一是彌補(bǔ)張量分析學(xué)概念體系中破缺的對稱性;二是為張量變分學(xué)奠定基礎(chǔ),三是為張量的協(xié)變變分學(xué)開辟道路。

        限于篇幅,本文主要聚焦于前兩個(gè)意圖,即概念體系的對稱性和張量變分學(xué)。而張量協(xié)變變分學(xué),則是后續(xù)文章綜述的重點(diǎn)。本文包括如下內(nèi)容:(1)簡要回顧經(jīng)典變分思想,評述其概念上的局限性;(2)拓展經(jīng)典物質(zhì)導(dǎo)數(shù),引入虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)概念;(3)依托虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù),類比張量微分概念,定義張量局部變分概念,塑造張量變分與張量微分之間的對稱性;(4)類比張量微分學(xué),展示張量變分學(xué),揭示張量變分學(xué)與張量微分學(xué)之間的對稱性。

        1 變分:一個(gè)“一句話說不清楚”的概念

        大學(xué)時(shí)代,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析。課堂上,老師提出要求:“微分與積分的關(guān)系是什么?請用一句話說清楚。”作者小心翼翼地回答:“逆運(yùn)算。”老師挑起大拇指:“高,實(shí)在是高!用一句話說清楚已經(jīng)相當(dāng)不易,你竟然用一個(gè)詞就說清楚了?!备吲d之余,老師進(jìn)一步提高標(biāo)準(zhǔn):“請用一個(gè)字說清楚!”受到老師的稱贊,信心大增,脫口回答:“逆!”

        當(dāng)年老師的苛刻要求,產(chǎn)生了持久的影響。從此,作者養(yǎng)成了思維習(xí)慣:對重要的概念,一定要理解到這樣的程度--用一句話說清楚其內(nèi)涵和外延。

        后來,學(xué)習(xí)力學(xué)中的變分原理。作者突然發(fā)現(xiàn),如果問:“什么是微分?”一句話能說清楚。如果問:“什么是變分?”一句話竟然說不清楚了。

        2008年,作者曾被前輩追問:“怎樣理解變分?”作者謹(jǐn)慎地“用一句話”答道:“對參變量的導(dǎo)數(shù)?!彪m然用了“一句話”,但似乎并沒有“說清楚”。實(shí)際上,這個(gè)說法,對數(shù)學(xué)學(xué)者尚可接受,但對力學(xué)學(xué)者仍顯費(fèi)解。

        如果繼續(xù)追問:“什么東西對參變量的導(dǎo)數(shù)?”作者能給出的答案是“泛函對參變量的導(dǎo)數(shù)”。這個(gè)答案當(dāng)然不算錯(cuò),但有局限性。

        2 從歷史的天空看經(jīng)典變分概念的整體性

        歷史地看,變分似乎是個(gè)整體性概念。

        整體和局部及其相互關(guān)系,是哲學(xué)家關(guān)注的問題,也是自然科學(xué)家感興趣的問題。

        早年學(xué)習(xí)彈性力學(xué),作者深受如下陳述的影響:彈性力學(xué)的基本問題有兩種提法,一是微分提法,二是變分提法。后來,作者自己成了教師和學(xué)者,對兩種提法有了更深刻的理解:微分提法體現(xiàn)了牛頓和萊布尼茲的局部化數(shù)理分析思想,而變分提法則體現(xiàn)了歐拉和拉格朗日的整體化數(shù)理分析思想。

        由此,作者樹立起了牢固的觀念:微分是局部性概念,變分是整體性概念;

        微分被定義在一個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi),變分被定義在物質(zhì)構(gòu)型空間上;微分提法對應(yīng)局部化數(shù)理分析之路,變分提法對應(yīng)整體化數(shù)理分析之路。

        從力學(xué)的角度看,上述觀念似乎經(jīng)得起時(shí)間考驗(yàn)。場函數(shù)的微分,涉及空間域上“點(diǎn)的鄰域”內(nèi)場函數(shù)的增量?!包c(diǎn)的鄰域”當(dāng)然是局部性概念。彈性力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)微分方程,建立在微單元體上。微單元體是“點(diǎn)的鄰域”的幾何化形態(tài),自然是局部性概念。

        泛函的變分,是定義在物質(zhì)構(gòu)型空間上的泛函的增量。彈性力學(xué)有最小勢能原理和最小余能原理。兩個(gè)原理分別涉及勢能泛函的變分和余能泛函的變分。勢能泛函和余能泛函都表現(xiàn)為物質(zhì)構(gòu)型空間上的積分。物質(zhì)構(gòu)型空間是整體性的概念,泛函自然也是整體性概念。

        分析力學(xué)有最小作用量原理??巳R恩在他的名著《古今數(shù)學(xué)思想》中指出:“變分學(xué)的早期工作幾乎不能和微積分區(qū)分開來。但是,隨著變分法的深化,牛頓之后的偉大先驅(qū)們很快意識到:一個(gè)全新的、具有自己的特征問題和方法論的數(shù)學(xué)分支已經(jīng)產(chǎn)生了?!薄斑@個(gè)新學(xué)科,對于數(shù)學(xué)和科學(xué)來說,其重要性幾乎可以和微分方程相比,它為整個(gè)數(shù)學(xué)物理提供了一個(gè)最重要的原理。”這個(gè)“最重要的原理”,即最小作用量原理。

        作用量一般表現(xiàn)為時(shí)間段上的積分。當(dāng)說“作用量的變分”時(shí),研究的是定義在時(shí)間段上的作用量的增量。時(shí)間段是整體性的概念,作用量當(dāng)然也是整體性的概念。

        很顯然,先驅(qū)們思考變分學(xué)的角度,著眼于整體。其中的核心概念,是泛函的變分或作用量的變分。

        然而,這產(chǎn)生了誤導(dǎo),使得作者產(chǎn)生了如下誤解:由于變分的作用對象都是整體性概念,故變分就是個(gè)整體性概念。教學(xué)過程中,作者有意無意地將這樣的觀念傳遞給了學(xué)生。

        近年來,隨著研究的深入,作者意識到,上述觀念限定了教師和學(xué)生的想象力。實(shí)際上,如果研究對象不是泛函或作用量,而是張量場函數(shù),那么,著眼點(diǎn)就不應(yīng)該是整體,而應(yīng)該是局部。

        3 張量變分的局部性與概念體系對稱性的破缺

        2002年,作者研究生物膜力學(xué)時(shí),強(qiáng)烈地意識到,需要清晰地引入一個(gè)概念--曲率張量的變分。

        生物膜是軟物質(zhì),可以將其抽象成柔性曲面。不難想象,柔性曲面幾何形狀的任何漲落,都會誘導(dǎo)曲率張量的擾動(dòng)。那么,怎樣才能最有效地度量曲率張量的擾動(dòng)量?

        當(dāng)時(shí),作者借鑒彈性力學(xué),用虛位移概念刻畫柔性曲面的漲落。于是,很自然地,就把曲率張量的擾動(dòng)量視為“曲率張量的變分”。

        如何快速計(jì)算曲率張量的變分?作者意識到,不同于曲率張量的微分,“曲率張量的變分”沒有現(xiàn)成的計(jì)算模式,故當(dāng)時(shí)只能憑物理直覺“拼湊”出其計(jì)算式。

        數(shù)學(xué)力學(xué)中的概念,一般都有兩個(gè)表達(dá)式,一個(gè)是定義式,另一個(gè)是計(jì)算式。其中,定義式在先,計(jì)算式在后,計(jì)算式源自定義式?!扒蕪埩康淖兎帧弊鳛橐粋€(gè)基本概念,既沒有計(jì)算式,也沒有定義式。因?yàn)闆]有定義式,當(dāng)然也就無法“一句話說清楚”其內(nèi)涵和外延。

        “曲率張量的變分”,無定義,難計(jì)算。然而,“曲率張量的微分”,可定義,可計(jì)算。作者發(fā)現(xiàn),類似的概念上的對稱性破缺,不是孤立的現(xiàn)象,竟然普遍存在于張量分析中:有一般意義上的“張量微分”概念,但沒有一般意義上的“張量變分”概念。

        作者還發(fā)現(xiàn),概念上的對稱性破缺帶來的直接后果,是理論上的對稱性破缺:張量微分學(xué)的大廈巍然挺立,但張量變分學(xué)的原野卻一片荒漠。這并不奇怪:基本概念是理論的基石。張量微分學(xué)的大廈奠定在張量微分概念的基礎(chǔ)之上。相反地,缺少了基礎(chǔ)性的張量變分概念,張量變分學(xué)的大廈就無從談起。

        追根溯源,可以發(fā)現(xiàn),對稱性破缺的根本原因,源自局部性概念與整體性概念之間的錯(cuò)配:張量場函數(shù)可以是局部性概念,微分是局部性概念。這樣,“張量場函數(shù)/微分”就是兩個(gè)局部性概念的組合,渾然天成。然而,經(jīng)典的變分“被認(rèn)為”是整體性概念,“張量場函數(shù)/變分”,是局部性概念與整體性概念的疊加,難以匹配。

        作者想起智者的忠告:紛繁之處,可嘗試分類;混淆之處,可嘗試定義。顯然,要糾正概念組合的錯(cuò)配,最便捷的方法是塑造出一個(gè)局部性概念--張量場函數(shù)的“局部變分”。這樣,就相當(dāng)于對籠統(tǒng)的變分概念進(jìn)行了更精細(xì)的分類--整體性變分和局部性變分。當(dāng)然,局部變分概念難以借助經(jīng)驗(yàn)提煉出來,只能借助理性塑造出來。

        4 張量場函數(shù)的虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)——局部變分概念的邏輯基礎(chǔ)

        如何塑造張量場函數(shù)的局部變分概念?作者的作法是“先為局部變分概念尋找一個(gè)邏輯基礎(chǔ)”。2016年,找到了突破口:作者從“虛”字上獲得了靈感。

        力學(xué)史上,從“實(shí)”到“虛”的觀念進(jìn)化,對應(yīng)著重要的思想飛躍。分析力學(xué)和彈性力學(xué),都涉及一個(gè)十分基本的概念--虛位移。彈性力學(xué)中虛位移的定義很簡潔:就是運(yùn)動(dòng)許可位移。滿足運(yùn)動(dòng)許可的虛位移有無窮多,構(gòu)成無窮集合。而真實(shí)位移只是虛位移的特例,只是無窮集合中的特殊元素。

        分析力學(xué)中,“虛”字照樣引人注目。分析力學(xué)的理論體系,可以被奠定在不同的基本原理基礎(chǔ)之上:拉格朗日方程,被奠定在達(dá)朗貝爾原理的基礎(chǔ)之上;吉布斯阿佩爾方程和凱恩方程,被奠定在高斯原理的基礎(chǔ)之上。從達(dá)朗貝爾原理到拉格朗日方程,虛位移概念發(fā)揮了重要作用。同樣,從高斯原理到吉布斯阿佩爾方程和凱恩方程,虛加速度概念不可或缺。

        在速度和加速度之間,還有一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)量--虛速度。虛速度,就是運(yùn)動(dòng)許可速度。歷史上,虛速度概念并沒有逃過先驅(qū)們銳利的眼睛。分析力學(xué)中,除了達(dá)朗貝爾原理和高斯原理,還有約旦原理。虛速度是約旦原理中決定性的概念。

        注意到,位移,速度,加速度,不論“虛實(shí)”,都是定義在物質(zhì)點(diǎn)上的概念。論及“物質(zhì)點(diǎn)”,連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個(gè)概念進(jìn)入了作者的視線--物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。

        需要說明的是,幾何論中,確有“對參變量的導(dǎo)數(shù)”概念。如果“參變量”被取為時(shí)間變量,且“對參變量的導(dǎo)數(shù)”被定義在運(yùn)動(dòng)的物質(zhì)點(diǎn)上,即可得到物質(zhì)導(dǎo)數(shù)[1-2]。

        在作者的印象里,物質(zhì)導(dǎo)數(shù)是“實(shí)”的概念,用以刻畫物體“真實(shí)”的運(yùn)動(dòng)。后來,作者意識到,這只是先入為主的自我設(shè)限。實(shí)際上,沒有任何理由認(rèn)為,也沒有任何權(quán)力規(guī)定,物質(zhì)導(dǎo)數(shù)必須是“實(shí)”的。正如虛位移、虛速度和虛加速度,完全可以自由地引入“虛”物質(zhì)導(dǎo)數(shù)概念。正如虛位移是運(yùn)動(dòng)許可位移,虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)即為運(yùn)動(dòng)許可物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。

        虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù),可以視為實(shí)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的推廣。反過來,實(shí)物質(zhì)導(dǎo)數(shù),可以視為虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的特例。

        從虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)概念出發(fā),就可以定義局部變分概念。也就是說,虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù),可以被選定為局部變分概念的邏輯基礎(chǔ)。

        一旦涉及到物質(zhì)導(dǎo)數(shù),就得關(guān)注物質(zhì)占據(jù)的空間及其運(yùn)動(dòng)的描述方式。

        5 物質(zhì)空間及其運(yùn)動(dòng)描述方式

        為了簡化形式,采用平坦空間。至于運(yùn)動(dòng)的描述方式,最基本的有歐拉描述和拉格朗日描述[1]。本文采用拉格朗日描述,是為了簡化理論的解析結(jié)構(gòu)。簡化到極致,讀者便可輕松地理解本質(zhì)和思想。

        平坦空間拉格朗日描述下,張量場函數(shù)T具有如下函數(shù)形態(tài)

        T既是拉格朗日坐標(biāo)xm的函數(shù),也是時(shí)間參變量t的顯態(tài)函數(shù)。這里的時(shí)間t,是一般參變量的特殊情形。從數(shù)學(xué)的角度看,xm和t都是自變量,地位完全平等,沒有本質(zhì)的差異。然而,如果從力學(xué)的角度看,xm被賦予了幾何意義和物理意義,t則被賦予了物理意義。此時(shí),xm是自變量,t是參數(shù)。物理學(xué)和力學(xué)中,被xm刻畫的連續(xù)函數(shù),大都是“場”函數(shù)。

        嵌入在連續(xù)體上的拉格朗日坐標(biāo)xm的集合構(gòu)成了一個(gè)實(shí)數(shù)域,稱之為拉格朗日空間域。連續(xù)體的運(yùn)動(dòng)發(fā)生在某個(gè)時(shí)間段內(nèi)。這個(gè)時(shí)間段也構(gòu)成一個(gè)實(shí)數(shù)域,稱之為拉格朗日時(shí)間域。張量場函數(shù)T(xm,t)在空間域上的變化,引出經(jīng)典微分,在時(shí)間域上的變化,引出局部變分。

        拉格朗日描述下,時(shí)間t與坐標(biāo)xm居于同等地位。時(shí)間域與空間域也居于同等地位。時(shí)間t的引入,可以從運(yùn)動(dòng)的角度看變分概念的本質(zhì)。

        注意到,作用量中包含了時(shí)間,故似乎是動(dòng)態(tài)概念。而連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的勢能泛函和余能泛函,似乎都是靜態(tài)的概念。也就是說,能量泛函中沒有引入時(shí)間。當(dāng)然,“沒有引入時(shí)間”,不等于“沒有時(shí)間概念”。能量泛函的增量(或變化)是物體運(yùn)動(dòng)的結(jié)果,而運(yùn)動(dòng)總發(fā)生在某個(gè)時(shí)間段內(nèi)。因此,能量泛函中本來就有時(shí)間。實(shí)際上,理解了本文之后,讀者就會意識到:一旦允許時(shí)間自變量出現(xiàn)在能量泛函中,能量原理就會容易理解得多。

        為便于讀者理解,下面采用比較分析法,同時(shí)展示張量場函數(shù)在空間域上的經(jīng)典微分和時(shí)間域上的局部變分。

        6 張量場函數(shù)在空間域上的經(jīng)典微分

        研究拉格朗日空間域中的微分,只需保持拉格朗日時(shí)間參變量t不變。固定時(shí)間參變量t,相當(dāng)于令時(shí)間“凝固”或“凍結(jié)”。此時(shí),看到的是t時(shí)刻靜態(tài)的物質(zhì)空間。令拉格朗日坐標(biāo)xm產(chǎn)生一個(gè)增量Δxm,進(jìn)而求張量場函數(shù)T的增量ΔT

        由于拉格朗日坐標(biāo)xm對應(yīng)于物質(zhì)點(diǎn),因此,式(2)的含義是物質(zhì)點(diǎn)(xm+Δxm)的張量值與物質(zhì)點(diǎn)xm的張量值之差。

        大戰(zhàn)在即,豆腐坊的生意卻比往日更繁忙。假如不是四周槍炮林立,不是當(dāng)街口一堆堆疊得小山似的沙包,還有沙包后伸出來的輕重機(jī)槍,光看豆腐坊的生意還真和平日里沒啥兩樣:幾大口鐵鍋一溜排開,火頭正旺,入了鍋的豆腐水滋滋冒著泡;幾個(gè)伙計(jì)光著膀子,系著圍裙,正抬著一大桶豆腐水往木格子里倒,只消一會,點(diǎn)了鹵的豆腐就結(jié)得硬硬邦邦。

        固定時(shí)刻t,在xm的鄰域內(nèi),將T(xm+Δxm,t)展開為泰勒級數(shù)

        這里的泰勒級數(shù),是場函數(shù)T(xm+Δxm,t)在拉格朗日空間域上的展開形式。于是式(2)重寫為

        由式(4)右端的一階項(xiàng),就可以定義出拉格朗日空間域上張量的微分dT

        式(5)可以推廣到任意場函數(shù)。

        經(jīng)典偏導(dǎo)數(shù)?T/?xm和經(jīng)典微分dT,是張量微分學(xué)的基礎(chǔ)性概念。這兩個(gè)概念定義之后,張量微分學(xué)的理論體系,就大體上確定了。

        7 張量場函數(shù)在時(shí)間域上的局部變分

        研究拉格朗日時(shí)間域中的變分,只需保持拉格朗日坐標(biāo)xm不變,令拉格朗日時(shí)間t產(chǎn)生一個(gè)增量Δt,進(jìn)而求張量場函數(shù)的增量ΔT

        在t的鄰域內(nèi),將場函數(shù)T(xm,t+Δt)展開為泰勒級數(shù)

        這里的泰勒級數(shù),是場函數(shù)T(xm,t+Δt)在拉格朗日時(shí)間域上的展開形式。展開過程中,保持拉格朗日坐標(biāo)xm不變,亦即緊盯運(yùn)動(dòng)的物質(zhì)點(diǎn)不變。根據(jù)拉格朗日描述下物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的定義,式(7)可重寫為

        式(8)代入式(6),可寫出

        由式(9)右端的一階項(xiàng),可以定義出拉格朗日時(shí)間域上張量場函數(shù)的微分dtT

        確切地說,dtT是張量場函數(shù)T對時(shí)間t的微分。由于dtT是定義在物質(zhì)點(diǎn)xm上的隨體概念,因此是“物質(zhì)微分”。式(10)顯示,物質(zhì)微分dtT是與物質(zhì)導(dǎo)數(shù)dtT/dt對應(yīng)的概念,二者之間成正比例關(guān)系,比例系數(shù)為dt。

        如果dtT/dt是虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù),則dtT就是虛物質(zhì)微分。此時(shí)就將dtT稱為“張量場函數(shù)T的局部變分”。

        式(10)中的定義可推廣到任意場函數(shù)。也就是說,任意場函數(shù)的局部變分,都可以通過其虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)來定義。

        虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)dtT/dt和局部變分dtT,是張量變分學(xué)的基礎(chǔ)性概念。這兩個(gè)概念定義之后,張量變分學(xué)的理論體系,就大體上確定了。

        8 張量場函數(shù)的經(jīng)典微分與局部變分之間的對稱性

        式(5)包含了兩個(gè)基本概念:拉格朗日空間域上,張量場函數(shù)T的偏導(dǎo)數(shù)?T/?xm和微分dT。式(10)也包含了兩個(gè)基本概念:拉格朗日時(shí)間域上,張量場函數(shù)T的虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)dtT/dt和局部變分dtT。

        空間域xm與時(shí)間域t是對應(yīng)的??臻g域與時(shí)間域上成對兒的基本概念,存在“一一對應(yīng)”的對稱性

        上述對稱性,既包含表觀形式的對稱,也包含解析結(jié)構(gòu)的對稱。畫出如下對稱示意圖

        注意到概念“名稱”的對稱性:dT是微分,dtT是變分。繼續(xù)類比,?T/?xm是微商,即微分之商;dtT/dt是變商,即變分之商。

        至此,“張量的經(jīng)典微分~張量的局部變分”之間的對稱性,就被建立起來了。這兩個(gè)概念極具基礎(chǔ)性?;谶@兩個(gè)基礎(chǔ)性的概念,可以發(fā)展出來更多的概念、思想和理論。于是,一個(gè)有趣的問題值得追問:兩個(gè)基礎(chǔ)性概念之間對稱性“基因”,能否穩(wěn)定地被“遺傳”下去?或者說,后繼的概念、思想和理論,能否葆有對稱性?答案是肯定的。

        如上所述,基于偏導(dǎo)數(shù)?T/?xm和微分dT,可以發(fā)展張量場函數(shù)的微分學(xué);基于虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)dtT/dt和局部變分dtT,可以發(fā)展張量場函數(shù)的變分學(xué)。可以預(yù)料,張量變分學(xué)與張量微分學(xué),也是對稱的,即

        可以肯定,對于張量微分學(xué)中的表達(dá)式,張量變分學(xué)中都存在與之對稱的表達(dá)式。

        9 拉格朗日基矢量的經(jīng)典微分和局部變分之間的對稱性

        任何成熟的理論都必須具有可計(jì)算性。從哪個(gè)角度審視張量變分學(xué)的可計(jì)算性?為便于參照,仍然從對稱的角度看問題?;仡櫼幌聫埩课⒎謱W(xué),可知有如下命題:基矢量微分的可計(jì)算性,是張量微分學(xué)可計(jì)算性的基礎(chǔ)。拉格朗日協(xié)變基矢量gi和逆變基矢量gi的函數(shù)形態(tài)為

        張量微分學(xué)中,有著名的克里斯托弗爾公式[1-2]

        空間域上,克里斯托弗爾公式刻畫了拉格朗日基矢量的空間變化率?;噶康目臻g導(dǎo)數(shù),仍然是基矢量的組合,組合系數(shù)是Γkim??死锼雇懈柟绞菑埩课⒎謱W(xué)的重要基礎(chǔ)之一。Γkim被稱為克里斯托弗爾符號??死锼雇懈柗柕亩x,是克里斯托弗爾對張量微分學(xué)的偉大貢獻(xiàn)。

        基于式(14),可導(dǎo)出基矢量的經(jīng)典微分

        基矢量的空間微分dgi,仍然是基矢量gk的組合,組合系數(shù)是

        可以從歷史中獲得借鑒:基矢量局部變分的可計(jì)算性,是張量變分學(xué)可計(jì)算性的基礎(chǔ)。時(shí)間域上,拉格朗日基矢量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)為[1]

        式中,vi是速度場矢量v=vigi的拉格朗日逆變分量。式(16)是張量分析學(xué)中的經(jīng)典結(jié)果?;噶康奈镔|(zhì)導(dǎo)數(shù),仍然是基矢量的組合,組合系數(shù)是速度分量vk的協(xié)變導(dǎo)數(shù)(或速度梯度?v的分量)?ivk。

        如果速度場v是“虛”的,則式(16)給出了基矢量的虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。顯然,拉格朗日基矢量的虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù),取決于虛速度場的梯度?v。

        式(16)與式(14)顯示出對稱性。與式(14)在張量微分學(xué)中的基礎(chǔ)性地位類似,式(16)是張量變分學(xué)的重要基礎(chǔ)。基于式(16),可導(dǎo)出基矢量的局部變分

        基矢量的局部變分dtgi,仍然是基矢量gk的組合,組合系數(shù)是(?ivk)dt。

        一旦確定了虛速度梯度分量?ivk,則張量變分學(xué)中的任何計(jì)算,都可順利地給出確定的“值”。

        從式(16)和式(17)中可獲得啟示:如果看到的是實(shí)速度場,那么,式(16)就給出了基矢量的實(shí)物質(zhì)導(dǎo)數(shù),式(17)就給出了基矢量的“實(shí)”時(shí)間微分。如果看到的是虛速度場,那么,式(16)就給出了基矢量的虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù),式(17)就給出了基矢量的“虛”時(shí)間微分(或虛物質(zhì)微分),亦即局部變分??傊?,只要速度場有虛實(shí)之分,基矢量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)就有虛實(shí)之分,基矢量的時(shí)間微分就有虛實(shí)之分。而虛的時(shí)間微分,就是局部變分。

        式(17)與式(15)之間的對稱性,清晰可見。

        限于論文的篇幅,這里不再繼續(xù)展示張量變分學(xué)與張量微分學(xué)的對稱性。如果讀者有興趣,可以自己嘗試一下:比照張量微分學(xué)的大廈,一定可以構(gòu)筑出張量變分學(xué)的大廈,且兩座大廈遙相呼應(yīng),構(gòu)成優(yōu)雅對稱的建筑群。

        10 張量概念中的協(xié)變性思想及其推廣

        對稱性的遺傳進(jìn)程連綿不斷,當(dāng)然也可以持續(xù)追問:對稱的張量微分學(xué)和張量變分學(xué)之后,是否還能塑造出更宏大的對稱建筑群?

        答案是肯定的。但要塑造出新的對稱建筑群,必須先引入一塊厚重的基石--協(xié)變性思想。理由如下。

        標(biāo)題中,出現(xiàn)了張量一詞。實(shí)際上,即使沒有張量這個(gè)詞,本文照樣言之成理。之所以畫蛇添足地加上這個(gè)詞,是為后續(xù)建筑群的對稱化做鋪墊。

        數(shù)學(xué)力學(xué)的歷史上,張量概念的誕生是件大事。不同于經(jīng)典力學(xué)概念,張量概念中蘊(yùn)涵了一個(gè)既漂亮又深刻的思想--協(xié)變性思想。

        1935年,法國誕生了著名的布爾巴基學(xué)派。該學(xué)派提出了重要的思想觀念--數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在諸種類型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中,最基本的是代數(shù)結(jié)構(gòu)。張量就是普遍存在于物理學(xué)和力學(xué)中的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

        作為代數(shù)結(jié)構(gòu),張量有內(nèi)部子結(jié)構(gòu),例如,分量和基矢量。子結(jié)構(gòu)滿足特定的協(xié)調(diào)約束性質(zhì),即“協(xié)變性”,具體表現(xiàn)為兩大基本變換:一是指標(biāo)升降變換,二是坐標(biāo)變換。作者將二者合稱為里奇變換[3-4]。

        確切地說,協(xié)變性就是張量在里奇變換下的不變性。正是協(xié)變性,保證了張量的坐標(biāo)無關(guān)性。從這個(gè)意義上講,在物理學(xué)和力學(xué)中,協(xié)變性近乎于客觀性。因此說,協(xié)變性思想,不僅漂亮,而且深刻。

        從張量代數(shù)學(xué)到張量微分學(xué)的演進(jìn),是數(shù)學(xué)物理和數(shù)學(xué)力學(xué)史上的大事。但這件大事總被一種不大圓滿的氛圍所籠罩--張量微分的協(xié)變性退化了。喪失了協(xié)變性的張量微分,對物理學(xué)和力學(xué)不吝一場災(zāi)難。

        危難時(shí)刻,意大利的里奇學(xué)派盡顯英雄本色:他們巧妙地引入了漂亮的新概念--張量的協(xié)變微分,從而一舉將不協(xié)變的微分學(xué),“美化”成了協(xié)變的微分學(xué)。

        然而,隨著協(xié)變微分概念的誕生,概念上新的對稱性破缺出現(xiàn)了。隨著協(xié)變微分學(xué)的出世,理論上新的對稱性破缺出現(xiàn)了。

        本文刻畫了這樣的歷史軌跡:先驅(qū)們定義了張量微分,造成了概念上的對稱性破缺。而隨著張量變分的定義,概念上的對稱性破缺得以彌補(bǔ)。先驅(qū)們發(fā)展了張量微分學(xué),造成了理論上的對稱性破缺。而隨著張量變分學(xué)的建立,理論上的對稱性破缺得以修復(fù)。

        現(xiàn)在,新的對稱性破缺引出了新的問題:還能重復(fù)上述對稱化歷史的軌跡嗎?答案是肯定的。對稱的建筑群將被持續(xù)延拓,規(guī)模更大、更為壯麗的對稱建筑群將拔地而起。如果讀者想一睹其真容,那就請閱讀后續(xù)文章吧。

        11 說不盡的對稱

        結(jié)束本文時(shí),再關(guān)注一下對稱性。對稱是自然科學(xué)永恒的主題。歷史上,很多偉大學(xué)者都涉及過這個(gè)主題,例如,赫爾曼·外爾的《對稱》。當(dāng)然,作者最喜歡前輩力學(xué)家武際可先生的對稱性思想。他的文集《動(dòng)腦筋·說力學(xué)》[5-6]中,有兩篇文章涉及對稱,一是“談?wù)剬ΨQ”,二是“從太極圖說起--再談對稱”。兩篇文章深入淺出,娓娓道來對稱思想之精髓,令人大開眼界,受益無窮。

        讀者一定會問:“為什么對稱觀念如此令人著迷?”德國數(shù)學(xué)家諾特有著名的命題:任何對稱性,都對應(yīng)著某種形式的守恒律。物理學(xué)和力學(xué)的歷史已經(jīng)確證了命題的正確性:物理學(xué)和力學(xué)的每一條規(guī)律,都受到某種對稱性的支配;任何新對稱性的發(fā)現(xiàn),都意味著新規(guī)律的誕生;任何對稱性破缺的出現(xiàn),都意味著新理論的曙光。諾特的命題極大地消減了探索的盲目性--只要捕捉到對稱性,就可以順藤摸瓜地找到守恒律。本來,追尋守恒律,是物理學(xué)和力學(xué)探索者永恒的使命。諾特命題之后,追尋對稱性,成為物理學(xué)和力學(xué)探索者達(dá)成使命的捷徑。

        這也正是作者在本文中的動(dòng)機(jī)之所在:苦心孤詣地塑造經(jīng)典微分與局部變分之間的對稱性。

        12 結(jié)論

        結(jié)束本文時(shí),作者拋出一個(gè)疑問:虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)是不可或缺的概念嗎?實(shí)際上,早在2016年,作者就直接從實(shí)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)出發(fā),引出了局部變分概念。當(dāng)時(shí),沒有感到有何不妥之處。從前幾年的探索看,似乎有實(shí)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)概念就足夠了。這樣看來,虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)概念似乎有些多余。引入虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù),似乎違反了“奧卡姆剃刀”原則:如非必須,勿加實(shí)體。

        后來,作者否定了“多余”的判斷。作者并不是想通了,而是類比之余,堅(jiān)定了信念:已經(jīng)有實(shí)位移,但從沒有認(rèn)為,虛位移概念是多余的。已經(jīng)有實(shí)速度,但從沒有認(rèn)為,虛速度概念是多余的。已經(jīng)有實(shí)加速度,但從沒有認(rèn)為,虛加速度概念是多余的。

        換個(gè)角度看:如果說,張量的局部變分是個(gè)不可或缺的概念,那么虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù),就是個(gè)必不可少的概念。虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)和局部變分概念的威力,會在后續(xù)的文章中,充分地展現(xiàn)出來。

        本文只涉及了拉格朗日描述。歐拉描述,照樣可以揭示出對稱的張量微分學(xué)和張量變分學(xué)。換言之,張量微分學(xué)與張量變分學(xué)之間的對稱性,是一種客觀實(shí)在,與運(yùn)動(dòng)的描述方式無關(guān)。不論采用何種運(yùn)動(dòng)描述方式,對稱性都存在。但限于篇幅,本文不再涉及歐拉描述。

        在傳統(tǒng)觀念中,張量分析學(xué)主要是指張量微分學(xué)?,F(xiàn)在,可以更新觀念:張量分析學(xué)包括了兩個(gè)對稱的理論體系:一個(gè)是張量微分學(xué),另一個(gè)是張量變分學(xué)。

        本文講述了一個(gè)對稱性故事,后續(xù)文章將講述對稱性故事的續(xù)集。

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