殷雅俊

(清華大學(xué)航天航空學(xué)院工程力學(xué)系，北京100084)

本文標(biāo)題涉及了三個(gè)關(guān)鍵詞：虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)、局部變分、張量變分學(xué)，其中，虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)和局部變分是似曾相識(shí)的詞匯：虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)似乎只是在經(jīng)典物質(zhì)導(dǎo)數(shù)前面加了一個(gè)“虛”字；局部變分似乎只是在經(jīng)典變分前面加了一個(gè)限定詞“局部”。

讀者也許會(huì)有疑問(wèn)：“為何多此一舉？”“這不是玩弄詞藻嗎？”作者的辯解如下。引入虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)和局部變分概念，是為了實(shí)現(xiàn)三個(gè)意圖：一是彌補(bǔ)張量分析學(xué)概念體系中破缺的對(duì)稱性；二是為張量變分學(xué)奠定基礎(chǔ)，三是為張量的協(xié)變變分學(xué)開(kāi)辟道路。

限于篇幅，本文主要聚焦于前兩個(gè)意圖，即概念體系的對(duì)稱性和張量變分學(xué)。而張量協(xié)變變分學(xué)，則是后續(xù)文章綜述的重點(diǎn)。本文包括如下內(nèi)容：(1)簡(jiǎn)要回顧經(jīng)典變分思想，評(píng)述其概念上的局限性；(2)拓展經(jīng)典物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，引入虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)概念；(3)依托虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，類比張量微分概念，定義張量局部變分概念，塑造張量變分與張量微分之間的對(duì)稱性；(4)類比張量微分學(xué)，展示張量變分學(xué)，揭示張量變分學(xué)與張量微分學(xué)之間的對(duì)稱性。

1 變分：一個(gè)“一句話說(shuō)不清楚”的概念

大學(xué)時(shí)代，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析。課堂上，老師提出要求：“微分與積分的關(guān)系是什么？請(qǐng)用一句話說(shuō)清楚?！弊髡咝⌒囊硪淼鼗卮穑骸澳孢\(yùn)算?！崩蠋熖羝鸫竽粗福骸案撸瑢?shí)在是高！用一句話說(shuō)清楚已經(jīng)相當(dāng)不易，你竟然用一個(gè)詞就說(shuō)清楚了。”高興之余，老師進(jìn)一步提高標(biāo)準(zhǔn)：“請(qǐng)用一個(gè)字說(shuō)清楚！”受到老師的稱贊，信心大增，脫口回答：“逆！”

當(dāng)年老師的苛刻要求，產(chǎn)生了持久的影響。從此，作者養(yǎng)成了思維習(xí)慣：對(duì)重要的概念，一定要理解到這樣的程度--用一句話說(shuō)清楚其內(nèi)涵和外延。

后來(lái)，學(xué)習(xí)力學(xué)中的變分原理。作者突然發(fā)現(xiàn)，如果問(wèn)：“什么是微分？”一句話能說(shuō)清楚。如果問(wèn)：“什么是變分？”一句話竟然說(shuō)不清楚了。

2008年，作者曾被前輩追問(wèn)：“怎樣理解變分？”作者謹(jǐn)慎地“用一句話”答道：“對(duì)參變量的導(dǎo)數(shù)?！彪m然用了“一句話”，但似乎并沒(méi)有“說(shuō)清楚”。實(shí)際上，這個(gè)說(shuō)法，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)者尚可接受，但對(duì)力學(xué)學(xué)者仍顯費(fèi)解。

如果繼續(xù)追問(wèn)：“什么東西對(duì)參變量的導(dǎo)數(shù)？”作者能給出的答案是“泛函對(duì)參變量的導(dǎo)數(shù)”。這個(gè)答案當(dāng)然不算錯(cuò)，但有局限性。

2 從歷史的天空看經(jīng)典變分概念的整體性

歷史地看，變分似乎是個(gè)整體性概念。

整體和局部及其相互關(guān)系，是哲學(xué)家關(guān)注的問(wèn)題，也是自然科學(xué)家感興趣的問(wèn)題。

早年學(xué)習(xí)彈性力學(xué)，作者深受如下陳述的影響：彈性力學(xué)的基本問(wèn)題有兩種提法，一是微分提法，二是變分提法。后來(lái)，作者自己成了教師和學(xué)者，對(duì)兩種提法有了更深刻的理解：微分提法體現(xiàn)了牛頓和萊布尼茲的局部化數(shù)理分析思想，而變分提法則體現(xiàn)了歐拉和拉格朗日的整體化數(shù)理分析思想。

由此，作者樹(shù)立起了牢固的觀念：微分是局部性概念，變分是整體性概念；

微分被定義在一個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi)，變分被定義在物質(zhì)構(gòu)型空間上；微分提法對(duì)應(yīng)局部化數(shù)理分析之路，變分提法對(duì)應(yīng)整體化數(shù)理分析之路。

從力學(xué)的角度看，上述觀念似乎經(jīng)得起時(shí)間考驗(yàn)。場(chǎng)函數(shù)的微分，涉及空間域上“點(diǎn)的鄰域”內(nèi)場(chǎng)函數(shù)的增量。“點(diǎn)的鄰域”當(dāng)然是局部性概念。彈性力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)微分方程，建立在微單元體上。微單元體是“點(diǎn)的鄰域”的幾何化形態(tài)，自然是局部性概念。

泛函的變分，是定義在物質(zhì)構(gòu)型空間上的泛函的增量。彈性力學(xué)有最小勢(shì)能原理和最小余能原理。兩個(gè)原理分別涉及勢(shì)能泛函的變分和余能泛函的變分。勢(shì)能泛函和余能泛函都表現(xiàn)為物質(zhì)構(gòu)型空間上的積分。物質(zhì)構(gòu)型空間是整體性的概念，泛函自然也是整體性概念。

分析力學(xué)有最小作用量原理。克萊恩在他的名著《古今數(shù)學(xué)思想》中指出：“變分學(xué)的早期工作幾乎不能和微積分區(qū)分開(kāi)來(lái)。但是，隨著變分法的深化，牛頓之后的偉大先驅(qū)們很快意識(shí)到：一個(gè)全新的、具有自己的特征問(wèn)題和方法論的數(shù)學(xué)分支已經(jīng)產(chǎn)生了?！薄斑@個(gè)新學(xué)科，對(duì)于數(shù)學(xué)和科學(xué)來(lái)說(shuō)，其重要性幾乎可以和微分方程相比，它為整個(gè)數(shù)學(xué)物理提供了一個(gè)最重要的原理。”這個(gè)“最重要的原理”，即最小作用量原理。

作用量一般表現(xiàn)為時(shí)間段上的積分。當(dāng)說(shuō)“作用量的變分”時(shí)，研究的是定義在時(shí)間段上的作用量的增量。時(shí)間段是整體性的概念，作用量當(dāng)然也是整體性的概念。

很顯然，先驅(qū)們思考變分學(xué)的角度，著眼于整體。其中的核心概念，是泛函的變分或作用量的變分。

然而，這產(chǎn)生了誤導(dǎo)，使得作者產(chǎn)生了如下誤解：由于變分的作用對(duì)象都是整體性概念，故變分就是個(gè)整體性概念。教學(xué)過(guò)程中，作者有意無(wú)意地將這樣的觀念傳遞給了學(xué)生。

近年來(lái)，隨著研究的深入，作者意識(shí)到，上述觀念限定了教師和學(xué)生的想象力。實(shí)際上，如果研究對(duì)象不是泛函或作用量，而是張量場(chǎng)函數(shù)，那么，著眼點(diǎn)就不應(yīng)該是整體，而應(yīng)該是局部。

3 張量變分的局部性與概念體系對(duì)稱性的破缺

2002年，作者研究生物膜力學(xué)時(shí)，強(qiáng)烈地意識(shí)到，需要清晰地引入一個(gè)概念--曲率張量的變分。

生物膜是軟物質(zhì)，可以將其抽象成柔性曲面。不難想象，柔性曲面幾何形狀的任何漲落，都會(huì)誘導(dǎo)曲率張量的擾動(dòng)。那么，怎樣才能最有效地度量曲率張量的擾動(dòng)量？

當(dāng)時(shí)，作者借鑒彈性力學(xué)，用虛位移概念刻畫柔性曲面的漲落。于是，很自然地，就把曲率張量的擾動(dòng)量視為“曲率張量的變分”。

如何快速計(jì)算曲率張量的變分？作者意識(shí)到，不同于曲率張量的微分，“曲率張量的變分”沒(méi)有現(xiàn)成的計(jì)算模式，故當(dāng)時(shí)只能憑物理直覺(jué)“拼湊”出其計(jì)算式。

數(shù)學(xué)力學(xué)中的概念，一般都有兩個(gè)表達(dá)式，一個(gè)是定義式，另一個(gè)是計(jì)算式。其中，定義式在先，計(jì)算式在后，計(jì)算式源自定義式?！扒蕪埩康淖兎帧弊鳛橐粋€(gè)基本概念，既沒(méi)有計(jì)算式，也沒(méi)有定義式。因?yàn)闆](méi)有定義式，當(dāng)然也就無(wú)法“一句話說(shuō)清楚”其內(nèi)涵和外延。

“曲率張量的變分”，無(wú)定義，難計(jì)算。然而，“曲率張量的微分”，可定義，可計(jì)算。作者發(fā)現(xiàn)，類似的概念上的對(duì)稱性破缺，不是孤立的現(xiàn)象，竟然普遍存在于張量分析中：有一般意義上的“張量微分”概念，但沒(méi)有一般意義上的“張量變分”概念。

作者還發(fā)現(xiàn)，概念上的對(duì)稱性破缺帶來(lái)的直接后果，是理論上的對(duì)稱性破缺：張量微分學(xué)的大廈巍然挺立，但張量變分學(xué)的原野卻一片荒漠。這并不奇怪：基本概念是理論的基石。張量微分學(xué)的大廈奠定在張量微分概念的基礎(chǔ)之上。相反地，缺少了基礎(chǔ)性的張量變分概念，張量變分學(xué)的大廈就無(wú)從談起。

追根溯源，可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)稱性破缺的根本原因，源自局部性概念與整體性概念之間的錯(cuò)配：張量場(chǎng)函數(shù)可以是局部性概念，微分是局部性概念。這樣，“張量場(chǎng)函數(shù)/微分”就是兩個(gè)局部性概念的組合，渾然天成。然而，經(jīng)典的變分“被認(rèn)為”是整體性概念，“張量場(chǎng)函數(shù)/變分”，是局部性概念與整體性概念的疊加，難以匹配。

作者想起智者的忠告：紛繁之處，可嘗試分類；混淆之處，可嘗試定義。顯然，要糾正概念組合的錯(cuò)配，最便捷的方法是塑造出一個(gè)局部性概念--張量場(chǎng)函數(shù)的“局部變分”。這樣，就相當(dāng)于對(duì)籠統(tǒng)的變分概念進(jìn)行了更精細(xì)的分類--整體性變分和局部性變分。當(dāng)然，局部變分概念難以借助經(jīng)驗(yàn)提煉出來(lái)，只能借助理性塑造出來(lái)。

4 張量場(chǎng)函數(shù)的虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)——局部變分概念的邏輯基礎(chǔ)

如何塑造張量場(chǎng)函數(shù)的局部變分概念？作者的作法是“先為局部變分概念尋找一個(gè)邏輯基礎(chǔ)”。2016年，找到了突破口：作者從“虛”字上獲得了靈感。

力學(xué)史上，從“實(shí)”到“虛”的觀念進(jìn)化，對(duì)應(yīng)著重要的思想飛躍。分析力學(xué)和彈性力學(xué)，都涉及一個(gè)十分基本的概念--虛位移。彈性力學(xué)中虛位移的定義很簡(jiǎn)潔：就是運(yùn)動(dòng)許可位移。滿足運(yùn)動(dòng)許可的虛位移有無(wú)窮多，構(gòu)成無(wú)窮集合。而真實(shí)位移只是虛位移的特例，只是無(wú)窮集合中的特殊元素。

分析力學(xué)中，“虛”字照樣引人注目。分析力學(xué)的理論體系，可以被奠定在不同的基本原理基礎(chǔ)之上：拉格朗日方程，被奠定在達(dá)朗貝爾原理的基礎(chǔ)之上；吉布斯阿佩爾方程和凱恩方程，被奠定在高斯原理的基礎(chǔ)之上。從達(dá)朗貝爾原理到拉格朗日方程，虛位移概念發(fā)揮了重要作用。同樣，從高斯原理到吉布斯阿佩爾方程和凱恩方程，虛加速度概念不可或缺。

在速度和加速度之間，還有一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)量--虛速度。虛速度，就是運(yùn)動(dòng)許可速度。歷史上，虛速度概念并沒(méi)有逃過(guò)先驅(qū)們銳利的眼睛。分析力學(xué)中，除了達(dá)朗貝爾原理和高斯原理，還有約旦原理。虛速度是約旦原理中決定性的概念。

注意到，位移，速度，加速度，不論“虛實(shí)”，都是定義在物質(zhì)點(diǎn)上的概念。論及“物質(zhì)點(diǎn)”，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個(gè)概念進(jìn)入了作者的視線--物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。

需要說(shuō)明的是，幾何論中，確有“對(duì)參變量的導(dǎo)數(shù)”概念。如果“參變量”被取為時(shí)間變量，且“對(duì)參變量的導(dǎo)數(shù)”被定義在運(yùn)動(dòng)的物質(zhì)點(diǎn)上，即可得到物質(zhì)導(dǎo)數(shù)[1-2]。

在作者的印象里，物質(zhì)導(dǎo)數(shù)是“實(shí)”的概念，用以刻畫物體“真實(shí)”的運(yùn)動(dòng)。后來(lái)，作者意識(shí)到，這只是先入為主的自我設(shè)限。實(shí)際上，沒(méi)有任何理由認(rèn)為，也沒(méi)有任何權(quán)力規(guī)定，物質(zhì)導(dǎo)數(shù)必須是“實(shí)”的。正如虛位移、虛速度和虛加速度，完全可以自由地引入“虛”物質(zhì)導(dǎo)數(shù)概念。正如虛位移是運(yùn)動(dòng)許可位移，虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)即為運(yùn)動(dòng)許可物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。

虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，可以視為實(shí)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的推廣。反過(guò)來(lái)，實(shí)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，可以視為虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的特例。

從虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)概念出發(fā)，就可以定義局部變分概念。也就是說(shuō)，虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，可以被選定為局部變分概念的邏輯基礎(chǔ)。

一旦涉及到物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，就得關(guān)注物質(zhì)占據(jù)的空間及其運(yùn)動(dòng)的描述方式。

5 物質(zhì)空間及其運(yùn)動(dòng)描述方式

為了簡(jiǎn)化形式，采用平坦空間。至于運(yùn)動(dòng)的描述方式，最基本的有歐拉描述和拉格朗日描述[1]。本文采用拉格朗日描述，是為了簡(jiǎn)化理論的解析結(jié)構(gòu)。簡(jiǎn)化到極致，讀者便可輕松地理解本質(zhì)和思想。

平坦空間拉格朗日描述下，張量場(chǎng)函數(shù)T具有如下函數(shù)形態(tài)

T既是拉格朗日坐標(biāo)xm的函數(shù)，也是時(shí)間參變量t的顯態(tài)函數(shù)。這里的時(shí)間t，是一般參變量的特殊情形。從數(shù)學(xué)的角度看，xm和t都是自變量，地位完全平等，沒(méi)有本質(zhì)的差異。然而，如果從力學(xué)的角度看，xm被賦予了幾何意義和物理意義，t則被賦予了物理意義。此時(shí)，xm是自變量，t是參數(shù)。物理學(xué)和力學(xué)中，被xm刻畫的連續(xù)函數(shù)，大都是“場(chǎng)”函數(shù)。

嵌入在連續(xù)體上的拉格朗日坐標(biāo)xm的集合構(gòu)成了一個(gè)實(shí)數(shù)域，稱之為拉格朗日空間域。連續(xù)體的運(yùn)動(dòng)發(fā)生在某個(gè)時(shí)間段內(nèi)。這個(gè)時(shí)間段也構(gòu)成一個(gè)實(shí)數(shù)域，稱之為拉格朗日時(shí)間域。張量場(chǎng)函數(shù)T(xm，t)在空間域上的變化，引出經(jīng)典微分，在時(shí)間域上的變化，引出局部變分。

拉格朗日描述下，時(shí)間t與坐標(biāo)xm居于同等地位。時(shí)間域與空間域也居于同等地位。時(shí)間t的引入，可以從運(yùn)動(dòng)的角度看變分概念的本質(zhì)。

注意到，作用量中包含了時(shí)間，故似乎是動(dòng)態(tài)概念。而連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的勢(shì)能泛函和余能泛函，似乎都是靜態(tài)的概念。也就是說(shuō)，能量泛函中沒(méi)有引入時(shí)間。當(dāng)然，“沒(méi)有引入時(shí)間”，不等于“沒(méi)有時(shí)間概念”。能量泛函的增量(或變化)是物體運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，而運(yùn)動(dòng)總發(fā)生在某個(gè)時(shí)間段內(nèi)。因此，能量泛函中本來(lái)就有時(shí)間。實(shí)際上，理解了本文之后，讀者就會(huì)意識(shí)到：一旦允許時(shí)間自變量出現(xiàn)在能量泛函中，能量原理就會(huì)容易理解得多。

為便于讀者理解，下面采用比較分析法，同時(shí)展示張量場(chǎng)函數(shù)在空間域上的經(jīng)典微分和時(shí)間域上的局部變分。

6 張量場(chǎng)函數(shù)在空間域上的經(jīng)典微分

研究拉格朗日空間域中的微分，只需保持拉格朗日時(shí)間參變量t不變。固定時(shí)間參變量t，相當(dāng)于令時(shí)間“凝固”或“凍結(jié)”。此時(shí)，看到的是t時(shí)刻靜態(tài)的物質(zhì)空間。令拉格朗日坐標(biāo)xm產(chǎn)生一個(gè)增量Δxm，進(jìn)而求張量場(chǎng)函數(shù)T的增量ΔT

由于拉格朗日坐標(biāo)xm對(duì)應(yīng)于物質(zhì)點(diǎn)，因此，式(2)的含義是物質(zhì)點(diǎn)(xm+Δxm)的張量值與物質(zhì)點(diǎn)xm的張量值之差。

大戰(zhàn)在即，豆腐坊的生意卻比往日更繁忙。假如不是四周槍炮林立，不是當(dāng)街口一堆堆疊得小山似的沙包，還有沙包后伸出來(lái)的輕重機(jī)槍，光看豆腐坊的生意還真和平日里沒(méi)啥兩樣：幾大口鐵鍋一溜排開(kāi)，火頭正旺，入了鍋的豆腐水滋滋冒著泡；幾個(gè)伙計(jì)光著膀子，系著圍裙，正抬著一大桶豆腐水往木格子里倒，只消一會(huì)，點(diǎn)了鹵的豆腐就結(jié)得硬硬邦邦。

固定時(shí)刻t，在xm的鄰域內(nèi)，將T(xm+Δxm，t)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)

這里的泰勒級(jí)數(shù)，是場(chǎng)函數(shù)T(xm+Δxm，t)在拉格朗日空間域上的展開(kāi)形式。于是式(2)重寫為

由式(4)右端的一階項(xiàng)，就可以定義出拉格朗日空間域上張量的微分dT

式(5)可以推廣到任意場(chǎng)函數(shù)。

經(jīng)典偏導(dǎo)數(shù)?T/?xm和經(jīng)典微分dT，是張量微分學(xué)的基礎(chǔ)性概念。這兩個(gè)概念定義之后，張量微分學(xué)的理論體系，就大體上確定了。

7 張量場(chǎng)函數(shù)在時(shí)間域上的局部變分

研究拉格朗日時(shí)間域中的變分，只需保持拉格朗日坐標(biāo)xm不變，令拉格朗日時(shí)間t產(chǎn)生一個(gè)增量Δt，進(jìn)而求張量場(chǎng)函數(shù)的增量ΔT

在t的鄰域內(nèi)，將場(chǎng)函數(shù)T(xm，t+Δt)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)

這里的泰勒級(jí)數(shù)，是場(chǎng)函數(shù)T(xm，t+Δt)在拉格朗日時(shí)間域上的展開(kāi)形式。展開(kāi)過(guò)程中，保持拉格朗日坐標(biāo)xm不變，亦即緊盯運(yùn)動(dòng)的物質(zhì)點(diǎn)不變。根據(jù)拉格朗日描述下物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的定義，式(7)可重寫為

式(8)代入式(6)，可寫出

由式(9)右端的一階項(xiàng)，可以定義出拉格朗日時(shí)間域上張量場(chǎng)函數(shù)的微分dtT

確切地說(shuō)，dtT是張量場(chǎng)函數(shù)T對(duì)時(shí)間t的微分。由于dtT是定義在物質(zhì)點(diǎn)xm上的隨體概念，因此是“物質(zhì)微分”。式(10)顯示，物質(zhì)微分dtT是與物質(zhì)導(dǎo)數(shù)dtT/dt對(duì)應(yīng)的概念，二者之間成正比例關(guān)系，比例系數(shù)為dt。

如果dtT/dt是虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，則dtT就是虛物質(zhì)微分。此時(shí)就將dtT稱為“張量場(chǎng)函數(shù)T的局部變分”。

式(10)中的定義可推廣到任意場(chǎng)函數(shù)。也就是說(shuō)，任意場(chǎng)函數(shù)的局部變分，都可以通過(guò)其虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)來(lái)定義。

虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)dtT/dt和局部變分dtT，是張量變分學(xué)的基礎(chǔ)性概念。這兩個(gè)概念定義之后，張量變分學(xué)的理論體系，就大體上確定了。

8 張量場(chǎng)函數(shù)的經(jīng)典微分與局部變分之間的對(duì)稱性

式(5)包含了兩個(gè)基本概念：拉格朗日空間域上，張量場(chǎng)函數(shù)T的偏導(dǎo)數(shù)?T/?xm和微分dT。式(10)也包含了兩個(gè)基本概念：拉格朗日時(shí)間域上，張量場(chǎng)函數(shù)T的虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)dtT/dt和局部變分dtT。

空間域xm與時(shí)間域t是對(duì)應(yīng)的?？臻g域與時(shí)間域上成對(duì)兒的基本概念，存在“一一對(duì)應(yīng)”的對(duì)稱性

上述對(duì)稱性，既包含表觀形式的對(duì)稱，也包含解析結(jié)構(gòu)的對(duì)稱。畫出如下對(duì)稱示意圖

注意到概念“名稱”的對(duì)稱性：dT是微分，dtT是變分。繼續(xù)類比，?T/?xm是微商，即微分之商；dtT/dt是變商，即變分之商。

至此，“張量的經(jīng)典微分～張量的局部變分”之間的對(duì)稱性，就被建立起來(lái)了。這兩個(gè)概念極具基礎(chǔ)性?；谶@兩個(gè)基礎(chǔ)性的概念，可以發(fā)展出來(lái)更多的概念、思想和理論。于是，一個(gè)有趣的問(wèn)題值得追問(wèn)：兩個(gè)基礎(chǔ)性概念之間對(duì)稱性“基因”，能否穩(wěn)定地被“遺傳”下去？或者說(shuō)，后繼的概念、思想和理論，能否葆有對(duì)稱性？答案是肯定的。

如上所述，基于偏導(dǎo)數(shù)?T/?xm和微分dT，可以發(fā)展張量場(chǎng)函數(shù)的微分學(xué)；基于虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)dtT/dt和局部變分dtT，可以發(fā)展張量場(chǎng)函數(shù)的變分學(xué)?？梢灶A(yù)料，張量變分學(xué)與張量微分學(xué)，也是對(duì)稱的，即

可以肯定，對(duì)于張量微分學(xué)中的表達(dá)式，張量變分學(xué)中都存在與之對(duì)稱的表達(dá)式。

9 拉格朗日基矢量的經(jīng)典微分和局部變分之間的對(duì)稱性

任何成熟的理論都必須具有可計(jì)算性。從哪個(gè)角度審視張量變分學(xué)的可計(jì)算性？為便于參照，仍然從對(duì)稱的角度看問(wèn)題。回顧一下張量微分學(xué)，可知有如下命題：基矢量微分的可計(jì)算性，是張量微分學(xué)可計(jì)算性的基礎(chǔ)。拉格朗日協(xié)變基矢量gi和逆變基矢量gi的函數(shù)形態(tài)為

張量微分學(xué)中，有著名的克里斯托弗爾公式[1-2]

空間域上，克里斯托弗爾公式刻畫了拉格朗日基矢量的空間變化率?；噶康目臻g導(dǎo)數(shù)，仍然是基矢量的組合，組合系數(shù)是Γkim。克里斯托弗爾公式是張量微分學(xué)的重要基礎(chǔ)之一。Γkim被稱為克里斯托弗爾符號(hào)?？死锼雇懈柗?hào)的定義，是克里斯托弗爾對(duì)張量微分學(xué)的偉大貢獻(xiàn)。

基于式(14)，可導(dǎo)出基矢量的經(jīng)典微分

基矢量的空間微分dgi，仍然是基矢量gk的組合，組合系數(shù)是

可以從歷史中獲得借鑒：基矢量局部變分的可計(jì)算性，是張量變分學(xué)可計(jì)算性的基礎(chǔ)。時(shí)間域上，拉格朗日基矢量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)為[1]

式中，vi是速度場(chǎng)矢量v=vigi的拉格朗日逆變分量。式(16)是張量分析學(xué)中的經(jīng)典結(jié)果?；噶康奈镔|(zhì)導(dǎo)數(shù)，仍然是基矢量的組合，組合系數(shù)是速度分量vk的協(xié)變導(dǎo)數(shù)(或速度梯度?v的分量)?ivk。

如果速度場(chǎng)v是“虛”的，則式(16)給出了基矢量的虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。顯然，拉格朗日基矢量的虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，取決于虛速度場(chǎng)的梯度?v。

式(16)與式(14)顯示出對(duì)稱性。與式(14)在張量微分學(xué)中的基礎(chǔ)性地位類似，式(16)是張量變分學(xué)的重要基礎(chǔ)?；谑?16)，可導(dǎo)出基矢量的局部變分

基矢量的局部變分dtgi，仍然是基矢量gk的組合，組合系數(shù)是(?ivk)dt。

一旦確定了虛速度梯度分量?ivk，則張量變分學(xué)中的任何計(jì)算，都可順利地給出確定的“值”。

從式(16)和式(17)中可獲得啟示：如果看到的是實(shí)速度場(chǎng)，那么，式(16)就給出了基矢量的實(shí)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，式(17)就給出了基矢量的“實(shí)”時(shí)間微分。如果看到的是虛速度場(chǎng)，那么，式(16)就給出了基矢量的虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，式(17)就給出了基矢量的“虛”時(shí)間微分(或虛物質(zhì)微分)，亦即局部變分?？傊?，只要速度場(chǎng)有虛實(shí)之分，基矢量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)就有虛實(shí)之分，基矢量的時(shí)間微分就有虛實(shí)之分。而虛的時(shí)間微分，就是局部變分。

式(17)與式(15)之間的對(duì)稱性，清晰可見(jiàn)。

限于論文的篇幅，這里不再繼續(xù)展示張量變分學(xué)與張量微分學(xué)的對(duì)稱性。如果讀者有興趣，可以自己嘗試一下：比照張量微分學(xué)的大廈，一定可以構(gòu)筑出張量變分學(xué)的大廈，且兩座大廈遙相呼應(yīng)，構(gòu)成優(yōu)雅對(duì)稱的建筑群。

10 張量概念中的協(xié)變性思想及其推廣

對(duì)稱性的遺傳進(jìn)程連綿不斷，當(dāng)然也可以持續(xù)追問(wèn)：對(duì)稱的張量微分學(xué)和張量變分學(xué)之后，是否還能塑造出更宏大的對(duì)稱建筑群？

答案是肯定的。但要塑造出新的對(duì)稱建筑群，必須先引入一塊厚重的基石--協(xié)變性思想。理由如下。

標(biāo)題中，出現(xiàn)了張量一詞。實(shí)際上，即使沒(méi)有張量這個(gè)詞，本文照樣言之成理。之所以畫蛇添足地加上這個(gè)詞，是為后續(xù)建筑群的對(duì)稱化做鋪墊。

數(shù)學(xué)力學(xué)的歷史上，張量概念的誕生是件大事。不同于經(jīng)典力學(xué)概念，張量概念中蘊(yùn)涵了一個(gè)既漂亮又深刻的思想--協(xié)變性思想。

1935年，法國(guó)誕生了著名的布爾巴基學(xué)派。該學(xué)派提出了重要的思想觀念--數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在諸種類型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中，最基本的是代數(shù)結(jié)構(gòu)。張量就是普遍存在于物理學(xué)和力學(xué)中的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

作為代數(shù)結(jié)構(gòu)，張量有內(nèi)部子結(jié)構(gòu)，例如，分量和基矢量。子結(jié)構(gòu)滿足特定的協(xié)調(diào)約束性質(zhì)，即“協(xié)變性”，具體表現(xiàn)為兩大基本變換：一是指標(biāo)升降變換，二是坐標(biāo)變換。作者將二者合稱為里奇變換[3-4]。

確切地說(shuō)，協(xié)變性就是張量在里奇變換下的不變性。正是協(xié)變性，保證了張量的坐標(biāo)無(wú)關(guān)性。從這個(gè)意義上講，在物理學(xué)和力學(xué)中，協(xié)變性近乎于客觀性。因此說(shuō)，協(xié)變性思想，不僅漂亮，而且深刻。

從張量代數(shù)學(xué)到張量微分學(xué)的演進(jìn)，是數(shù)學(xué)物理和數(shù)學(xué)力學(xué)史上的大事。但這件大事總被一種不大圓滿的氛圍所籠罩--張量微分的協(xié)變性退化了。喪失了協(xié)變性的張量微分，對(duì)物理學(xué)和力學(xué)不吝一場(chǎng)災(zāi)難。

危難時(shí)刻，意大利的里奇學(xué)派盡顯英雄本色：他們巧妙地引入了漂亮的新概念--張量的協(xié)變微分，從而一舉將不協(xié)變的微分學(xué)，“美化”成了協(xié)變的微分學(xué)。

然而，隨著協(xié)變微分概念的誕生，概念上新的對(duì)稱性破缺出現(xiàn)了。隨著協(xié)變微分學(xué)的出世，理論上新的對(duì)稱性破缺出現(xiàn)了。

本文刻畫了這樣的歷史軌跡：先驅(qū)們定義了張量微分，造成了概念上的對(duì)稱性破缺。而隨著張量變分的定義，概念上的對(duì)稱性破缺得以彌補(bǔ)。先驅(qū)們發(fā)展了張量微分學(xué)，造成了理論上的對(duì)稱性破缺。而隨著張量變分學(xué)的建立，理論上的對(duì)稱性破缺得以修復(fù)。

現(xiàn)在，新的對(duì)稱性破缺引出了新的問(wèn)題：還能重復(fù)上述對(duì)稱化歷史的軌跡嗎？答案是肯定的。對(duì)稱的建筑群將被持續(xù)延拓，規(guī)模更大、更為壯麗的對(duì)稱建筑群將拔地而起。如果讀者想一睹其真容，那就請(qǐng)閱讀后續(xù)文章吧。

11 說(shuō)不盡的對(duì)稱

結(jié)束本文時(shí)，再關(guān)注一下對(duì)稱性。對(duì)稱是自然科學(xué)永恒的主題。歷史上，很多偉大學(xué)者都涉及過(guò)這個(gè)主題，例如，赫爾曼·外爾的《對(duì)稱》。當(dāng)然，作者最喜歡前輩力學(xué)家武際可先生的對(duì)稱性思想。他的文集《動(dòng)腦筋·說(shuō)力學(xué)》[5-6]中，有兩篇文章涉及對(duì)稱，一是“談?wù)剬?duì)稱”，二是“從太極圖說(shuō)起--再談對(duì)稱”。兩篇文章深入淺出，娓娓道來(lái)對(duì)稱思想之精髓，令人大開(kāi)眼界，受益無(wú)窮。

讀者一定會(huì)問(wèn)：“為什么對(duì)稱觀念如此令人著迷？”德國(guó)數(shù)學(xué)家諾特有著名的命題：任何對(duì)稱性，都對(duì)應(yīng)著某種形式的守恒律。物理學(xué)和力學(xué)的歷史已經(jīng)確證了命題的正確性：物理學(xué)和力學(xué)的每一條規(guī)律，都受到某種對(duì)稱性的支配；任何新對(duì)稱性的發(fā)現(xiàn)，都意味著新規(guī)律的誕生；任何對(duì)稱性破缺的出現(xiàn)，都意味著新理論的曙光。諾特的命題極大地消減了探索的盲目性--只要捕捉到對(duì)稱性，就可以順藤摸瓜地找到守恒律。本來(lái)，追尋守恒律，是物理學(xué)和力學(xué)探索者永恒的使命。諾特命題之后，追尋對(duì)稱性，成為物理學(xué)和力學(xué)探索者達(dá)成使命的捷徑。

這也正是作者在本文中的動(dòng)機(jī)之所在：苦心孤詣地塑造經(jīng)典微分與局部變分之間的對(duì)稱性。

12 結(jié)論

結(jié)束本文時(shí)，作者拋出一個(gè)疑問(wèn)：虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)是不可或缺的概念嗎？實(shí)際上，早在2016年，作者就直接從實(shí)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)出發(fā)，引出了局部變分概念。當(dāng)時(shí)，沒(méi)有感到有何不妥之處。從前幾年的探索看，似乎有實(shí)物質(zhì)導(dǎo)數(shù)概念就足夠了。這樣看來(lái)，虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)概念似乎有些多余。引入虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，似乎違反了“奧卡姆剃刀”原則：如非必須，勿加實(shí)體。

后來(lái)，作者否定了“多余”的判斷。作者并不是想通了，而是類比之余，堅(jiān)定了信念：已經(jīng)有實(shí)位移，但從沒(méi)有認(rèn)為，虛位移概念是多余的。已經(jīng)有實(shí)速度，但從沒(méi)有認(rèn)為，虛速度概念是多余的。已經(jīng)有實(shí)加速度，但從沒(méi)有認(rèn)為，虛加速度概念是多余的。

換個(gè)角度看：如果說(shuō)，張量的局部變分是個(gè)不可或缺的概念，那么虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，就是個(gè)必不可少的概念。虛物質(zhì)導(dǎo)數(shù)和局部變分概念的威力，會(huì)在后續(xù)的文章中，充分地展現(xiàn)出來(lái)。

本文只涉及了拉格朗日描述。歐拉描述，照樣可以揭示出對(duì)稱的張量微分學(xué)和張量變分學(xué)。換言之，張量微分學(xué)與張量變分學(xué)之間的對(duì)稱性，是一種客觀實(shí)在，與運(yùn)動(dòng)的描述方式無(wú)關(guān)。不論采用何種運(yùn)動(dòng)描述方式，對(duì)稱性都存在。但限于篇幅，本文不再涉及歐拉描述。

在傳統(tǒng)觀念中，張量分析學(xué)主要是指張量微分學(xué)?，F(xiàn)在，可以更新觀念：張量分析學(xué)包括了兩個(gè)對(duì)稱的理論體系：一個(gè)是張量微分學(xué)，另一個(gè)是張量變分學(xué)。

本文講述了一個(gè)對(duì)稱性故事，后續(xù)文章將講述對(duì)稱性故事的續(xù)集。