殷雅俊

(清華大學航天航空學院工程力學系，北京100084)

本文標題涉及了三個關(guān)鍵詞：虛物質(zhì)導數(shù)、局部變分、張量變分學，其中，虛物質(zhì)導數(shù)和局部變分是似曾相識的詞匯：虛物質(zhì)導數(shù)似乎只是在經(jīng)典物質(zhì)導數(shù)前面加了一個“虛”字；局部變分似乎只是在經(jīng)典變分前面加了一個限定詞“局部”。

讀者也許會有疑問：“為何多此一舉？”“這不是玩弄詞藻嗎？”作者的辯解如下。引入虛物質(zhì)導數(shù)和局部變分概念，是為了實現(xiàn)三個意圖：一是彌補張量分析學概念體系中破缺的對稱性；二是為張量變分學奠定基礎(chǔ)，三是為張量的協(xié)變變分學開辟道路。

限于篇幅，本文主要聚焦于前兩個意圖，即概念體系的對稱性和張量變分學。而張量協(xié)變變分學，則是后續(xù)文章綜述的重點。本文包括如下內(nèi)容：(1)簡要回顧經(jīng)典變分思想，評述其概念上的局限性；(2)拓展經(jīng)典物質(zhì)導數(shù)，引入虛物質(zhì)導數(shù)概念；(3)依托虛物質(zhì)導數(shù)，類比張量微分概念，定義張量局部變分概念，塑造張量變分與張量微分之間的對稱性；(4)類比張量微分學，展示張量變分學，揭示張量變分學與張量微分學之間的對稱性。

1 變分：一個“一句話說不清楚”的概念

大學時代，學習數(shù)學分析。課堂上，老師提出要求：“微分與積分的關(guān)系是什么？請用一句話說清楚。”作者小心翼翼地回答：“逆運算?！崩蠋熖羝鸫竽粗福骸案?，實在是高！用一句話說清楚已經(jīng)相當不易，你竟然用一個詞就說清楚了?！备吲d之余，老師進一步提高標準：“請用一個字說清楚！”受到老師的稱贊，信心大增，脫口回答：“逆！”

當年老師的苛刻要求，產(chǎn)生了持久的影響。從此，作者養(yǎng)成了思維習慣：對重要的概念，一定要理解到這樣的程度--用一句話說清楚其內(nèi)涵和外延。

后來，學習力學中的變分原理。作者突然發(fā)現(xiàn)，如果問：“什么是微分？”一句話能說清楚。如果問：“什么是變分？”一句話竟然說不清楚了。

2008年，作者曾被前輩追問：“怎樣理解變分？”作者謹慎地“用一句話”答道：“對參變量的導數(shù)?！彪m然用了“一句話”，但似乎并沒有“說清楚”。實際上，這個說法，對數(shù)學學者尚可接受，但對力學學者仍顯費解。

如果繼續(xù)追問：“什么東西對參變量的導數(shù)？”作者能給出的答案是“泛函對參變量的導數(shù)”。這個答案當然不算錯，但有局限性。

2 從歷史的天空看經(jīng)典變分概念的整體性

歷史地看，變分似乎是個整體性概念。

整體和局部及其相互關(guān)系，是哲學家關(guān)注的問題，也是自然科學家感興趣的問題。

早年學習彈性力學，作者深受如下陳述的影響：彈性力學的基本問題有兩種提法，一是微分提法，二是變分提法。后來，作者自己成了教師和學者，對兩種提法有了更深刻的理解：微分提法體現(xiàn)了牛頓和萊布尼茲的局部化數(shù)理分析思想，而變分提法則體現(xiàn)了歐拉和拉格朗日的整體化數(shù)理分析思想。

由此，作者樹立起了牢固的觀念：微分是局部性概念，變分是整體性概念；

微分被定義在一個點的鄰域內(nèi)，變分被定義在物質(zhì)構(gòu)型空間上；微分提法對應(yīng)局部化數(shù)理分析之路，變分提法對應(yīng)整體化數(shù)理分析之路。

從力學的角度看，上述觀念似乎經(jīng)得起時間考驗。場函數(shù)的微分，涉及空間域上“點的鄰域”內(nèi)場函數(shù)的增量?！包c的鄰域”當然是局部性概念。彈性力學中的運動微分方程，建立在微單元體上。微單元體是“點的鄰域”的幾何化形態(tài)，自然是局部性概念。

泛函的變分，是定義在物質(zhì)構(gòu)型空間上的泛函的增量。彈性力學有最小勢能原理和最小余能原理。兩個原理分別涉及勢能泛函的變分和余能泛函的變分。勢能泛函和余能泛函都表現(xiàn)為物質(zhì)構(gòu)型空間上的積分。物質(zhì)構(gòu)型空間是整體性的概念，泛函自然也是整體性概念。

分析力學有最小作用量原理?？巳R恩在他的名著《古今數(shù)學思想》中指出：“變分學的早期工作幾乎不能和微積分區(qū)分開來。但是，隨著變分法的深化，牛頓之后的偉大先驅(qū)們很快意識到：一個全新的、具有自己的特征問題和方法論的數(shù)學分支已經(jīng)產(chǎn)生了?！薄斑@個新學科，對于數(shù)學和科學來說，其重要性幾乎可以和微分方程相比，它為整個數(shù)學物理提供了一個最重要的原理?！边@個“最重要的原理”，即最小作用量原理。

作用量一般表現(xiàn)為時間段上的積分。當說“作用量的變分”時，研究的是定義在時間段上的作用量的增量。時間段是整體性的概念，作用量當然也是整體性的概念。

很顯然，先驅(qū)們思考變分學的角度，著眼于整體。其中的核心概念，是泛函的變分或作用量的變分。

然而，這產(chǎn)生了誤導，使得作者產(chǎn)生了如下誤解：由于變分的作用對象都是整體性概念，故變分就是個整體性概念。教學過程中，作者有意無意地將這樣的觀念傳遞給了學生。

近年來，隨著研究的深入，作者意識到，上述觀念限定了教師和學生的想象力。實際上，如果研究對象不是泛函或作用量，而是張量場函數(shù)，那么，著眼點就不應(yīng)該是整體，而應(yīng)該是局部。

3 張量變分的局部性與概念體系對稱性的破缺

2002年，作者研究生物膜力學時，強烈地意識到，需要清晰地引入一個概念--曲率張量的變分。

生物膜是軟物質(zhì)，可以將其抽象成柔性曲面。不難想象，柔性曲面幾何形狀的任何漲落，都會誘導曲率張量的擾動。那么，怎樣才能最有效地度量曲率張量的擾動量？

當時，作者借鑒彈性力學，用虛位移概念刻畫柔性曲面的漲落。于是，很自然地，就把曲率張量的擾動量視為“曲率張量的變分”。

如何快速計算曲率張量的變分？作者意識到，不同于曲率張量的微分，“曲率張量的變分”沒有現(xiàn)成的計算模式，故當時只能憑物理直覺“拼湊”出其計算式。

數(shù)學力學中的概念，一般都有兩個表達式，一個是定義式，另一個是計算式。其中，定義式在先，計算式在后，計算式源自定義式?！扒蕪埩康淖兎帧弊鳛橐粋€基本概念，既沒有計算式，也沒有定義式。因為沒有定義式，當然也就無法“一句話說清楚”其內(nèi)涵和外延。

“曲率張量的變分”，無定義，難計算。然而，“曲率張量的微分”，可定義，可計算。作者發(fā)現(xiàn)，類似的概念上的對稱性破缺，不是孤立的現(xiàn)象，竟然普遍存在于張量分析中：有一般意義上的“張量微分”概念，但沒有一般意義上的“張量變分”概念。

作者還發(fā)現(xiàn)，概念上的對稱性破缺帶來的直接后果，是理論上的對稱性破缺：張量微分學的大廈巍然挺立，但張量變分學的原野卻一片荒漠。這并不奇怪：基本概念是理論的基石。張量微分學的大廈奠定在張量微分概念的基礎(chǔ)之上。相反地，缺少了基礎(chǔ)性的張量變分概念，張量變分學的大廈就無從談起。

追根溯源，可以發(fā)現(xiàn)，對稱性破缺的根本原因，源自局部性概念與整體性概念之間的錯配：張量場函數(shù)可以是局部性概念，微分是局部性概念。這樣，“張量場函數(shù)/微分”就是兩個局部性概念的組合，渾然天成。然而，經(jīng)典的變分“被認為”是整體性概念，“張量場函數(shù)/變分”，是局部性概念與整體性概念的疊加，難以匹配。

作者想起智者的忠告：紛繁之處，可嘗試分類；混淆之處，可嘗試定義。顯然，要糾正概念組合的錯配，最便捷的方法是塑造出一個局部性概念--張量場函數(shù)的“局部變分”。這樣，就相當于對籠統(tǒng)的變分概念進行了更精細的分類--整體性變分和局部性變分。當然，局部變分概念難以借助經(jīng)驗提煉出來，只能借助理性塑造出來。

4 張量場函數(shù)的虛物質(zhì)導數(shù)——局部變分概念的邏輯基礎(chǔ)

如何塑造張量場函數(shù)的局部變分概念？作者的作法是“先為局部變分概念尋找一個邏輯基礎(chǔ)”。2016年，找到了突破口：作者從“虛”字上獲得了靈感。

力學史上，從“實”到“虛”的觀念進化，對應(yīng)著重要的思想飛躍。分析力學和彈性力學，都涉及一個十分基本的概念--虛位移。彈性力學中虛位移的定義很簡潔：就是運動許可位移。滿足運動許可的虛位移有無窮多，構(gòu)成無窮集合。而真實位移只是虛位移的特例，只是無窮集合中的特殊元素。

分析力學中，“虛”字照樣引人注目。分析力學的理論體系，可以被奠定在不同的基本原理基礎(chǔ)之上：拉格朗日方程，被奠定在達朗貝爾原理的基礎(chǔ)之上；吉布斯阿佩爾方程和凱恩方程，被奠定在高斯原理的基礎(chǔ)之上。從達朗貝爾原理到拉格朗日方程，虛位移概念發(fā)揮了重要作用。同樣，從高斯原理到吉布斯阿佩爾方程和凱恩方程，虛加速度概念不可或缺。

在速度和加速度之間，還有一個運動學量--虛速度。虛速度，就是運動許可速度。歷史上，虛速度概念并沒有逃過先驅(qū)們銳利的眼睛。分析力學中，除了達朗貝爾原理和高斯原理，還有約旦原理。虛速度是約旦原理中決定性的概念。

注意到，位移，速度，加速度，不論“虛實”，都是定義在物質(zhì)點上的概念。論及“物質(zhì)點”，連續(xù)介質(zhì)力學的一個概念進入了作者的視線--物質(zhì)導數(shù)。

需要說明的是，幾何論中，確有“對參變量的導數(shù)”概念。如果“參變量”被取為時間變量，且“對參變量的導數(shù)”被定義在運動的物質(zhì)點上，即可得到物質(zhì)導數(shù)[1-2]。

在作者的印象里，物質(zhì)導數(shù)是“實”的概念，用以刻畫物體“真實”的運動。后來，作者意識到，這只是先入為主的自我設(shè)限。實際上，沒有任何理由認為，也沒有任何權(quán)力規(guī)定，物質(zhì)導數(shù)必須是“實”的。正如虛位移、虛速度和虛加速度，完全可以自由地引入“虛”物質(zhì)導數(shù)概念。正如虛位移是運動許可位移，虛物質(zhì)導數(shù)即為運動許可物質(zhì)導數(shù)。

虛物質(zhì)導數(shù)，可以視為實物質(zhì)導數(shù)的推廣。反過來，實物質(zhì)導數(shù)，可以視為虛物質(zhì)導數(shù)的特例。

從虛物質(zhì)導數(shù)概念出發(fā)，就可以定義局部變分概念。也就是說，虛物質(zhì)導數(shù)，可以被選定為局部變分概念的邏輯基礎(chǔ)。

一旦涉及到物質(zhì)導數(shù)，就得關(guān)注物質(zhì)占據(jù)的空間及其運動的描述方式。

5 物質(zhì)空間及其運動描述方式

為了簡化形式，采用平坦空間。至于運動的描述方式，最基本的有歐拉描述和拉格朗日描述[1]。本文采用拉格朗日描述，是為了簡化理論的解析結(jié)構(gòu)。簡化到極致，讀者便可輕松地理解本質(zhì)和思想。

平坦空間拉格朗日描述下，張量場函數(shù)T具有如下函數(shù)形態(tài)

T既是拉格朗日坐標xm的函數(shù)，也是時間參變量t的顯態(tài)函數(shù)。這里的時間t，是一般參變量的特殊情形。從數(shù)學的角度看，xm和t都是自變量，地位完全平等，沒有本質(zhì)的差異。然而，如果從力學的角度看，xm被賦予了幾何意義和物理意義，t則被賦予了物理意義。此時，xm是自變量，t是參數(shù)。物理學和力學中，被xm刻畫的連續(xù)函數(shù)，大都是“場”函數(shù)。

嵌入在連續(xù)體上的拉格朗日坐標xm的集合構(gòu)成了一個實數(shù)域，稱之為拉格朗日空間域。連續(xù)體的運動發(fā)生在某個時間段內(nèi)。這個時間段也構(gòu)成一個實數(shù)域，稱之為拉格朗日時間域。張量場函數(shù)T(xm，t)在空間域上的變化，引出經(jīng)典微分，在時間域上的變化，引出局部變分。

拉格朗日描述下，時間t與坐標xm居于同等地位。時間域與空間域也居于同等地位。時間t的引入，可以從運動的角度看變分概念的本質(zhì)。

注意到，作用量中包含了時間，故似乎是動態(tài)概念。而連續(xù)介質(zhì)力學中的勢能泛函和余能泛函，似乎都是靜態(tài)的概念。也就是說，能量泛函中沒有引入時間。當然，“沒有引入時間”，不等于“沒有時間概念”。能量泛函的增量(或變化)是物體運動的結(jié)果，而運動總發(fā)生在某個時間段內(nèi)。因此，能量泛函中本來就有時間。實際上，理解了本文之后，讀者就會意識到：一旦允許時間自變量出現(xiàn)在能量泛函中，能量原理就會容易理解得多。

為便于讀者理解，下面采用比較分析法，同時展示張量場函數(shù)在空間域上的經(jīng)典微分和時間域上的局部變分。

6 張量場函數(shù)在空間域上的經(jīng)典微分

研究拉格朗日空間域中的微分，只需保持拉格朗日時間參變量t不變。固定時間參變量t，相當于令時間“凝固”或“凍結(jié)”。此時，看到的是t時刻靜態(tài)的物質(zhì)空間。令拉格朗日坐標xm產(chǎn)生一個增量Δxm，進而求張量場函數(shù)T的增量ΔT

由于拉格朗日坐標xm對應(yīng)于物質(zhì)點，因此，式(2)的含義是物質(zhì)點(xm+Δxm)的張量值與物質(zhì)點xm的張量值之差。

大戰(zhàn)在即，豆腐坊的生意卻比往日更繁忙。假如不是四周槍炮林立，不是當街口一堆堆疊得小山似的沙包，還有沙包后伸出來的輕重機槍，光看豆腐坊的生意還真和平日里沒啥兩樣：幾大口鐵鍋一溜排開，火頭正旺，入了鍋的豆腐水滋滋冒著泡；幾個伙計光著膀子，系著圍裙，正抬著一大桶豆腐水往木格子里倒，只消一會，點了鹵的豆腐就結(jié)得硬硬邦邦。

固定時刻t，在xm的鄰域內(nèi)，將T(xm+Δxm，t)展開為泰勒級數(shù)

這里的泰勒級數(shù)，是場函數(shù)T(xm+Δxm，t)在拉格朗日空間域上的展開形式。于是式(2)重寫為

由式(4)右端的一階項，就可以定義出拉格朗日空間域上張量的微分dT

式(5)可以推廣到任意場函數(shù)。

經(jīng)典偏導數(shù)?T/?xm和經(jīng)典微分dT，是張量微分學的基礎(chǔ)性概念。這兩個概念定義之后，張量微分學的理論體系，就大體上確定了。

7 張量場函數(shù)在時間域上的局部變分

研究拉格朗日時間域中的變分，只需保持拉格朗日坐標xm不變，令拉格朗日時間t產(chǎn)生一個增量Δt，進而求張量場函數(shù)的增量ΔT

在t的鄰域內(nèi)，將場函數(shù)T(xm，t+Δt)展開為泰勒級數(shù)

這里的泰勒級數(shù)，是場函數(shù)T(xm，t+Δt)在拉格朗日時間域上的展開形式。展開過程中，保持拉格朗日坐標xm不變，亦即緊盯運動的物質(zhì)點不變。根據(jù)拉格朗日描述下物質(zhì)導數(shù)的定義，式(7)可重寫為

式(8)代入式(6)，可寫出

由式(9)右端的一階項，可以定義出拉格朗日時間域上張量場函數(shù)的微分dtT

確切地說，dtT是張量場函數(shù)T對時間t的微分。由于dtT是定義在物質(zhì)點xm上的隨體概念，因此是“物質(zhì)微分”。式(10)顯示，物質(zhì)微分dtT是與物質(zhì)導數(shù)dtT/dt對應(yīng)的概念，二者之間成正比例關(guān)系，比例系數(shù)為dt。

如果dtT/dt是虛物質(zhì)導數(shù)，則dtT就是虛物質(zhì)微分。此時就將dtT稱為“張量場函數(shù)T的局部變分”。

式(10)中的定義可推廣到任意場函數(shù)。也就是說，任意場函數(shù)的局部變分，都可以通過其虛物質(zhì)導數(shù)來定義。

虛物質(zhì)導數(shù)dtT/dt和局部變分dtT，是張量變分學的基礎(chǔ)性概念。這兩個概念定義之后，張量變分學的理論體系，就大體上確定了。

8 張量場函數(shù)的經(jīng)典微分與局部變分之間的對稱性

式(5)包含了兩個基本概念：拉格朗日空間域上，張量場函數(shù)T的偏導數(shù)?T/?xm和微分dT。式(10)也包含了兩個基本概念：拉格朗日時間域上，張量場函數(shù)T的虛物質(zhì)導數(shù)dtT/dt和局部變分dtT。

空間域xm與時間域t是對應(yīng)的。空間域與時間域上成對兒的基本概念，存在“一一對應(yīng)”的對稱性

上述對稱性，既包含表觀形式的對稱，也包含解析結(jié)構(gòu)的對稱。畫出如下對稱示意圖

注意到概念“名稱”的對稱性：dT是微分，dtT是變分。繼續(xù)類比，?T/?xm是微商，即微分之商；dtT/dt是變商，即變分之商。

至此，“張量的經(jīng)典微分～張量的局部變分”之間的對稱性，就被建立起來了。這兩個概念極具基礎(chǔ)性?；谶@兩個基礎(chǔ)性的概念，可以發(fā)展出來更多的概念、思想和理論。于是，一個有趣的問題值得追問：兩個基礎(chǔ)性概念之間對稱性“基因”，能否穩(wěn)定地被“遺傳”下去？或者說，后繼的概念、思想和理論，能否葆有對稱性？答案是肯定的。

如上所述，基于偏導數(shù)?T/?xm和微分dT，可以發(fā)展張量場函數(shù)的微分學；基于虛物質(zhì)導數(shù)dtT/dt和局部變分dtT，可以發(fā)展張量場函數(shù)的變分學?？梢灶A(yù)料，張量變分學與張量微分學，也是對稱的，即

可以肯定，對于張量微分學中的表達式，張量變分學中都存在與之對稱的表達式。

9 拉格朗日基矢量的經(jīng)典微分和局部變分之間的對稱性

任何成熟的理論都必須具有可計算性。從哪個角度審視張量變分學的可計算性？為便于參照，仍然從對稱的角度看問題?；仡櫼幌聫埩课⒎謱W，可知有如下命題：基矢量微分的可計算性，是張量微分學可計算性的基礎(chǔ)。拉格朗日協(xié)變基矢量gi和逆變基矢量gi的函數(shù)形態(tài)為

張量微分學中，有著名的克里斯托弗爾公式[1-2]

空間域上，克里斯托弗爾公式刻畫了拉格朗日基矢量的空間變化率。基矢量的空間導數(shù)，仍然是基矢量的組合，組合系數(shù)是Γkim?？死锼雇懈柟绞菑埩课⒎謱W的重要基礎(chǔ)之一。Γkim被稱為克里斯托弗爾符號。克里斯托弗爾符號的定義，是克里斯托弗爾對張量微分學的偉大貢獻。

基于式(14)，可導出基矢量的經(jīng)典微分

基矢量的空間微分dgi，仍然是基矢量gk的組合，組合系數(shù)是

可以從歷史中獲得借鑒：基矢量局部變分的可計算性，是張量變分學可計算性的基礎(chǔ)。時間域上，拉格朗日基矢量的物質(zhì)導數(shù)為[1]

式中，vi是速度場矢量v=vigi的拉格朗日逆變分量。式(16)是張量分析學中的經(jīng)典結(jié)果?；噶康奈镔|(zhì)導數(shù)，仍然是基矢量的組合，組合系數(shù)是速度分量vk的協(xié)變導數(shù)(或速度梯度?v的分量)?ivk。

如果速度場v是“虛”的，則式(16)給出了基矢量的虛物質(zhì)導數(shù)。顯然，拉格朗日基矢量的虛物質(zhì)導數(shù)，取決于虛速度場的梯度?v。

式(16)與式(14)顯示出對稱性。與式(14)在張量微分學中的基礎(chǔ)性地位類似，式(16)是張量變分學的重要基礎(chǔ)。基于式(16)，可導出基矢量的局部變分

基矢量的局部變分dtgi，仍然是基矢量gk的組合，組合系數(shù)是(?ivk)dt。

一旦確定了虛速度梯度分量?ivk，則張量變分學中的任何計算，都可順利地給出確定的“值”。

從式(16)和式(17)中可獲得啟示：如果看到的是實速度場，那么，式(16)就給出了基矢量的實物質(zhì)導數(shù)，式(17)就給出了基矢量的“實”時間微分。如果看到的是虛速度場，那么，式(16)就給出了基矢量的虛物質(zhì)導數(shù)，式(17)就給出了基矢量的“虛”時間微分(或虛物質(zhì)微分)，亦即局部變分?？傊?，只要速度場有虛實之分，基矢量的物質(zhì)導數(shù)就有虛實之分，基矢量的時間微分就有虛實之分。而虛的時間微分，就是局部變分。

式(17)與式(15)之間的對稱性，清晰可見。

限于論文的篇幅，這里不再繼續(xù)展示張量變分學與張量微分學的對稱性。如果讀者有興趣，可以自己嘗試一下：比照張量微分學的大廈，一定可以構(gòu)筑出張量變分學的大廈，且兩座大廈遙相呼應(yīng)，構(gòu)成優(yōu)雅對稱的建筑群。

10 張量概念中的協(xié)變性思想及其推廣

對稱性的遺傳進程連綿不斷，當然也可以持續(xù)追問：對稱的張量微分學和張量變分學之后，是否還能塑造出更宏大的對稱建筑群？

答案是肯定的。但要塑造出新的對稱建筑群，必須先引入一塊厚重的基石--協(xié)變性思想。理由如下。

標題中，出現(xiàn)了張量一詞。實際上，即使沒有張量這個詞，本文照樣言之成理。之所以畫蛇添足地加上這個詞，是為后續(xù)建筑群的對稱化做鋪墊。

數(shù)學力學的歷史上，張量概念的誕生是件大事。不同于經(jīng)典力學概念，張量概念中蘊涵了一個既漂亮又深刻的思想--協(xié)變性思想。

1935年，法國誕生了著名的布爾巴基學派。該學派提出了重要的思想觀念--數(shù)學結(jié)構(gòu)。在諸種類型的數(shù)學結(jié)構(gòu)中，最基本的是代數(shù)結(jié)構(gòu)。張量就是普遍存在于物理學和力學中的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

作為代數(shù)結(jié)構(gòu)，張量有內(nèi)部子結(jié)構(gòu)，例如，分量和基矢量。子結(jié)構(gòu)滿足特定的協(xié)調(diào)約束性質(zhì)，即“協(xié)變性”，具體表現(xiàn)為兩大基本變換：一是指標升降變換，二是坐標變換。作者將二者合稱為里奇變換[3-4]。

確切地說，協(xié)變性就是張量在里奇變換下的不變性。正是協(xié)變性，保證了張量的坐標無關(guān)性。從這個意義上講，在物理學和力學中，協(xié)變性近乎于客觀性。因此說，協(xié)變性思想，不僅漂亮，而且深刻。

從張量代數(shù)學到張量微分學的演進，是數(shù)學物理和數(shù)學力學史上的大事。但這件大事總被一種不大圓滿的氛圍所籠罩--張量微分的協(xié)變性退化了。喪失了協(xié)變性的張量微分，對物理學和力學不吝一場災(zāi)難。

危難時刻，意大利的里奇學派盡顯英雄本色：他們巧妙地引入了漂亮的新概念--張量的協(xié)變微分，從而一舉將不協(xié)變的微分學，“美化”成了協(xié)變的微分學。

然而，隨著協(xié)變微分概念的誕生，概念上新的對稱性破缺出現(xiàn)了。隨著協(xié)變微分學的出世，理論上新的對稱性破缺出現(xiàn)了。

本文刻畫了這樣的歷史軌跡：先驅(qū)們定義了張量微分，造成了概念上的對稱性破缺。而隨著張量變分的定義，概念上的對稱性破缺得以彌補。先驅(qū)們發(fā)展了張量微分學，造成了理論上的對稱性破缺。而隨著張量變分學的建立，理論上的對稱性破缺得以修復(fù)。

現(xiàn)在，新的對稱性破缺引出了新的問題：還能重復(fù)上述對稱化歷史的軌跡嗎？答案是肯定的。對稱的建筑群將被持續(xù)延拓，規(guī)模更大、更為壯麗的對稱建筑群將拔地而起。如果讀者想一睹其真容，那就請閱讀后續(xù)文章吧。

11 說不盡的對稱

結(jié)束本文時，再關(guān)注一下對稱性。對稱是自然科學永恒的主題。歷史上，很多偉大學者都涉及過這個主題，例如，赫爾曼·外爾的《對稱》。當然，作者最喜歡前輩力學家武際可先生的對稱性思想。他的文集《動腦筋·說力學》[5-6]中，有兩篇文章涉及對稱，一是“談?wù)剬ΨQ”，二是“從太極圖說起--再談對稱”。兩篇文章深入淺出，娓娓道來對稱思想之精髓，令人大開眼界，受益無窮。

讀者一定會問：“為什么對稱觀念如此令人著迷？”德國數(shù)學家諾特有著名的命題：任何對稱性，都對應(yīng)著某種形式的守恒律。物理學和力學的歷史已經(jīng)確證了命題的正確性：物理學和力學的每一條規(guī)律，都受到某種對稱性的支配；任何新對稱性的發(fā)現(xiàn)，都意味著新規(guī)律的誕生；任何對稱性破缺的出現(xiàn)，都意味著新理論的曙光。諾特的命題極大地消減了探索的盲目性--只要捕捉到對稱性，就可以順藤摸瓜地找到守恒律。本來，追尋守恒律，是物理學和力學探索者永恒的使命。諾特命題之后，追尋對稱性，成為物理學和力學探索者達成使命的捷徑。

這也正是作者在本文中的動機之所在：苦心孤詣地塑造經(jīng)典微分與局部變分之間的對稱性。

12 結(jié)論

結(jié)束本文時，作者拋出一個疑問：虛物質(zhì)導數(shù)是不可或缺的概念嗎？實際上，早在2016年，作者就直接從實物質(zhì)導數(shù)出發(fā)，引出了局部變分概念。當時，沒有感到有何不妥之處。從前幾年的探索看，似乎有實物質(zhì)導數(shù)概念就足夠了。這樣看來，虛物質(zhì)導數(shù)概念似乎有些多余。引入虛物質(zhì)導數(shù)，似乎違反了“奧卡姆剃刀”原則：如非必須，勿加實體。

后來，作者否定了“多余”的判斷。作者并不是想通了，而是類比之余，堅定了信念：已經(jīng)有實位移，但從沒有認為，虛位移概念是多余的。已經(jīng)有實速度，但從沒有認為，虛速度概念是多余的。已經(jīng)有實加速度，但從沒有認為，虛加速度概念是多余的。

換個角度看：如果說，張量的局部變分是個不可或缺的概念，那么虛物質(zhì)導數(shù)，就是個必不可少的概念。虛物質(zhì)導數(shù)和局部變分概念的威力，會在后續(xù)的文章中，充分地展現(xiàn)出來。

本文只涉及了拉格朗日描述。歐拉描述，照樣可以揭示出對稱的張量微分學和張量變分學。換言之，張量微分學與張量變分學之間的對稱性，是一種客觀實在，與運動的描述方式無關(guān)。不論采用何種運動描述方式，對稱性都存在。但限于篇幅，本文不再涉及歐拉描述。

在傳統(tǒng)觀念中，張量分析學主要是指張量微分學?，F(xiàn)在，可以更新觀念：張量分析學包括了兩個對稱的理論體系：一個是張量微分學，另一個是張量變分學。

本文講述了一個對稱性故事，后續(xù)文章將講述對稱性故事的續(xù)集。