董慧 左志 徐澍澤 王瑩 安徽工業(yè)經濟職業(yè)技術學院

一、問題提出

2020年全國大學生數(shù)學建模競賽D題探討了輪廓儀的輪廓線及其各項參數(shù)值的問題，具體要求見全國大學生數(shù)學建模競賽官網(wǎng)。本文探討了工件在水平狀態(tài)下的輪廓線各項參數(shù)值，以及在傾斜一個角度和有一些水平位移下計算工件的傾斜角度、并作水平校正的問題。

二、問題分析

（一）問題1分析

工件1是在水平狀態(tài)下測量的，通過構建平面直角坐標系，可將輪廓線的各參數(shù)值問題轉化為平面幾何問題。利用MATLAB軟件擬合出輪廓線各水平線段、斜線線段方程，結合平面幾何中距離、弧長、半徑等的計算方法可求得。

（二）問題2分析

要求工件1的傾斜角度需先確定其傾斜的位置。工件在空間中傾斜可分解為繞x、y、z軸旋轉。通過比較特殊狀態(tài)在水平、傾斜狀態(tài)下的前后變化，可確定工件1未繞z軸旋轉。然后依次確定各旋轉角度。僅繞y軸旋轉時，旋轉角度為工件與水平面的夾角。僅繞x軸旋轉時，通過輪廓線特殊部分旋轉前后的變化關系構建四棱錐，將旋轉角度轉為四棱錐兩個面間的夾角問題即可求出。水平校正時，只需進行上述過程的逆操作，依次構建水平、垂直方向校正的變換公式即可。

三、模型假設

1.假設每次測量時夾具對工件的夾緊程度一致，不會造成工件變形。

2.假設測量過程中不會出現(xiàn)中途更換探針的情況。

四、模型建立與求解

（一）問題1的建模與求解

1.數(shù)據(jù)預處理

輪廓線有水平線段、斜線、圓弧三種類型，根據(jù)此特點將輪廓線劃分為24段。

2.構建輪廓線各段的函數(shù)關系式

（1）水平線段方程

（2）斜線線段方程

以第2段輪廓線為例，通過MATLAB擬合出斜線線段方程為L1：傾斜角為

3.問題1求解

為方便，記所給的槽口寬度、水平線段長度為Xi，人字形線的高度為Z1。記點

（1）槽口寬度：X1=x4-x1=2.9910，X3=x8-x5=2.2785。

（2）水平線段長度：X2=x5-x4=4.8890，X4=x9-x8=4.7750。

（5）人字形線的高度：Z1=z14-z13=0.9829。

（6）斜線與水平線之間的夾角：

（7）圓弧的半徑、弧長。如第1段圓弧，

圖1

同樣的方法計算出所有的參數(shù)值。

（二）問題2的建模與求解

假設垂直xoz平面的坐標軸為y軸。工件不可能突然發(fā)生沿y軸方向的水平位移，否則圖像會斷開。此外，起點x值變化較小，說明工件沿x軸水平位移影響較小。因而僅考慮傾斜一個角度的變化。

1.傾斜角度的求解

工件1在空間中傾斜，可分解為繞x、y、z軸旋轉。比較附件1的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，左端點z值變大，左右端點z的差值變大，工件繞y軸旋轉了。水平狀態(tài)下，工件的長度傾斜后，視為相等，故工件未發(fā)生水平扭轉。經對比，輪廓線第17段，兩條斜線的夾角變大，則工件繞x軸順時針旋轉。因而，工件僅繞x、y軸旋轉。假設工件旋轉都是按工件中心線繞x、y軸旋轉。

（1）繞y軸旋轉

當圖像僅繞y軸旋轉時，記旋轉角度為α。通過擬合構建出直線 的方程為y=-0.00007x+1.4053，則旋轉角α=arctan0.00007。

（2）繞x軸旋轉

考慮輪廓線第17段，通過此段旋轉前后各段的關系構建出四棱錐（圖2），其中為A、B旋轉后的點，通過平移，頂點重合于點P，旋轉角度即為面

結合旋轉特點可知道，|PA|=|PB|，|PA'|=|PB'|，|AB|=|A'B'|，AB∥A'B'，連接AB、A'B'的中點M、M'，得為兩平面的夾角。

圖2

2.校正模型

工件繞x、y軸旋轉，校正時，只需要進行此過程的逆操作即可。

首先進行水平校正。此過程相當于將工件1中的每個點繞y軸逆時針方向轉動傾斜角度α。設一個點的坐標為水平校正后對應點為構建水平變換模型為

然后進行垂直方向校正。變換公式為