郭一帆， 唐家銀

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 四川 成都 611756)

0 引言

在工程實(shí)際中，產(chǎn)品的性能會隨著其投入工作時間的增長而逐漸下降，當(dāng)性能退化量大于某一閾值時，發(fā)生退化失效(又稱軟失效)，常見的能使產(chǎn)品發(fā)生退化失效的有磨損、腐蝕、裂紋以及材料老化等疲勞載荷；同時，由于外部或者內(nèi)部環(huán)境的不斷變化，產(chǎn)品不可避免地會受到各類型的沖擊作用，如果沖擊幅值超過其所能承受的閾值時，會導(dǎo)致產(chǎn)品的突發(fā)失效(又稱硬失效)，通常材料斷裂、電路短路、器件擊穿等沖擊載荷將導(dǎo)致突發(fā)失效. 實(shí)際工況下，產(chǎn)品發(fā)生退化失效是必然情況，突發(fā)失效則是偶然的，但若兩者同時存在，產(chǎn)品最終的失效則是二者相互競爭所導(dǎo)致的.

關(guān)于產(chǎn)品可靠性的建模，最初僅考慮退化進(jìn)程和外載隨機(jī)沖擊單獨(dú)作用造成失效來分析問題[1-3]，而忽略了兩者之間的競爭關(guān)系.文獻(xiàn)[4-6]中則基于兩者相互獨(dú)立考慮了兩者之間的競爭關(guān)系，而在實(shí)際工況中，退化和沖擊的競爭存在相關(guān)性：Peng等[7]基于沖擊使退化過程產(chǎn)生突增退化量，推導(dǎo)了相關(guān)競爭失效可靠性模型；Wang等[8]考慮沖擊對產(chǎn)品退化過程造成失效率增大和退化量隨機(jī)增加的情形，從而建立了對應(yīng)的競爭失效模型；Su等[9]選取累積沖擊，建立了基于隨機(jī)沖擊使得突發(fā)失效閾值降低的相關(guān)競爭失效模型.由于沖擊對退化失效和突發(fā)失效均有影響，而且沖擊與突發(fā)失效的閾值存在某種聯(lián)系,Jiang等[10]建立了產(chǎn)品的競爭失效可靠性模型，還進(jìn)一步分析了相應(yīng)的維修模型；Rafiee等[11]基于沖擊能加快產(chǎn)品退化速率建立了競爭失效過程，并且分別討論了極端沖擊、δ沖擊、m沖擊以及連續(xù)沖擊下的產(chǎn)品可靠性問題.上述文獻(xiàn)都從單一沖擊與單一退化的角度出發(fā)，通過分析沖擊所產(chǎn)生的不同效應(yīng)，考慮對應(yīng)的競爭失效模型，而對于多部件組成的產(chǎn)品，其退化進(jìn)程和沖擊過程都可能存在諸多類型，因此Feng等[12]針對由多血管支架組成的產(chǎn)品，基于失效物理與失效概率，利用斷裂力學(xué)與隨機(jī)過程的方法，建立了對應(yīng)的可靠性模型，并提出了相應(yīng)的維修辦法；由于多部件產(chǎn)品的每個零部件各自有其自身性能退化過程，同時也都可能會受到?jīng)_擊作用,基于此Song等[13]推導(dǎo)出了多個失效過程下的可靠性模型，并提出了預(yù)防性維修策略.

盡管現(xiàn)有文獻(xiàn)對退化失效與突發(fā)失效二者之間的競爭機(jī)理已做了大量研究，但多數(shù)文獻(xiàn)對沖擊現(xiàn)象都是從沖擊幅值或沖擊作用時間點(diǎn)來進(jìn)行描述，如極值沖擊、累計(jì)沖擊、m沖擊以及連續(xù)沖擊模型都是從沖擊幅值范圍考慮沖擊類型；δ沖擊則是從沖擊作用時間來定義沖擊類型.目前已經(jīng)有文獻(xiàn)指出，當(dāng)沖擊作用于工程實(shí)際中的產(chǎn)品時，會出現(xiàn)沖擊衰減的情況：在做鋼球?qū)炷恋臎_擊試驗(yàn)中，趙文等[14]發(fā)現(xiàn)混凝土試塊的沖擊點(diǎn)處當(dāng)隨機(jī)沖擊作用的瞬間會出現(xiàn)峰值，而后迅速衰減；李應(yīng)剛等[15]通過研究表明周期性層狀管結(jié)構(gòu)由于其帶隙而具有沖擊應(yīng)力波衰減特性；徐景林等[16]研究了泡沫鋁對于爆炸沖擊的衰減作用，并且發(fā)現(xiàn)泡沫鋁的密度會影響沖擊應(yīng)力波的衰減系數(shù),泡沫鋁的密度越小,衰減系數(shù)越大.由此可見，實(shí)際工況下的一些產(chǎn)品在遭到隨機(jī)沖擊作用時，會出現(xiàn)沖擊衰減的情況，因此需要對存在該類現(xiàn)象的產(chǎn)品進(jìn)行可靠性綜合評估分析，從而實(shí)現(xiàn)對沖擊現(xiàn)象描述的補(bǔ)充.

本研究針對某些產(chǎn)品承受衰減型沖擊特征，用Wiener過程擬合產(chǎn)品軟退化進(jìn)程，并選用指數(shù)函數(shù)來描述沖擊衰減過程，構(gòu)建了由沖擊響應(yīng)量與其導(dǎo)致的退化損傷量之間的函數(shù)關(guān)系，從而提出伴有衰減型隨機(jī)沖擊的競爭失效可靠性綜合評估模型，并用極大似然估計(jì)法對軟退化進(jìn)程與沖擊過程的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，用均值估計(jì)沖擊衰減系數(shù)和損傷因子，最后通過案例仿真對模型的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，對比發(fā)現(xiàn)是否考慮沖擊衰減對產(chǎn)品可靠性綜合評估存在顯著影響，進(jìn)而達(dá)到對現(xiàn)有沖擊現(xiàn)象描述進(jìn)行補(bǔ)充的目的，得到更為全面的產(chǎn)品可靠性評估結(jié)果，避免了對產(chǎn)品可靠性的樂觀估計(jì).

1 性能退化過程與沖擊過程的模型描述

1.1 模型假設(shè)與符號說明首先，在建立競爭失效模型的過程中做如下假設(shè)：

1)競爭失效過程為同類型沖擊和單一退化；

2)總退化量包括連續(xù)退化過程與沖擊導(dǎo)致的突增退化，當(dāng)總的退化量達(dá)到退化失效閾值TS時,產(chǎn)品發(fā)生退化失效；當(dāng)沖擊載荷的幅值大于突發(fā)失效閾值TH時,產(chǎn)品發(fā)生突發(fā)失效；

3)性能退化過程為一元Wiener過程，沖擊到達(dá)遵從Poisson過程規(guī)律；

4)按照沖擊的幅值量的大小，分為3類：無損傷沖擊、損傷沖擊和致命沖擊.

由于本文中涉及較多符號，具體說明如下:

表1 符號說明

1.2 性能退化失效過程分析基礎(chǔ)由于產(chǎn)品在退化過程中會受到內(nèi)部材料、外界環(huán)境、應(yīng)力作用等多種隨機(jī)因素的影響，使得退化過程呈現(xiàn)隨機(jī)性和動態(tài)性，因此選取隨機(jī)過程對產(chǎn)品的退化過程進(jìn)行描述與分析更符合實(shí)際情況，常用來描述性能退化的隨機(jī)過程為Gaussian過程、非平穩(wěn)Poisson過程、Wiener過程以及Gamma過程[17-18].本研究以Wiener過程為代表，進(jìn)行綜合可靠性建模，因?yàn)閃iener過程能夠相對快速地估計(jì)出模型的參數(shù)并且常應(yīng)用于由許多微小的損失量所引發(fā)的均勻而平緩的退化過程.如果一元連續(xù)時間隨機(jī)過程{X(t),t≥0}滿足如下的性質(zhì)：1)時刻t到時刻t+Δt之間的增量服從正態(tài)分布；2)對任意兩個不相交的時間區(qū)間[t1,t2],[t3,t4],t1

若產(chǎn)品性能退化過程為隨機(jī)過程，可采用一元Wiener過程來描述，表達(dá)形式如下：

X(t)=μt+σB(t)

(1)

其中，X(t)是t時刻產(chǎn)品性能退化量；μ為漂移參數(shù)，σ為擴(kuò)散參數(shù)；B(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，即B(t)～N(0,t).

要使產(chǎn)品不發(fā)生退化失效的前提條件是產(chǎn)品退化量不超過退化失效閾值TS，產(chǎn)品不發(fā)生退化失效的概率則為：

(2)

2 沖擊衰減型軟硬競爭失效綜合可靠性模型

根據(jù)工程中的實(shí)際情況，將沖擊類型分成3種水平：1)無損傷沖擊：WiTH.在此分類中，無損傷沖擊即是指隨機(jī)沖擊不會使產(chǎn)品損傷；損傷沖擊指導(dǎo)致產(chǎn)品有損傷但僅使產(chǎn)品退化產(chǎn)生突增退化量，而不會使產(chǎn)品喪失功能性；致命沖擊指產(chǎn)品發(fā)生失效.Wi為第i次沖擊的幅值，TH為突發(fā)失效閾值，TH0為沖擊衰減結(jié)束的閾值.

對于具有振動特性的一般機(jī)械類產(chǎn)品，由于產(chǎn)品存在阻力，在受到?jīng)_擊之后，其沖擊幅值便不再是一個固定值，而是一個會隨著時間變化而逐漸衰減的連續(xù)過程.這里假設(shè)由損傷沖擊衰減到TH0的過程服從指數(shù)效應(yīng)，即：

Wi(t)=Wie-β(t-ti)

(3)

其中β為衰減系數(shù)，這里的Wi為損傷沖擊.

圖1 沖擊衰減過程示意圖

由于在實(shí)際工況中的一些產(chǎn)品存在沖擊衰減現(xiàn)象，衰減過程服從式(3)，因此一次損傷沖擊作用時帶來的響應(yīng)量為:

(4)

而當(dāng)損傷沖擊作用次數(shù)為N2(t)次時，響應(yīng)量則為：

(5)

(6)

(7)

損傷沖擊發(fā)生的概率為：

(8)

要保證產(chǎn)品不發(fā)生突發(fā)失效，則產(chǎn)品應(yīng)不受到致命沖擊，即產(chǎn)品受到的沖擊載荷小于突發(fā)失效閾值TH，當(dāng)沖擊作用為N(t)次時，產(chǎn)品不失效的概率為：

(9)

由于沖擊往往具有隨機(jī)性，用Poisson過程對隨機(jī)沖擊進(jìn)行計(jì)數(shù)，若每次沖擊的到達(dá)遵從參數(shù)為λ的齊次Poisson過程，在[0,t]時間內(nèi)，總的沖擊次數(shù)為N(t)，無損傷沖擊、損傷沖擊、致命沖擊的次數(shù)分別為N1(t)，N2(t)，N3(t)，則t時刻沖擊發(fā)生次數(shù)的概率為:

(10)

由于沖擊載荷的到達(dá)率為λ，無損傷沖擊、損傷沖擊、致命沖擊出現(xiàn)的到達(dá)率分別為λ·p1，λ·p2，λ·p3，因此出現(xiàn)次數(shù)的概率為：

(11)

當(dāng)退化過程和沖擊過程同時存在的時候，產(chǎn)品總退化量是由性能退化產(chǎn)生的退化量與沖擊產(chǎn)生的損傷量兩者組成，因此沖擊退化過程中的總退化量可以表示為：

XS(t)=X(t)+Y(t)

(12)

其中，X(t)表示產(chǎn)品的自然老化過程的退化量，Y(t)是累積沖擊損傷量，XS(t)則表示產(chǎn)品處于沖擊載荷的作用下的總退化量.在任意時刻t，產(chǎn)品的可靠度函數(shù)為:

(13)

由于產(chǎn)品在自身平穩(wěn)退化過程中隨機(jī)沖擊可能會出現(xiàn)，也可能不會出現(xiàn)，因此需要分情況進(jìn)行討論：

1)若在時刻t，產(chǎn)品不受到?jīng)_擊作用，即產(chǎn)品僅發(fā)生自身的退化，要使產(chǎn)品不發(fā)生失效，則只需要產(chǎn)品的退化量小于退化失效閾值，此時可靠度函數(shù)的表達(dá)式為：

R1(t)=R(t|N(t)=0)·P(N(t)=0)=

P(X(t)

(14)

2)若產(chǎn)品截止到t時刻有沖擊出現(xiàn)，若要使產(chǎn)品不發(fā)生失效，需滿足的條件是每一次沖擊幅值都不會超過產(chǎn)品的突發(fā)失效閾值，退化總量不超過退化失效閾值，若使產(chǎn)品不發(fā)生突發(fā)失效，則需每次沖擊載荷均不超過突發(fā)失效閾值．分別考察無損傷沖擊、損傷沖擊、致命沖擊對產(chǎn)品產(chǎn)生的影響.此時可靠度函數(shù)的表達(dá)式則為：

P(N1(t)=n)·P(N2(t)=0)·P(N3(t)=0)+

P(N1(t)=n-i)·P(N2(t)=i)·P(N3(t)=0)

(15)

上式可最終寫為：

(16)

因此產(chǎn)品的可靠度函數(shù)最終為：

R(t)=R1(t)+R2(t)

(17)

3 沖擊衰減型軟硬競爭失效模型中的參數(shù)估計(jì)

在上述模型中，涉及到的參數(shù)包括：1)產(chǎn)品自身平穩(wěn)退化過程中的漂移和擴(kuò)散參數(shù)μ,σ;2)沖擊過程中的到達(dá)率λ,沖擊幅值參數(shù)μW,σW，沖擊衰減系數(shù)β，沖擊響應(yīng)量與沖擊損傷量之間的損傷因子a.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對參數(shù)進(jìn)行估計(jì)：

首先，根據(jù)無沖擊載荷試驗(yàn)下的性能退化數(shù)據(jù)對退化過程漂移參數(shù)μ與擴(kuò)散參數(shù)進(jìn)行估計(jì).若假設(shè)退化試驗(yàn)中的樣本容量為M，每間隔Δt時間對產(chǎn)品性能參數(shù)進(jìn)行一次測試，共測試N次，根據(jù)Wiener過程的特性可知，第k個樣本第q次測量值的概率密度函數(shù)即為：

(18)

則試驗(yàn)樣本的極大似然函數(shù)為：

(19)

(20)

(21)

(22)

試驗(yàn)樣本的極大似然函數(shù)則為：

(23)

(24)

(25)

(26)

為估計(jì)沖擊到達(dá)率λ，首先給出一個引理.

引理[20]如果N(t)為一個到達(dá)率λ的泊松過程，設(shè)Tn為第n-1次出現(xiàn)A事件和第n次出現(xiàn)A事件的時間間隔，則Tn(n=1,2,3,…)具有獨(dú)立的同分布的概率密度fTn(t)=λe-λt，E{Tn}=1/λ.

(27)

對似然函數(shù)關(guān)于λ求導(dǎo)并且令導(dǎo)數(shù)等于0，得到λ的參數(shù)估計(jì)為：

(28)

(29)

沖擊衰減系數(shù)β的估計(jì)則為：

(30)

(31)

4 仿真算例

為驗(yàn)證本文中提出的模型的有效性，對自然退化過程，選取某產(chǎn)品的疲勞裂紋數(shù)據(jù)，觀測時間間隔Δt=1×104h，總觀測時間t=1.2×105h，見表2[19].這里假定每個試驗(yàn)樣本的初始裂紋為0.90 cm，其性能退化的閾值為TS=2.20 cm.

根據(jù)表2中各個測量時刻的性能退化數(shù)據(jù)，計(jì)算得到各個時間段的性能退化增量，利用Weiner過程對其進(jìn)行擬合，并用極大似然估計(jì)法計(jì)算其參數(shù)，得到內(nèi)部退化過程的表達(dá)式：

X(t)～N(μt,σ2t)=N(4.91×10-6t,7.87×10-8t).

表2 疲勞裂紋增長數(shù)據(jù)

在總觀測時間t=1.2×105h內(nèi)監(jiān)測到樣本受到的沖擊具體情況見表3，其突發(fā)失效閾值TH=1.0，沖擊衰減閾值TH0=0.2.而樣本在t=1.2×105h內(nèi)受到?jīng)_擊載荷作用下最終疲勞裂紋數(shù)據(jù)見表4.

由于樣本所受沖擊為同種類型，用正態(tài)分布擬合監(jiān)測到的各個樣本的沖擊幅值數(shù)據(jù)，利用極大似然估計(jì)法計(jì)算相關(guān)參數(shù)，得到：

表3 沖擊衰減時間與幅值數(shù)據(jù)

表4 隨機(jī)沖擊下的疲勞裂紋數(shù)據(jù)

圖2 考慮沖擊衰減與否的產(chǎn)品可靠度曲線圖

由圖2可知考慮衰減型沖擊與否對產(chǎn)品可靠度確有影響，在運(yùn)行前期，可靠度曲線幾乎重合，這是由于在前期受到的隨機(jī)沖擊次數(shù)較少，產(chǎn)品裂紋增長主要是其自身平穩(wěn)退化；而當(dāng)產(chǎn)品運(yùn)行到壽命中后期時，可靠度曲線發(fā)生顯著變化，這是由于產(chǎn)品運(yùn)行到工作的中后期階段，累計(jì)沖擊次數(shù)增多，由沖擊衰減帶來的累計(jì)損傷量也增多，性能惡化愈發(fā)嚴(yán)重使得其更易發(fā)生失效.從可靠度曲線的總體趨勢來看，考慮沖擊衰減情況時的可靠度比不考慮時的可靠度要低，這與客觀實(shí)際情況是一致的.

為檢驗(yàn)所建競爭失效可靠度評估模型的靈敏度，因此改變沖擊到達(dá)率λ與退化失效閾值TS的取值，得到對應(yīng)可靠度曲線圖分別為圖3和圖4.從圖3可以看出，產(chǎn)品的可靠度曲線隨著沖擊到達(dá)率的增加而下降，這是由于沖擊到達(dá)率的增大，意味著在相同運(yùn)行時間內(nèi)沖擊出現(xiàn)的次數(shù)增多，沖擊帶來的累計(jì)損傷量也就越多，產(chǎn)品總退化量也隨之增加，從而計(jì)算得到的可靠度就會減??；而由圖4可知，在產(chǎn)品投入使用的初期，可靠度重合，而隨著運(yùn)行時間的增加，實(shí)際工況下的產(chǎn)品性能的不斷惡化會使得其退化失效閾值下降，當(dāng)產(chǎn)品處于運(yùn)行的中后期后其可靠度曲線下移，這說明在工程上需要盡可能地通過技術(shù)手段來提高產(chǎn)品的退化失效閾值，進(jìn)而提升產(chǎn)品可靠度.

圖3 不同λ下的產(chǎn)品可靠度曲線圖

圖4 不同TS下的產(chǎn)品可靠度曲線圖

5 結(jié)論

針對競爭失效模型連續(xù)性退化過程中的某些產(chǎn)品存在沖擊衰減現(xiàn)象問題，為補(bǔ)充對現(xiàn)有沖擊現(xiàn)象的描述，得到更為全面的評估結(jié)果，避免對產(chǎn)品可靠性的樂觀估計(jì)，提出了基于衰減型隨機(jī)沖擊模型的競爭失效可靠性綜合評估模型.

1)以Wiener過程擬合產(chǎn)品性能退化進(jìn)程，利用指數(shù)函數(shù)對沖擊衰減過程進(jìn)行刻畫，考慮了沖擊響應(yīng)量與沖擊損傷量之間的函數(shù)關(guān)系；

2)采用極大似然估計(jì)法對性能退化過程與沖擊過程的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，采用均值估計(jì)對沖擊衰減系數(shù)與損傷因子進(jìn)行估計(jì)；

3)通過選用某產(chǎn)品的疲勞裂紋數(shù)據(jù)進(jìn)行算例仿真，驗(yàn)證了該模型的有效性，說明該模型具有一定的工程應(yīng)用和推廣價值.

本研究在競爭失效的可靠性建模中，假設(shè)產(chǎn)品僅存在一個退化進(jìn)程，其所承受的沖擊類型相同且沖擊幅值服從正態(tài)分布.因此，如何建立適用范圍廣，適合各類產(chǎn)品的競爭失效可靠性模型，是下一步值得探索與研究的方向.