陳麗寧, 神和龍

(1.廣州航海學(xué)院 海運(yùn)學(xué)院， 廣州 510725； 2.大連海事大學(xué) 航海仿真與控制交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 遼寧 大連 116026)

運(yùn)動中的船舶由于流過船體的水流速度增加，作用于船體的壓力減小，造成船舶下沉并伴有縱傾。[1]船舶下沉?xí)p少船舶安全富余水深、降低船舶操縱性，可能造成船舶觸底、擱淺。船舶駕駛員、引航員、海事監(jiān)管人員、船舶設(shè)計(jì)人員和航道設(shè)計(jì)人員等[2]通常使用船舶下沉量經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算船舶下沉量，其使用不當(dāng)可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果誤差較大。HUUSKA/GULIEV公式是一種適用于計(jì)算天然水深航道、挖槽式航道和運(yùn)河式航道船舶下沉量的經(jīng)驗(yàn)公式，國際航運(yùn)協(xié)會(World Association for Waterborne Transport Infrastructure, PIANC)和芬蘭交通設(shè)施局(Finnish Transport Infrastructure Agency, FTIA)均推薦在航海實(shí)踐、通航安全評估和航道設(shè)計(jì)中使用該公式。

TUCK[3]采用細(xì)長體理論計(jì)算靜水中航行船舶的下沉量，并給出船舶下沉量經(jīng)驗(yàn)公式，即TUCK公式,其有復(fù)雜的積分項(xiàng)，給使用帶來不便。HUUSKA[4]和GULIEV[5]將Tuck公式與試驗(yàn)觀測數(shù)據(jù)結(jié)合，提出HUUSKA/GULIEV公式，其包含挖槽式航道修正系數(shù)，但HUUSKA和GULIEV僅給出該系數(shù)的曲線，卻未給出該系數(shù)的函數(shù)。PIANC[6-7]參考該曲線給出該系數(shù)的35個離散值。BRIGGS[8]對這些離散值進(jìn)行回歸分析，給出5個挖槽水深和航道水深比值(簡稱水深比)的船舶下沉量回歸模型。FTIA[9-10]將該系數(shù)函數(shù)的定義域分為5個子域，在每個子域中使用相應(yīng)的Briggs回歸模型，當(dāng)船速較低、弗勞德數(shù)較小時，用細(xì)長體理論計(jì)算船舶下沉量較準(zhǔn)確。[2,11,12]HUUSKA/GULIEV公式來源于細(xì)長體理論，其計(jì)算結(jié)果應(yīng)與細(xì)長體理論數(shù)值的計(jì)算結(jié)果接近。比較發(fā)現(xiàn):使用FTIA模型可能導(dǎo)致HUUSKA/GULIEV公式挖槽式航道下沉量計(jì)算結(jié)果與細(xì)長體理論數(shù)值計(jì)算結(jié)果相差較大。有些研究雖使用HUUSKA/GULIEV公式，但并未明確給出挖槽式航道修正系數(shù)的計(jì)算方法。

針對上述問題，本文對HUUSKA/GULIEV公式挖槽式航道修正系數(shù)進(jìn)行回歸分析，提出該系數(shù)的連續(xù)回歸模型。首先以阻塞系數(shù)、水深比為坐標(biāo)的非均勻網(wǎng)格變換為均勻網(wǎng)格，在均勻網(wǎng)格下進(jìn)行回歸分析，估計(jì)回歸參數(shù)并檢驗(yàn)其顯著性，根據(jù)顯著性檢驗(yàn)結(jié)果對回歸模型進(jìn)行改進(jìn)，剔除線性相關(guān)性較弱的回歸變量。對改進(jìn)后的回歸模型進(jìn)行適用性檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)殘差不服從正態(tài)分布，該模型具有不適用性，需進(jìn)行方差穩(wěn)定化變換。經(jīng)方差穩(wěn)定化變換后的模型的殘差服從正態(tài)分布，模型的不適用性得到修正。本文模型的計(jì)算結(jié)果比FTIA模型的計(jì)算結(jié)果更接近于細(xì)長體理論數(shù)值的計(jì)算結(jié)果，精度更高，驗(yàn)證該模型的有效性。本文模型比細(xì)長體理論數(shù)值計(jì)算更簡捷并便于在工程領(lǐng)域中應(yīng)用。

1 問題的提出

1.1 HUUSKA/GULIEV公式

HUUSKA/GULIEV公式可用于計(jì)算天然水深航道、挖槽式航道和運(yùn)河式航道的船舶下沉量。HUUSKA/GULIEV公式為

(1)

(2)

式(2)中：s1為無量綱修正阻塞系數(shù)。對于挖槽式航道

s1=S/K1

(3)

式(3)中：K1為挖槽式航道修正系數(shù)，無量綱；S為阻塞系數(shù)，其計(jì)算為

(4)

式(4)中：W為航道底寬；n為航道邊坡坡度倒數(shù)。HUUSKA[5]和GULIEV[6]給出K1的曲線圖，但未給出K1的函數(shù)。PIANC[7-8]參考該曲線圖給出K1的35個離散值，見表1。表1中hT為挖槽式航道的挖槽深度。由表1可知:當(dāng)0.00≤S≤0.03，K1≡1.00，K1值不受S和hT/h的影響；當(dāng)0.03

表1 K1的離散值

1.2 K1的計(jì)算模型-Briggs回歸模型和FTIA模型

文獻(xiàn)[8]對K1進(jìn)行回歸分析，認(rèn)為當(dāng)hT/h為定值時，K1為

(5)

1) 僅給出5個hT/h值K1的回歸模型，實(shí)際應(yīng)用中可能需要計(jì)算其他hT/h值的K1。

2) 文獻(xiàn)[8]使用最小二乘法估計(jì)回歸參數(shù)，但既未給出顯著性檢驗(yàn)結(jié)果和模型適用性檢驗(yàn)結(jié)果，也未提及擬合結(jié)果是否滿足最小二乘法的基本假設(shè)、模型的穩(wěn)定性和精度。

表2 Briggs回歸模型的R2和的值

FTIA[10]和GOURLAY[11]將K1函數(shù)的定義域分割為5個子域，在每個子域中使用相應(yīng)的Briggs回歸模型。FTIA模型子域與Briggs回歸模型關(guān)系圖見圖1，F(xiàn)TIA模型在每個子域內(nèi)連續(xù)，相鄰子域交界處間斷，即FTIA模型分段連續(xù)。

圖1 FTIA模型子域與Briggs回歸模型關(guān)系圖

1.3 FTIA模型與細(xì)長體理論數(shù)值計(jì)算結(jié)果的比較

為驗(yàn)證FTIA模型的精度，需將該模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較。研究人員為研究淺水航行船舶的下沉量進(jìn)行一系列試驗(yàn)，包括水池試驗(yàn)、實(shí)船試驗(yàn)和數(shù)值試驗(yàn)。目前，水池試驗(yàn)對運(yùn)河式航道開展較多，對挖槽式航道開展較少。MOCTAR等[11]給出挖槽式航道水池試驗(yàn)數(shù)據(jù)，但試驗(yàn)的水深Fr超出HUUSKA/GULIEV公式適用范圍，試驗(yàn)結(jié)果不適合作為比較對象。GOURLAY[12]開發(fā)的Shallowflow軟件實(shí)現(xiàn)細(xì)長體理論數(shù)值計(jì)算，并進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)，其條件也符合HUUSKA/GULIEV公式的要求，因此，選擇GOURLAY的數(shù)值計(jì)算結(jié)果作為比較對象。

數(shù)值試驗(yàn)所用船體為S1704B散貨船，該船體有球鼻艏，Lpp=174.0 m，B=32.2 m，T=12.0 m，CB=0.801，U=10.0 kn。令h=14.0 m，n=4.0，挖槽式航道參數(shù)和數(shù)值計(jì)算結(jié)果見表3。由表3可知:當(dāng)hT/h較小時，文獻(xiàn)[12]數(shù)值計(jì)算結(jié)果與FTIA模型計(jì)算結(jié)果相差較小，F(xiàn)TIA模型精度較高；當(dāng)hT/h較大時，文獻(xiàn)[12]數(shù)值計(jì)算結(jié)果與FTIA模型計(jì)算結(jié)果相差較大，F(xiàn)TIA模型精度較低。FTIA模型用某一特定hT/h值的Briggs回歸模型表征該hT/h值所在子域的回歸模型，這導(dǎo)致在hT/h較大時計(jì)算不準(zhǔn)確，誤差較大。要解決該問題，需要運(yùn)用新的回歸模型，該模型應(yīng)連續(xù)，經(jīng)過顯著性檢驗(yàn)、模型適用性檢驗(yàn)表明模型的精度較高，計(jì)算結(jié)果與細(xì)長體理論數(shù)值計(jì)算接近。

表3 挖槽式航道參數(shù)和數(shù)值計(jì)算結(jié)果

2 連續(xù)回歸模型表達(dá)式形式的確定

由表1可知:當(dāng)0.03≤ΔS≤0.25、0.2≤hT/h≤1.0時，Δ(hT/h)≡0.2，ΔS為非定值，坐標(biāo)(hT/h,S)的網(wǎng)格為非均勻網(wǎng)格。為便于計(jì)算，可考慮將非均勻網(wǎng)格變換為均勻網(wǎng)格。為此，引入變量ξ、η，有

ξ=hT/h,有

(6)

式(6)中：Δξ≡0.20，Δη≡0.05，坐標(biāo)(ξ,η)的網(wǎng)格為均勻網(wǎng)格。均勻網(wǎng)格既便于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)，也便于使用回歸分析、有限差分和牛頓差值等數(shù)學(xué)方法。將K1的回歸模型表達(dá)式寫為連續(xù)形式

(7)

需要注意的是不應(yīng)使n、m過大，避免表達(dá)式的階數(shù)過高。由式(5)可得，當(dāng)n=3時，下一步需要確定m的取值。由式(7)可得，當(dāng)η為定值時，K1的回歸模型為

(8)

繪制η為定值、ξ為變量的散點(diǎn)圖見圖2，由圖2可知:當(dāng)η為定值時，K1與ξ近似線性相關(guān)，則令m=1，用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并對模型進(jìn)行回歸顯著性檢驗(yàn)，以驗(yàn)證K1和ξ是否存在強(qiáng)線性相關(guān)關(guān)系?；貧w顯著性檢驗(yàn)為

H0:β1=0,H1:β1≠0

(9)

檢驗(yàn)所用統(tǒng)計(jì)量為

(10)

圖2 η為定值的散點(diǎn)圖和回歸直線圖

表4 η為定值的和|t0|

K1=Xβ

(11)

式(11)中：

(12)

(13)

多元回歸相關(guān)系數(shù)為

(14)

一般而言，向一個模型中增加一個回歸變量時，無論這一變量的貢獻(xiàn)值如何，R2不會下降。因此，多元回歸中通常采用調(diào)整后的相關(guān)系數(shù)RAdj

(15)

(16)

檢驗(yàn)βij，多元回歸顯著性假設(shè)為

H0:βij=0,H1:βij≠0

(17)

如果不能拒絕H0，則表明ηiξj線性相關(guān)性不強(qiáng)，βij=0。檢驗(yàn)所用的統(tǒng)計(jì)量為

(18)

表和tij的值

K1=β00+β20η2+β30η3+β21η2ξ+

β31η3ξ+ε

(19)

表6 剔除線性相關(guān)性不強(qiáng)回歸變量后的和tij的值

3 模型適用性檢驗(yàn)及不適用性的修正

顯著性檢驗(yàn)可檢驗(yàn)響應(yīng)變量與回歸變量之間的線性相關(guān)性，但不能檢驗(yàn)誤差是否符合正態(tài)分布和回歸模型擬合的優(yōu)劣。誤差符合正態(tài)分布是回歸分析的假設(shè)之一，如果模型嚴(yán)重違背回歸分析的假設(shè)，則模型不穩(wěn)定。要檢驗(yàn)誤差是否符合正態(tài)分布和模型擬合的優(yōu)劣，需進(jìn)行模型適用性檢驗(yàn)。如果模型適用性檢驗(yàn)沒有通過，還需修正模型的不適用性。

3.1 模型適用性檢驗(yàn)

用W檢驗(yàn)來檢驗(yàn)假設(shè)H0的步驟如下

1) 將ei按升序排序e[1]≤e[2]≤，…，≤e[nsp]。

2) 計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(20)

用正態(tài)概率圖尋找模型不適用性的修正方法。外部化學(xué)生殘差為

(21)

(22)

計(jì)算eti值，按升序排序et[1]≤et[2]≤，…，≤et[nsp]，進(jìn)而計(jì)算et[i]的累積概率Pi，繪制正態(tài)概率圖見圖3。由圖3可知:累積概率為重尾分布，誤差的方差不是常數(shù)，可采用方差穩(wěn)定化變換來修正模型的不適用性。[18]

圖3 正態(tài)概率圖

3.2 模型不適用性的修正-方差穩(wěn)定化變換

(23)

表和tij的值

4 計(jì)算結(jié)果比較

本文提出的回歸模型可計(jì)算船舶下沉量，船舶、航道參數(shù)與表3一致，計(jì)算結(jié)果見表8。當(dāng)hT=10.0 m、h=14.0 m時，F(xiàn)TIA模型計(jì)算結(jié)果與細(xì)長體理論數(shù)值計(jì)算結(jié)果差別較大。W=100.0 m、150.0 m和200.0 m，F(xiàn)TIA模型的相對誤分別為48.94%、43.54%和39.00%，本文模型的相對誤差分別為1.35%、0.00%和1.76%，明顯小于FTIA模型。當(dāng)hT=6.0 m和h=14.0 m時，雖然FTIA模型計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[12]的計(jì)算結(jié)果較接近，但本文模型的相對誤差更小。顯然，與FTIA模型相比，本文模型計(jì)算結(jié)果更接近文獻(xiàn)[12]的計(jì)算結(jié)果，精度更高。

表8 挖槽式航道參數(shù)和本文模型計(jì)算結(jié)果

5 結(jié)束語

HUUSKA/GULIEV公式是基于細(xì)長體理論提出的船舶下沉量經(jīng)驗(yàn)公式，包含挖槽式航道修正系數(shù)。FTIA給出挖槽式航道修正系數(shù)的分段連續(xù)模型，但FTIA模型計(jì)算的挖槽式航道船舶下沉量與細(xì)長體理論數(shù)值計(jì)算的船舶下沉量差別較大。針對這一問題，對HUUSKA/GULIEV公式挖槽式航道修正系數(shù)進(jìn)行回歸分析，給出該系數(shù)的連續(xù)回歸模型。用最小二乘法估計(jì)模型的回歸系數(shù)，檢驗(yàn)回歸系數(shù)顯著性，根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果確定回歸模型表達(dá)式的形式。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行模型適用性檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)模型的殘差不符合正態(tài)分布，模型存在不適用性，需進(jìn)行方差穩(wěn)定化變換。方差穩(wěn)定化變換后模型的不適用性得以修正，模型擬合度良好，與FTIA模型相比，本文模型計(jì)算結(jié)果更接近于細(xì)長體理論數(shù)值計(jì)算結(jié)果，精度更高；本文模型形式簡單，計(jì)算量比細(xì)長體理論數(shù)值計(jì)算更小，易于工程應(yīng)用。