陳麗寧, 神和龍
(1.廣州航海學(xué)院 海運(yùn)學(xué)院, 廣州 510725; 2.大連海事大學(xué) 航海仿真與控制交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 大連 116026)
運(yùn)動中的船舶由于流過船體的水流速度增加,作用于船體的壓力減小,造成船舶下沉并伴有縱傾。[1]船舶下沉?xí)p少船舶安全富余水深、降低船舶操縱性,可能造成船舶觸底、擱淺。船舶駕駛員、引航員、海事監(jiān)管人員、船舶設(shè)計(jì)人員和航道設(shè)計(jì)人員等[2]通常使用船舶下沉量經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算船舶下沉量,其使用不當(dāng)可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果誤差較大。HUUSKA/GULIEV公式是一種適用于計(jì)算天然水深航道、挖槽式航道和運(yùn)河式航道船舶下沉量的經(jīng)驗(yàn)公式,國際航運(yùn)協(xié)會(World Association for Waterborne Transport Infrastructure, PIANC)和芬蘭交通設(shè)施局(Finnish Transport Infrastructure Agency, FTIA)均推薦在航海實(shí)踐、通航安全評估和航道設(shè)計(jì)中使用該公式。
TUCK[3]采用細(xì)長體理論計(jì)算靜水中航行船舶的下沉量,并給出船舶下沉量經(jīng)驗(yàn)公式,即TUCK公式,其有復(fù)雜的積分項(xiàng),給使用帶來不便。HUUSKA[4]和GULIEV[5]將Tuck公式與試驗(yàn)觀測數(shù)據(jù)結(jié)合,提出HUUSKA/GULIEV公式,其包含挖槽式航道修正系數(shù),但HUUSKA和GULIEV僅給出該系數(shù)的曲線,卻未給出該系數(shù)的函數(shù)。PIANC[6-7]參考該曲線給出該系數(shù)的35個離散值。BRIGGS[8]對這些離散值進(jìn)行回歸分析,給出5個挖槽水深和航道水深比值(簡稱水深比)的船舶下沉量回歸模型。FTIA[9-10]將該系數(shù)函數(shù)的定義域分為5個子域,在每個子域中使用相應(yīng)的Briggs回歸模型,當(dāng)船速較低、弗勞德數(shù)較小時,用細(xì)長體理論計(jì)算船舶下沉量較準(zhǔn)確。[2,11,12]HUUSKA/GULIEV公式來源于細(xì)長體理論,其計(jì)算結(jié)果應(yīng)與細(xì)長體理論數(shù)值的計(jì)算結(jié)果接近。比較發(fā)現(xiàn):使用FTIA模型可能導(dǎo)致HUUSKA/GULIEV公式挖槽式航道下沉量計(jì)算結(jié)果與細(xì)長體理論數(shù)值計(jì)算結(jié)果相差較大。有些研究雖使用HUUSKA/GULIEV公式,但并未明確給出挖槽式航道修正系數(shù)的計(jì)算方法。
針對上述問題,本文對HUUSKA/GULIEV公式挖槽式航道修正系數(shù)進(jìn)行回歸分析,提出該系數(shù)的連續(xù)回歸模型。首先以阻塞系數(shù)、水深比為坐標(biāo)的非均勻網(wǎng)格變換為均勻網(wǎng)格,在均勻網(wǎng)格下進(jìn)行回歸分析,估計(jì)回歸參數(shù)并檢驗(yàn)其顯著性,根據(jù)顯著性檢驗(yàn)結(jié)果對回歸模型進(jìn)行改進(jìn),剔除線性相關(guān)性較弱的回歸變量。對改進(jìn)后的回歸模型進(jìn)行適用性檢驗(yàn),發(fā)現(xiàn)殘差不服從正態(tài)分布,該模型具有不適用性,需進(jìn)行方差穩(wěn)定化變換。經(jīng)方差穩(wěn)定化變換后的模型的殘差服從正態(tài)分布,模型的不適用性得到修正。本文模型的計(jì)算結(jié)果比FTIA模型的計(jì)算結(jié)果更接近于細(xì)長體理論數(shù)值的計(jì)算結(jié)果,精度更高,驗(yàn)證該模型的有效性。本文模型比細(xì)長體理論數(shù)值計(jì)算更簡捷并便于在工程領(lǐng)域中應(yīng)用。
HUUSKA/GULIEV公式可用于計(jì)算天然水深航道、挖槽式航道和運(yùn)河式航道的船舶下沉量。HUUSKA/GULIEV公式為
(1)
(2)
式(2)中:s1為無量綱修正阻塞系數(shù)。對于挖槽式航道
s1=S/K1
(3)
式(3)中:K1為挖槽式航道修正系數(shù),無量綱;S為阻塞系數(shù),其計(jì)算為
(4)
式(4)中:W為航道底寬;n為航道邊坡坡度倒數(shù)。HUUSKA[5]和GULIEV[6]給出K1的曲線圖,但未給出K1的函數(shù)。PIANC[7-8]參考該曲線圖給出K1的35個離散值,見表1。表1中hT為挖槽式航道的挖槽深度。由表1可知:當(dāng)0.00≤S≤0.03,K1≡1.00,K1值不受S和hT/h的影響;當(dāng)0.03
表1 K1的離散值
文獻(xiàn)[8]對K1進(jìn)行回歸分析,認(rèn)為當(dāng)hT/h為定值時,K1為
(5)
1) 僅給出5個hT/h值K1的回歸模型,實(shí)際應(yīng)用中可能需要計(jì)算其他hT/h值的K1。
2) 文獻(xiàn)[8]使用最小二乘法估計(jì)回歸參數(shù),但既未給出顯著性檢驗(yàn)結(jié)果和模型適用性檢驗(yàn)結(jié)果,也未提及擬合結(jié)果是否滿足最小二乘法的基本假設(shè)、模型的穩(wěn)定性和精度。
表2 Briggs回歸模型的R2和的值
FTIA[10]和GOURLAY[11]將K1函數(shù)的定義域分割為5個子域,在每個子域中使用相應(yīng)的Briggs回歸模型。FTIA模型子域與Briggs回歸模型關(guān)系圖見圖1,F(xiàn)TIA模型在每個子域內(nèi)連續(xù),相鄰子域交界處間斷,即FTIA模型分段連續(xù)。
圖1 FTIA模型子域與Briggs回歸模型關(guān)系圖
為驗(yàn)證FTIA模型的精度,需將該模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較。研究人員為研究淺水航行船舶的下沉量進(jìn)行一系列試驗(yàn),包括水池試驗(yàn)、實(shí)船試驗(yàn)和數(shù)值試驗(yàn)。目前,水池試驗(yàn)對運(yùn)河式航道開展較多,對挖槽式航道開展較少。MOCTAR等[11]給出挖槽式航道水池試驗(yàn)數(shù)據(jù),但試驗(yàn)的水深Fr超出HUUSKA/GULIEV公式適用范圍,試驗(yàn)結(jié)果不適合作為比較對象。GOURLAY[12]開發(fā)的Shallowflow軟件實(shí)現(xiàn)細(xì)長體理論數(shù)值計(jì)算,并進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn),其條件也符合HUUSKA/GULIEV公式的要求,因此,選擇GOURLAY的數(shù)值計(jì)算結(jié)果作為比較對象。
數(shù)值試驗(yàn)所用船體為S1704B散貨船,該船體有球鼻艏,Lpp=174.0 m,B=32.2 m,T=12.0 m,CB=0.801,U=10.0 kn。令h=14.0 m,n=4.0,挖槽式航道參數(shù)和數(shù)值計(jì)算結(jié)果見表3。由表3可知:當(dāng)hT/h較小時,文獻(xiàn)[12]數(shù)值計(jì)算結(jié)果與FTIA模型計(jì)算結(jié)果相差較小,F(xiàn)TIA模型精度較高;當(dāng)hT/h較大時,文獻(xiàn)[12]數(shù)值計(jì)算結(jié)果與FTIA模型計(jì)算結(jié)果相差較大,F(xiàn)TIA模型精度較低。FTIA模型用某一特定hT/h值的Briggs回歸模型表征該hT/h值所在子域的回歸模型,這導(dǎo)致在hT/h較大時計(jì)算不準(zhǔn)確,誤差較大。要解決該問題,需要運(yùn)用新的回歸模型,該模型應(yīng)連續(xù),經(jīng)過顯著性檢驗(yàn)、模型適用性檢驗(yàn)表明模型的精度較高,計(jì)算結(jié)果與細(xì)長體理論數(shù)值計(jì)算接近。
表3 挖槽式航道參數(shù)和數(shù)值計(jì)算結(jié)果
由表1可知:當(dāng)0.03≤ΔS≤0.25、0.2≤hT/h≤1.0時,Δ(hT/h)≡0.2,ΔS為非定值,坐標(biāo)(hT/h,S)的網(wǎng)格為非均勻網(wǎng)格。為便于計(jì)算,可考慮將非均勻網(wǎng)格變換為均勻網(wǎng)格。為此,引入變量ξ、η,有
ξ=hT/h,有
(6)
式(6)中:Δξ≡0.20,Δη≡0.05,坐標(biāo)(ξ,η)的網(wǎng)格為均勻網(wǎng)格。均勻網(wǎng)格既便于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn),也便于使用回歸分析、有限差分和牛頓差值等數(shù)學(xué)方法。將K1的回歸模型表達(dá)式寫為連續(xù)形式
(7)
需要注意的是不應(yīng)使n、m過大,避免表達(dá)式的階數(shù)過高。由式(5)可得,當(dāng)n=3時,下一步需要確定m的取值。由式(7)可得,當(dāng)η為定值時,K1的回歸模型為
(8)
繪制η為定值、ξ為變量的散點(diǎn)圖見圖2,由圖2可知:當(dāng)η為定值時,K1與ξ近似線性相關(guān),則令m=1,用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì),并對模型進(jìn)行回歸顯著性檢驗(yàn),以驗(yàn)證K1和ξ是否存在強(qiáng)線性相關(guān)關(guān)系?;貧w顯著性檢驗(yàn)為
H0:β1=0,H1:β1≠0
(9)
檢驗(yàn)所用統(tǒng)計(jì)量為
(10)
圖2 η為定值的散點(diǎn)圖和回歸直線圖
表4 η為定值的和|t0|
K1=Xβ
(11)
式(11)中:
(12)
(13)
多元回歸相關(guān)系數(shù)為
(14)
一般而言,向一個模型中增加一個回歸變量時,無論這一變量的貢獻(xiàn)值如何,R2不會下降。因此,多元回歸中通常采用調(diào)整后的相關(guān)系數(shù)RAdj
(15)
(16)
檢驗(yàn)βij,多元回歸顯著性假設(shè)為
H0:βij=0,H1:βij≠0
(17)
如果不能拒絕H0,則表明ηiξj線性相關(guān)性不強(qiáng),βij=0。檢驗(yàn)所用的統(tǒng)計(jì)量為
(18)
表和tij的值
K1=β00+β20η2+β30η3+β21η2ξ+
β31η3ξ+ε
(19)
表6 剔除線性相關(guān)性不強(qiáng)回歸變量后的和tij的值
顯著性檢驗(yàn)可檢驗(yàn)響應(yīng)變量與回歸變量之間的線性相關(guān)性,但不能檢驗(yàn)誤差是否符合正態(tài)分布和回歸模型擬合的優(yōu)劣。誤差符合正態(tài)分布是回歸分析的假設(shè)之一,如果模型嚴(yán)重違背回歸分析的假設(shè),則模型不穩(wěn)定。要檢驗(yàn)誤差是否符合正態(tài)分布和模型擬合的優(yōu)劣,需進(jìn)行模型適用性檢驗(yàn)。如果模型適用性檢驗(yàn)沒有通過,還需修正模型的不適用性。
用W檢驗(yàn)來檢驗(yàn)假設(shè)H0的步驟如下
1) 將ei按升序排序e[1]≤e[2]≤,…,≤e[nsp]。
2) 計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量
(20)
用正態(tài)概率圖尋找模型不適用性的修正方法。外部化學(xué)生殘差為
(21)
(22)
計(jì)算eti值,按升序排序et[1]≤et[2]≤,…,≤et[nsp],進(jìn)而計(jì)算et[i]的累積概率Pi,繪制正態(tài)概率圖見圖3。由圖3可知:累積概率為重尾分布,誤差的方差不是常數(shù),可采用方差穩(wěn)定化變換來修正模型的不適用性。[18]
圖3 正態(tài)概率圖
(23)
表和tij的值
本文提出的回歸模型可計(jì)算船舶下沉量,船舶、航道參數(shù)與表3一致,計(jì)算結(jié)果見表8。當(dāng)hT=10.0 m、h=14.0 m時,F(xiàn)TIA模型計(jì)算結(jié)果與細(xì)長體理論數(shù)值計(jì)算結(jié)果差別較大。W=100.0 m、150.0 m和200.0 m,F(xiàn)TIA模型的相對誤分別為48.94%、43.54%和39.00%,本文模型的相對誤差分別為1.35%、0.00%和1.76%,明顯小于FTIA模型。當(dāng)hT=6.0 m和h=14.0 m時,雖然FTIA模型計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[12]的計(jì)算結(jié)果較接近,但本文模型的相對誤差更小。顯然,與FTIA模型相比,本文模型計(jì)算結(jié)果更接近文獻(xiàn)[12]的計(jì)算結(jié)果,精度更高。
表8 挖槽式航道參數(shù)和本文模型計(jì)算結(jié)果
HUUSKA/GULIEV公式是基于細(xì)長體理論提出的船舶下沉量經(jīng)驗(yàn)公式,包含挖槽式航道修正系數(shù)。FTIA給出挖槽式航道修正系數(shù)的分段連續(xù)模型,但FTIA模型計(jì)算的挖槽式航道船舶下沉量與細(xì)長體理論數(shù)值計(jì)算的船舶下沉量差別較大。針對這一問題,對HUUSKA/GULIEV公式挖槽式航道修正系數(shù)進(jìn)行回歸分析,給出該系數(shù)的連續(xù)回歸模型。用最小二乘法估計(jì)模型的回歸系數(shù),檢驗(yàn)回歸系數(shù)顯著性,根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果確定回歸模型表達(dá)式的形式。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行模型適用性檢驗(yàn),發(fā)現(xiàn)模型的殘差不符合正態(tài)分布,模型存在不適用性,需進(jìn)行方差穩(wěn)定化變換。方差穩(wěn)定化變換后模型的不適用性得以修正,模型擬合度良好,與FTIA模型相比,本文模型計(jì)算結(jié)果更接近于細(xì)長體理論數(shù)值計(jì)算結(jié)果,精度更高;本文模型形式簡單,計(jì)算量比細(xì)長體理論數(shù)值計(jì)算更小,易于工程應(yīng)用。