彭 芳, 吳 軍, 王 帥, 向建軍

(1. 空軍工程大學航空工程學院, 陜西 西安 710038;2. 空軍工程大學空管領航學院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

機載預警雷達通過測量目標的位置和運動特性,為作戰(zhàn)系統(tǒng)和武器系統(tǒng)提供探測信息保障,是預警機完成空中警戒、控制引導、作戰(zhàn)指揮與空戰(zhàn)場管理等多樣化作戰(zhàn)任務的核心傳感器。隨著數(shù)字技術的快速發(fā)展,機載預警雷達正在由傳統(tǒng)的模擬有源相控陣雷達向數(shù)字陣列雷達體制演變,在實現(xiàn)超低副瓣、低截獲概率、提高強雜波背景中弱小目標檢測能力、抗干擾能力等方面具有優(yōu)良的性能[1-2]。接收數(shù)字波束形成是雷達數(shù)字信號處理階段的一個關鍵流程,把陣列天線輸出的信號進行A/D數(shù)字化后送到數(shù)字波束形成器的處理單元,完成對各種信號的復加權處理,形成所需的波束信號。該技術充分利用了陣列天線所獲取的目標空間信息,通過信號處理使波束獲得超分辨率和低旁瓣的性能,完成空域濾波以實現(xiàn)對目標的有效檢測,以及對空間干擾信號的置零。波束形成有許多形式和算法,其中自適應波束形成算法[3-4]能適應各種外界環(huán)境的變化,可實時地將權值調(diào)整到最佳位置,對所要觀測的目標能自適應形成一個很窄的主波束,對干擾方向自動形成零陷,以使干擾信號得到最大限度的抑制。

典型的自適應波束形成算法主要分為閉環(huán)算法與開環(huán)算法,其中閉環(huán)算法包括最小均方誤差(least mean square,LMS)算法、差分最陡下降(difference steepest descent,DSD)算法、加速梯度(accelerating gradient,AG)算法以及這些算法的變形。這些算法相對簡單,實現(xiàn)方便,但其主要缺點是搜索靠近極值時收斂變慢,可能會出現(xiàn)震蕩,或出現(xiàn)局部最優(yōu)化的情況,收斂速率受到系統(tǒng)穩(wěn)定性要求的限制。波束形成算法的性能主要表現(xiàn)為穩(wěn)健性、收斂速度、收斂精度等3個方面,針對非理想情況下的自適應波束形成算法性能下降問題,相關的穩(wěn)健算法被陸續(xù)提出,如對角加載、特征子空間算法、不確定集算法和協(xié)方差矩陣重構算法等[5-6]。文獻[7]中提出一種導向矢量和協(xié)方差矩陣聯(lián)合迭代估計的穩(wěn)健波束形成算法,計算復雜度較高。文獻[8]中提出一種基于最小敏感度的廣義線性自適應波束形成算法以適應低信噪比(signal to noise ratio,SNR)和小快拍數(shù)的應用環(huán)境,主要針對無線通信系統(tǒng)中的一類非平穩(wěn)信號。文獻[9]中將改進的粒子群算法應用于線性約束最小方差(linearly constrained minimum variance, LCMV)自適應波束形成器,在加深零陷和降低旁瓣等方面效果顯著,但是對陣元數(shù)較多的高維復雜問題處理時容易陷于早熟和維度爆炸現(xiàn)象。

基于機載預警雷達上采用的三面陣天線結構,每個面的天線陣元數(shù)目多,針對傳統(tǒng)LMS算法在短快拍數(shù)條件下導致波束形成性能下降以及因迭代震蕩易收斂于局部最優(yōu)值的問題,提出一種基于隨機方差減小梯度下降(stochastic variance reduction gradient descent,SVRGD)的自適應波束形成算法,即在每一輪迭代的內(nèi)部還有一個內(nèi)部的迭代,在進行內(nèi)部迭代前用當前的權值計算一次所有樣本的平均梯度,利用全局的梯度信息對每次用于模型更新的梯度進行修正,通過縮減梯度估計的方差達到提高梯度計算準確性的目的,能有效改善波束形成和抗干擾的質量,亦適用于目標函數(shù)不可微和非平穩(wěn)的情形[10-13]。

1 LMS自適應波束形成模型

1.1 面陣方向矩陣與接收信號模型

面陣列實際上可以看做線陣在二維空間中的拓展,如圖1所示,假設均勻平面陣位于XOZ面內(nèi),陣列陣元數(shù)為M×N,水平方向和垂直方向的陣元間距分別為dx和dz,信源數(shù)為K。Θi=(θi,φi),i=1,2,…,K,θi和φi分別代表第i個信源的俯仰角和方位角,其含義如圖2所示。其中,O≤θi<90°,O≤φi<360°。

圖1 均勻面陣列結構

圖2 均勻面陣入射角定義

以位于坐標原點的陣元為參考,在空間中第i個任意陣元與處于原點的參考陣元之間的相位差為

(1)

式中,(xi,yi,zi)表示第i個陣元的坐標;λ為入射信號的波長；φ為入射信號的方位角；θ為入射信號的俯仰角。由于yi的值為0,根據(jù)均勻直線陣的分析可知,x軸和z軸上的方向矩陣分別為

(2)

(3)

由圖1可知,子陣列1的方向矩陣為Ax,而子陣列2的方向矩陣就得考慮沿Z軸的偏移,每個陣元相對于參考陣元的相位差就等于子陣列1的陣元的相位差加上-j2πdz·cosθ/λ,所以第M個子陣列的方向矩陣為AM=AxDM(Az),其中,DM(Az)表示由矩陣Az的第M行構造的一個對角矩陣。所以可得子陣列1～子陣列M分別表示為

(4)

面陣列的方向矩陣可表示為

A(Θ)=[A1,A2,…,AM]∈CMN×K

(5)

陣列接收信號模型為

X(t)=A(Θ)S(t)+N(t)

(6)

式中,S(t)是空間源信號,為K×1的列矢量；N(t)是陣元接收信號時的高斯白噪聲,為MN×1的列矢量。

1.2 LMS自適應波束形成算法

LMS算法是一種基于LMS準則,采用標準梯度下降優(yōu)化方法的迭代自適應算法,其代價函數(shù)為接收信號的陣列輸出與期望信號的均方值,沿著代價函數(shù)的負梯度方向搜索,最終得到代價函數(shù)的最優(yōu)解。

其優(yōu)化問題可以表示為

(7)

式中,天線陣輸出信號為y(n)=WH(n)X(n),其中X(n)∈CMN×L,W(n)∈CMN×1,L為快拍數(shù);d(n)為期望信號。

將代價函數(shù)J(W)展開,有

J(W)=E[|d(n)|2]-2WHrxd+WHRxxW

(8)

式中,rxd是X(n)與d(n)的互相關矢量;Rxx是X(n)的自相關矩陣。采用標準梯度下降法求解式(7),即得LMS算法的權矢量更新公式:

W(k+1)=W(k)+2μe*(k)X(k)

(9)

式中,*表示共軛運算;μ為步長參數(shù),當滿足0<μ<1/tr(RXX)時,算法收斂。步長因子的大小影響收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差,固定的步長無法同時兼顧收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的優(yōu)良性能。

2 SVRGD波束形成算法原理與流程

2.1 SGD算法

在基于標準梯度下降的LMS波束形成算法中,每一步模型更新都需要計算所有樣本點的梯度,對于樣本數(shù)目比較多的時候代價較大。在機器學習領域,凸學習的目的是極小化代價函數(shù),隨機梯度下降(stochastic gradient descent,SGD)算法[9]作為一個更高效的算法,不要求基于精確的梯度值來更新迭代方向,而是通過取一個隨機方向的步長,即每次隨機從數(shù)據(jù)集中選擇一個樣本點it或者mini-batch進行梯度更新,保證在每次迭代時該方向的期望值與梯度方向是相等的。

給定L個訓練樣本(即快拍數(shù)),優(yōu)化問題可表示為

(10)

極小化J(W)的SGD算法過程描述如下:

步驟1參數(shù):標量μ>0,整數(shù)T>0

步驟2初始化:W(1)=0

步驟3fort=1,2,…,T

以一個分布隨機選擇vt,使得

E[vt|W(t)]∈?J[W(t)]

(11)

更新

W(t+1)=W(t)-μvt

(12)

步驟4輸出

(13)

相對于標準梯度下降,SGD算法的優(yōu)勢是不僅可以用于代價函數(shù)不可微的情況,還可以減少每次更新的計算代價,但是增大了梯度估計的方差,因此通過迭代輸出取平均的方法可以改善收斂速度[14-16],但仍不如標準梯度下降。

2.2 SVRGD算法

(14)

(15)

本文中,采用平均策略將每一次外循環(huán)中的所有內(nèi)循環(huán)快拍產(chǎn)生的權矢量取平均,作為下一次外循環(huán)迭代的初始值,采用平均策略的好處是,當權值優(yōu)化迭代越靠近全局最優(yōu)值時,可能會在最優(yōu)權值附近產(chǎn)生振蕩,取平均后可以逼近最優(yōu)解,提升收斂速度。算法過程描述如下:

步驟1初始化Wt(1)=0、Wj(1)=0;

步驟2fort=1,2,…,T;

(16)

步驟5forj=1,2,…,J;

步驟6從集合{1,2,…,L}中隨機選擇ij;

步驟9end for

(17)

步驟11end for

2.3 基于SVRGD的自適應波束形成算法流程

利用式(5)和式(6)構建XOZ面陣接收信號數(shù)據(jù)模型,自相關矩陣用下式進行估計:

(18)

迭代步長μ滿足0<μ<1/tr(RXX),以保證基于梯度、隨機梯度的自適應波束形成算法收斂,其中tr(RXX)表示矩陣的跡。基于SVRGD的權值迭代算法具體流程如下:

步驟1設定算法內(nèi)循環(huán)和外循環(huán)的迭代次數(shù)J和T,初始化外循環(huán)和內(nèi)循環(huán)的權系數(shù)Wt(1)=0、Wj(1)=0;

步驟2進行外循環(huán),由式(16)求取全體數(shù)據(jù)的平均梯度,其中e(k)可用式(7)求出;

(19)

(20)

步驟7重復迭代步驟4～步驟6,直到達到內(nèi)循環(huán)迭代次數(shù)J,利用式(17)計算平均權系數(shù),并將其賦值給外循環(huán);

步驟 8重復步驟2～步驟7,輸出最后一次外循環(huán)的權系數(shù)WT作為自適應波束形成的最優(yōu)權系數(shù);

步驟9計算陣列的輸出y(n)。具體公式如下:

3 算法仿真與分析

原始數(shù)據(jù)設置如下:M=16,N=16,λ=0.1 m,dx=dz=λ/2,θ0=90°,φ0=90°。

3.1 X-Z軸向均勻面陣方向圖特性分析

對所有陣元加權的輸出相加后得到陣列的輸出,取模值并歸一化后形成空間指定波束方向圖,如圖3所示。

圖3 16×16垂直向均勻面陣三維方向圖

由圖3可見,陣面為對稱分布,方位角與俯仰角的靜態(tài)方向圖完全一致,波束主瓣寬度為θ3 dB=φ3 dB=6.42°,第一旁瓣位于80°附近,旁瓣電平為-13.23 dB。

3.2 SVRGD算法波束形成與抗干擾性能分析

將SVRGD算法與SGD算法以及傳統(tǒng)的LMS算法的波束形成與抗干擾性能進行對比分析。

設定3種算法的迭代步長μ的取值均為1/[4tr(RXX)],滿足收斂條件;目標信號是中心頻率為3 GHz,帶寬為5 MHz的線性調(diào)頻信號;干擾源和噪聲均為高斯白噪聲,SNR為0 dB,干噪比(jammer to noise ratio, JNR)為10 dB;快拍數(shù)L=280;內(nèi)循環(huán)次數(shù)J=L;外循環(huán)次數(shù)T=5;目標方向的俯仰角和方位角均為(90°,90°),兩個干擾源的俯仰角和方位角分別為(90°,60°)和(90°,100°);設定俯仰角為90°，對方位角進行0°～180°的掃描,對陣元間距為0.05 m的16×16均勻面陣進行仿真得到水平特性波束方向圖,如圖4所示。

從圖4可以看出,3種算法在目標方向(方位角90°)都形成了主瓣,主瓣寬度基本相同,在兩個干擾方向(方位角為60°和100°)上都形成了零陷,其中SVRGD算法對于干擾的自適應調(diào)零要明顯優(yōu)于LMS和SGD兩種算法。

圖4 俯仰角為90°的水平特性波束圖

在其他條件不改變的條件下,JNR增加至50 dB,得到的仿真圖如圖5所示。

圖5 JNR=50 dB的水平特性波束圖

從圖5中可以看出,由于干擾功率過強,在干擾方向上LMS算法以及SGD算法已經(jīng)無法形成零陷,甚至形成了虛假旁瓣,而SVRGD算法依舊可以形成零陷,可以得知,SVRGD算法相較于LMS算法和SGD算法在對抗干擾方面有很大的優(yōu)勢。

在其他條件不改變的條件下,將JNR值在[-50， 50]dB區(qū)間范圍內(nèi)均勻采樣,對3種算法分別求其均方誤差,得到相應的變化曲線如圖6所示?？梢钥闯?3種算法估計的均方誤差隨JNR的變化趨勢基本相同,即隨著JNR的增大而振蕩增加,在0～20 dB之間增幅顯著。其中,JNR在10 dB以下時,LMS算法和SVRGD算法的均方誤差值較小,SGD算法的均方誤差較大。JNR在20 dB以上時,SGD算法的均方誤差相對較小。LMS算法和SVRGD算法在整個區(qū)間的均方誤差比較接近。

3.3 快拍數(shù)對SVRGD算法影響分析

在其他條件都不改變的情況下,將快拍數(shù)改為20時,得到水平特性波束方向圖,如圖7所示。

圖6 不同JNR值對3種算法的影響

圖7 快拍數(shù)為20的水平特性波束圖

從圖7可以看出,當快拍數(shù)過小時,LMS算法和SGD算法無法形成零陷,而且SGD算法形成的主瓣方向也發(fā)生了較小的偏移。但是SVRGD算法依然可以正常形成主瓣和零陷,與圖4相比,在方位角為60°和100°的兩個干擾方向所對應的幅值分別下降至-40 dB和-50 dB,零陷較前減輕。由此可見,對于快拍數(shù)較小的情況,SVRGD算法在期望信號波束指向和干擾方向自適應調(diào)零上依然具有較好的性能。

在其他條件不改變的條件下,將快拍數(shù)值在[20, 1 000]范圍內(nèi)均勻采樣,對3種算法分別求其均方誤差,得到相應的變化曲線如圖8所示?？梢钥闯?3種算法估計的均方誤差都是隨著快拍數(shù)的增加而振蕩減小,其中SGD算法的均方誤差在絕大多數(shù)區(qū)域內(nèi)要大于另兩種算法,LMS算法和SVRGD算法在整個區(qū)域內(nèi)的均方誤差比較接近,但在快拍數(shù)為300之內(nèi)時,SVRGD算法的振蕩幅度要大一些。

3.4 抗噪性分析

在其他條件不改變的情況下,將SNR由0 dB減小為-30 dB,得到的水平特性波束圖如圖9所示。在圖9中可以看出,SNR過小時,對3種算法都會有很大的影響,SGD算法和LMS算法已經(jīng)無法在目標方向形成主瓣而且無法在干擾方向形成零陷,但是SVRGD算法雖然旁瓣變高了,但是依舊可以形成指向準確的主瓣和零陷,因此SVRGD算法在抗噪聲干擾方面也有很大的優(yōu)勢。

圖8 不同快拍數(shù)對3種算法的影響

圖9 SNR=-30 dB的水平特性波束圖

在其他條件不改變的條件下,將SNR在[-40， 20]dB范圍內(nèi)均勻采樣,對3種算法分別求其均方誤差,得到相應變化曲線如圖10所示?？煽闯?3種算法在SNR低于-10 dB時,均方誤差曲線基本重合,且平坦趨于零;SNR在-10～10 dB區(qū)間時,LMS算法和SVRGD算法性能相當,SGD算法的均方誤差隨SNR增加的幅度較大;SNR在10 dB以上時,隨著SNR的增加,3種算法的均方誤差都隨之增大,SGD算法增加得最快,SVRGD算法其次,LMS算法最慢。

雖然,前面分別討論了JNR、快拍數(shù)、SNR等因素對3種算法均方誤差的影響,其中LMS算法的均方誤差值均略小于SVRGD算法。但是,均方誤差的大小并不能完全等同于波束形成性能的好壞,算法性能通常會受到快拍數(shù)、收斂速度、循環(huán)次數(shù)等因素的綜合影響,因此雖然LMS算法在單參數(shù)改變時均方誤差性能較好,但是SVRGD算法的波束形成性能總體要優(yōu)于LMS算法。

圖10 不同SNR對3種算法的影響

3.5 收斂性能分析

仿真參數(shù)設置與第3.2節(jié)相同,3種算法的收斂速度如圖11所示。

圖11 3種算法的收斂速度圖

由圖11可以看出,3種算法中收斂性能最優(yōu)的是LMS算法;SGD算法雖然因隨機采用某次快拍數(shù)據(jù)估計梯度以代替標準梯度,其運算時間會變快但是其收斂速度比較慢,e2(n)隨迭代步數(shù)的數(shù)值振蕩幅度遠大于LMS算法;SVRGD算法由于采用內(nèi)外循環(huán)的方式進行權值迭代,運算時間不如LMS算法和SGD算法快,但是SVRGD算法在內(nèi)循環(huán)中e2(n)隨迭代次數(shù)變化情況與LMS算法相當,收斂性能明顯優(yōu)于SGD算法,這主要是由于內(nèi)循環(huán)中輸出的是平均權系數(shù),這些較復雜的平均策略可以提升收斂速度,只是由于每次內(nèi)循環(huán)結束之后,需要計算下一次外循環(huán)(總共5次外循環(huán)),然后重新進入內(nèi)循環(huán)開始計算,導致方差瞬間變大,因此出現(xiàn)了每次趨于平穩(wěn)之后又會出現(xiàn)尖峰的情況。

4 結 論

(1) 具有優(yōu)良的波束形成能力和旁瓣抑制能力;

(2) 具有很強的抗干擾能力,對干擾方向能自適應調(diào)零,零陷較深;

(3) 在快拍數(shù)較少的情況下,由于采用內(nèi)外循環(huán)的機制,使得波束形成仍具有較好效果;

(4) 在SNR很低的環(huán)境中仍然可以正常工作,波束保形能力好,具有較強的穩(wěn)健性。

該方法的主要缺點是,由于內(nèi)、外循環(huán)的迭代方式增加了計算量,使得該方法的計算速度和收斂速度不及LMS算法。通常,外循環(huán)次數(shù)的選擇對算法性能影響較大,外循環(huán)次數(shù)越多,波束形成的精度越高,但是計算的復雜度也越高,因此需要在波束形成效能和算法實時性方面進行折中考慮。在實際工程應用中,如果將面陣進行子陣分塊,采用SVRGD算法計算各子陣的陣列輸出,再合成整個陣面的方向圖,在保證優(yōu)良波束性能的同時也大大節(jié)約了計算時間,具有較高的應用前景。