王 成, 許建新, 李連玉, 王紅軍, 張振明

(1. 西安航空學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院, 陜西 西安 710077;2. 西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院, 陜西 西安 710072;3. 航空工業(yè)成都飛機(jī)工業(yè)(集團(tuán))有限責(zé)任公司, 四川 成都 610092;4. 北京信息科技大學(xué)現(xiàn)代測(cè)控技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100192)

0 引 言

備件的配置優(yōu)化對(duì)于系統(tǒng)可靠性的保障和維護(hù)成本的降低具有重要的作用。近年來,備件的配置優(yōu)化問題受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-2]。特別是近幾年,基于系統(tǒng)效能的備件配置越來越受到重視。如張志華等[3]研究了串聯(lián)系統(tǒng)備件滿足率的多種分配方法,為合理制定串聯(lián)系統(tǒng)備件保障方案提供了理論依據(jù)。王曉波等[4]研究了以單備件滿足率與系統(tǒng)滿足率作為約束條件,以系統(tǒng)利用率作為目標(biāo)函數(shù)的備件配置模型,該模型為魚雷基層級(jí)、基地級(jí)維修初始備件數(shù)量確定提供了參考。Jin等[5]提出了一個(gè)集成的產(chǎn)品-服務(wù)模型,通過同時(shí)分配可靠性、冗余性和備件來保證系統(tǒng)的可用性。Wang等[6]提出了基于系統(tǒng)可靠性的艦隊(duì)備件優(yōu)化配置方法,目標(biāo)是滿足艦隊(duì)系統(tǒng)可靠性的前提下,最小化每個(gè)備件的數(shù)量。Dreyfuss等[7]以窗口滿足率為最大化目標(biāo),研究了兩級(jí)可交換物品維修系統(tǒng)中的備件分配問題。Guo等[8]研究了依賴延遲交貨的多組件可維修孤立系統(tǒng)備件配置決策方法。邵松世等[9]采用系統(tǒng)分析法構(gòu)建備件保障效能評(píng)估指標(biāo)體系,研究初始備件配置優(yōu)化方法,該方法為保障資源的優(yōu)化配置提供了參考。

關(guān)于基于系統(tǒng)效能的備件配置的研究,主要難點(diǎn)在于如何建立系統(tǒng)與單元之間的備件保障指標(biāo)數(shù)學(xué)模型,常見的模型有3種:① 按照國(guó)軍標(biāo)GJB4355規(guī)定,將串聯(lián)系統(tǒng)的部件保障概率可近似認(rèn)為是各單元保障概率中的最小值[10];② 串聯(lián)系統(tǒng)的部件保障概率等于各單元保障概率的乘積[4];③ 串聯(lián)系統(tǒng)的部件保障概率為各個(gè)單元部件保障概率的線性加權(quán)[11-12]。每一種模型的適用性都受任務(wù)時(shí)間和單元個(gè)數(shù)的限制,因此在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)具體的任務(wù)時(shí)間和單元個(gè)數(shù)選擇相應(yīng)的模型進(jìn)行備件配置。現(xiàn)有的研究主要集中在基于滿足率進(jìn)行備件的配置優(yōu)化,在工程應(yīng)用中起到了較好的應(yīng)用效果。但其在精準(zhǔn)量化方面還存在不足,針對(duì)目標(biāo)系統(tǒng)的準(zhǔn)確保障還有待提高。為了解決現(xiàn)有備件配置存在的不足,以可靠性為中心理論,開展基于系統(tǒng)可靠度的備件配置方案研究。

本文從保障系統(tǒng)可靠度的角度出發(fā),構(gòu)建了系統(tǒng)可靠性模型和備件配置模型,以系統(tǒng)可靠度閾值和任務(wù)運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)為約束條件,采用成本效益重要度對(duì)備件配置模型進(jìn)行優(yōu)化,尋求以備件配置成本最低為目標(biāo)的備件配置方案。

1 系統(tǒng)可靠性模型

假設(shè)系統(tǒng)由n個(gè)型號(hào)各異的電子類組件串聯(lián)而成,組件i服從平均故障率為λi的指數(shù)分布。組件i的可靠度函數(shù)Ri(t)可以表示為

Ri(t)=e-λit,i∈{1,2,…,n}

(1)

由此可知,系統(tǒng)的可靠度函數(shù)Rs(t)為

(2)

2 備件配置模型

假設(shè)系統(tǒng)在備件更換時(shí)刻之前發(fā)生突發(fā)失效,則立即進(jìn)行小修,小修時(shí)間忽略不計(jì),每次小修產(chǎn)生的維修成本為c。備件的更換原則就是在整個(gè)保障時(shí)間內(nèi)使其備件和維修總成本達(dá)到最小,即

(3)

3 成本效益重要度

本文的備件配置模型屬于非線性整數(shù)規(guī)劃問題,使用一般的規(guī)劃論方法求解,過程較為復(fù)雜,因此采用邊際效應(yīng)思想進(jìn)行優(yōu)化求解[13],以達(dá)到對(duì)有效資源的合理利用。為此,本文將所需配置備件的最小成本問題轉(zhuǎn)化為在任意一次更換時(shí)刻選擇哪一個(gè)組件進(jìn)行備件才能使所選擇的備件單位成本提升的系統(tǒng)可靠度增量最大的問題。

取第j次組件更換時(shí)刻作為研究時(shí)刻點(diǎn),并求出該時(shí)刻的單位成本提升的系統(tǒng)可靠度增量。在第j次更換時(shí)刻對(duì)第i個(gè)組件進(jìn)行備件更換后備件單位成本提升的系統(tǒng)可靠度增量可以表示為

(4)

式中,ηi(t)為第i個(gè)組件成本效益,將其定義為單位成本提升的系統(tǒng)可靠度增量;R(t)為第i個(gè)組件更換之前的系統(tǒng)可靠度函數(shù);Rω(t)為第i個(gè)組件更換之后的系統(tǒng)可靠度函數(shù),第i個(gè)組件備件更換后對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的可靠度會(huì)有一個(gè)提升,此時(shí)的系統(tǒng)可靠度函數(shù)可以表示為Rω(t)，且Rω(t)<1。

為了量化描述Rω(t),首先研究第i個(gè)組件的備件更換行為對(duì)第i個(gè)組件可靠度的影響。假設(shè)第i個(gè)組件工作一段時(shí)間后對(duì)其進(jìn)行備件更換,此時(shí)的組件可靠度相當(dāng)于通過一個(gè)時(shí)間的正向偏移量來提升其可靠度直到為1,即

(5)

由此可知,Rω(t)可以表示為Rω(t)=R(t-ε),0<ε<τ,其中ε表示由第i個(gè)組件進(jìn)行備件更換時(shí)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)可靠度提升所需的時(shí)間正向偏移量。

為了使R(t)能夠由含Ri(t)的表達(dá)式來表示,本文采用重要度(importance measure, IM)[14]方法進(jìn)行求解。IM方法被廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)工程、可靠性工程等領(lǐng)域[15-17],用以評(píng)估各種對(duì)象的相對(duì)重要程度,如系統(tǒng)中組件的重要程度。IM方法用于識(shí)別系統(tǒng)中最重要的組件,這些組件在可靠性、風(fēng)險(xiǎn)或安全性方面更顯著地影響著系統(tǒng)的運(yùn)行。通常來講,IM方法用于量化系統(tǒng)的各個(gè)組件對(duì)整體系統(tǒng)性能(例如,可靠性、風(fēng)險(xiǎn)、可用性)的貢獻(xiàn)[18-19]。有關(guān)IM的方法很多,本文選擇Birnbaum重要度(Birnbaum importance, BI)理論[20]進(jìn)行問題的求解。

根據(jù)樞軸分解定理[14]和BI理論對(duì)R(t)進(jìn)行變形展開,具體過程如下。

由樞軸分解定理可知,R(t)可以表示為

R(t)=Ri(t)R(1i,t)+(1-Ri(t))R(0i,t)

(6)

式中,R(1i,t)為當(dāng)?shù)趇個(gè)組件正常時(shí)在t時(shí)刻的系統(tǒng)可靠度函數(shù);R(0i,t)為當(dāng)?shù)趇個(gè)組件失效時(shí)在t時(shí)刻的系統(tǒng)可靠度函數(shù)。

(7)

由式(6)和式(7)可知,R(t)可以變形為

(8)

同理可知,Rω(t)可以變形為

(9)

將式(8)和式(9)代入式(4)可得

(10)

(11)

4 備件配置優(yōu)化

在系統(tǒng)可靠度不低于預(yù)設(shè)閾值以及保障時(shí)間達(dá)到設(shè)定時(shí)間兩個(gè)條件下,基于成本效益重要度優(yōu)化模型,采用模擬消耗式組件的方式來反向求解各組件所需備件的配置數(shù)量。當(dāng)系統(tǒng)可靠度未達(dá)到下限閾值前,如果出現(xiàn)部件故障,采用小修的方式快速恢復(fù)系統(tǒng)功能,其間僅計(jì)入維修成本,維修時(shí)間忽略不計(jì)。當(dāng)系統(tǒng)可靠度低于預(yù)設(shè)閾值時(shí),將待更換的各組件成本效益重要度從大到小依次排列,對(duì)成本效益重要度最大的組件進(jìn)行備件更換,備件更換相當(dāng)于在原組件壽命時(shí)間的基礎(chǔ)上前移了一個(gè)時(shí)間τ,使其可靠度變?yōu)?。假設(shè)更換過程沒有時(shí)間延遲,更換完成后形成新系統(tǒng)繼續(xù)運(yùn)行,并根據(jù)約束條件決策是否進(jìn)入下一次更換。最后,求出整個(gè)保障時(shí)間內(nèi)各組件所需更換備件的數(shù)量,形成最優(yōu)的備件配置方案。詳細(xì)的備件配置優(yōu)化過程如圖1所示。

圖1 備件配置優(yōu)化過程

步驟 1參數(shù)預(yù)設(shè)。按照任務(wù)的要求,設(shè)置系統(tǒng)可靠度下限閾值以及保障時(shí)間。

步驟 2系統(tǒng)運(yùn)行。判斷系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間是否到達(dá)任務(wù)中止時(shí)間,如果到達(dá),任務(wù)完成。如未到達(dá),判斷系統(tǒng)可靠度是否下降到預(yù)設(shè)閾值。如果高于預(yù)設(shè)閾值,在未發(fā)生故障的情況下系統(tǒng)繼續(xù)運(yùn)行,如果發(fā)生故障,對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行小修后快速恢復(fù)系統(tǒng)運(yùn)行。如果低于預(yù)設(shè)閾值,進(jìn)行步驟3。

步驟 3組件更換。當(dāng)系統(tǒng)可靠度下降到下限閾值時(shí),計(jì)算各組件成本效益重要度,取最大成本效益重要度對(duì)應(yīng)的備件進(jìn)行更換,其形式化見式(12)所示,更換完成后,轉(zhuǎn)到步驟2繼續(xù)運(yùn)行。

(12)

式中,csj為第j次更換時(shí)刻需要更換的組件;fj(·)為第j次更換時(shí)刻的映射函數(shù)。

步驟 4形成最優(yōu)備件配置方案。當(dāng)任務(wù)完成后,對(duì)每次組件更換的備件進(jìn)行數(shù)量統(tǒng)計(jì),形成最優(yōu)備件配置方案,可以形式化表示為{e1,e2,…,ei,…,en},其中ei表示第i個(gè)組件配置的備件數(shù)量。

5 算例分析

以某航空企業(yè)數(shù)控機(jī)床主軸系統(tǒng)伺服驅(qū)動(dòng)裝置為例進(jìn)行系統(tǒng)可靠度約束下的備件配置優(yōu)化。主軸伺服驅(qū)動(dòng)裝置主要由伺服控制板、功率模塊、伺服電機(jī)和編碼器等組件串聯(lián)構(gòu)成,各組件的年平均故障率根據(jù)企業(yè)對(duì)組件的故障頻次進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得出,各組件的規(guī)格參數(shù)如表1所示。

表1 組件規(guī)格參數(shù)

由式(2)可知,其主軸伺服驅(qū)動(dòng)裝置的可靠度可以表示為

Rss(t)=R1(t)R2(t)R3(t)R4(t)

(13)

式中,Rss(t)為主軸伺服驅(qū)動(dòng)裝置可靠度函數(shù);R1(t)為伺服控制板可靠度函數(shù),且R1(t)=e-λ1t;R2(t)為功率模塊可靠度函數(shù),且R2(t)=e-λ2t;R3(t)為電機(jī)可靠度函數(shù),且R3(t)=e-λ3t;R4(t)為編碼器可靠度函數(shù),且R4(t)=e-λ4t。

表2 備件配置迭代過程

圖2 系統(tǒng)可靠度變化情況

6 結(jié) 論

針對(duì)由電子類組件構(gòu)成的串聯(lián)系統(tǒng),采用成本效益重要度方法實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)可靠度約束下的備件配置優(yōu)化。根據(jù)成本效益重要度最大值選擇系統(tǒng)中最需要被更換的組件進(jìn)行備件,基于成本效益重要度選擇組件的方法不僅有助于識(shí)別系統(tǒng)的瓶頸并防止系統(tǒng)發(fā)生意外失效,而且可以方便快捷地實(shí)現(xiàn)整個(gè)保障時(shí)間內(nèi)的備件配置優(yōu)化。數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證了所提方法的可行性,該方法為其他高端裝備中核心電子類產(chǎn)品系統(tǒng)保障提供了參考。

在后續(xù)的研究中可以考慮從以下3個(gè)方面來拓展:① 取消每次僅更換一個(gè)組件的限制,根據(jù)可靠度上下限控制要求,研究多個(gè)組件的更換策略;② 本文所提方法僅適用元件失效時(shí)間服從指數(shù)分布的情況,后續(xù)可以研究元件失效時(shí)間服從一般分布情況下的備件配置方案和優(yōu)化方法;③ 本文所采用的成本效益重要度方法,在一定程度上方便快捷地解決了工程應(yīng)用中的非線性整數(shù)規(guī)劃問題,但仍具有局限性。隨著計(jì)算機(jī)算力的提升,后續(xù)可以采用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方式求解最優(yōu)的數(shù)值解。