方仲祺，方海斌，雷 霆，譚品恒，韓世川

(1.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十六研究所，重慶 400060；2.固態(tài)慣性技術(shù)重慶市工程實(shí)驗(yàn)室，重慶 400060)

0 引言

半球諧振陀螺是唯一能達(dá)到慣導(dǎo)級(jí)精度的振動(dòng)陀螺，它所采用的材料具有很好的穩(wěn)定性，諧振子結(jié)構(gòu)具有完美的對(duì)稱(chēng)性。與機(jī)械陀螺相比，半球諧振陀螺具有獨(dú)特的高可靠、長(zhǎng)壽命的特點(diǎn)。與激光和光纖陀螺相比，半球諧振陀螺尺寸更小、可靠性更高，是一種很有前途的慣性器件[1]。

半球陀螺是利用半球殼唇沿的徑向駐波振動(dòng)來(lái)感測(cè)基座相對(duì)慣性空間旋轉(zhuǎn)的一種振動(dòng)陀螺。半球陀螺的核心部件為諧振子，諧振子在外加電壓作用下維持環(huán)向波數(shù)為2的四波腹振動(dòng)[2]，其振動(dòng)特性的變化直接影響其信號(hào)輸出。半球陀螺在實(shí)際使用時(shí)不同位置的固定方向各不相同，即邊界條件存在差異，其中較明顯的影響因素是重力場(chǎng)。因此，研究重力場(chǎng)對(duì)半球諧振陀螺輸出的影響是必要的。

1 諧振子動(dòng)力學(xué)仿真

1.1 重力場(chǎng)對(duì)振動(dòng)頻率及頻差的影響

采用Comsol Multiphysis軟件進(jìn)行有限元仿真分析。相同結(jié)構(gòu)在不同應(yīng)力狀態(tài)下將表現(xiàn)出不同的動(dòng)力學(xué)特性。諧振子在自由狀態(tài)下，記其剛度為K0，當(dāng)其受外界載荷作用時(shí)，其結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生變化，視外載的不同增加或降低，這一部分剛度稱(chēng)為幾何剛度，記為Kg。考慮預(yù)應(yīng)力作用下，諧振子的特征值問(wèn)題：

(-ω2M+(K0+Kg))Φ={0}

(1)

式中:ω為諧振子的振動(dòng)頻率；M為諧振子的質(zhì)量矩陣；Φ為各坐標(biāo)振幅組成的n階列陣。

因此，為考慮不同重力場(chǎng)對(duì)諧振子振動(dòng)頻率的影響，需在模態(tài)分析前加一個(gè)靜力分析，將重力場(chǎng)及固定約束加入有限元求解模型中，以更新結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。有限元模型如圖1、2所示。重力場(chǎng)平行于軸柄和垂直于軸柄兩種情況下諧振子的頻率均為4 768.7 Hz。

圖1 重力場(chǎng)平行于軸柄

圖2 重力場(chǎng)垂直于軸柄

綜上所述可知，在不同方向重力場(chǎng)作用下，諧振子四波腹振動(dòng)頻率無(wú)明顯改變，這說(shuō)明不同方向的重力場(chǎng)對(duì)諧振子自身結(jié)構(gòu)剛度無(wú)明顯影響，因此，不同方向重力場(chǎng)不會(huì)改變諧振子頻率和頻差。

1.2 重力場(chǎng)對(duì)能量損耗的影響

在諧振子振動(dòng)頻率不變的前提下，進(jìn)一步分析可能對(duì)諧振子振動(dòng)狀態(tài)造成影響的因素。若諧振子振動(dòng)能量在外界條件影響下發(fā)生改變，則其振動(dòng)狀態(tài)將發(fā)生改變，進(jìn)而影響輸出。影響諧振子振動(dòng)能量的因素包括空氣阻尼、熱彈性損耗(TED)、表面損耗、聲子-聲子和聲子-電子相互作用、錨點(diǎn)損耗等[3-4]。諧振子在真空環(huán)境中工作，重力場(chǎng)不會(huì)影響陀螺的真空度；熱彈性損耗取決于諧振子材料的特性，和重力場(chǎng)無(wú)關(guān)；表面損耗通常由缺陷、雜質(zhì)及粗糙度等因素決定，和加工關(guān)系最密切；聲子相互作用在低頻諧振陀螺(<100 kHz)中可忽略不計(jì)，聲子-電子相互作用取決于諧振子的材料性質(zhì)，絕緣體可忽略不計(jì)。

因此，錨點(diǎn)損耗是諧振子能量損失的主要因素，而研究錨點(diǎn)損耗與外界重力場(chǎng)之間的關(guān)系，則可反映諧振子振動(dòng)能量在外界條件影響下的變化情況，進(jìn)而確定重力場(chǎng)是否影響半球諧振陀螺的輸出。

品質(zhì)因數(shù)(Q)可定義為每個(gè)振蕩周期中存儲(chǔ)能量與耗散能量的比值，即

(2)

式中：E為每個(gè)諧振周期內(nèi)，諧振子儲(chǔ)存的總能量；ΔEi為每個(gè)影響因素?fù)p耗的能量。由于重力場(chǎng)主要影響錨點(diǎn)損耗，因此可通過(guò)仿真Q值來(lái)評(píng)估振動(dòng)過(guò)程中諧振子能量的變化。

諧振子固定在錨點(diǎn)上，諧振子振動(dòng)時(shí)，能量通過(guò)錨點(diǎn)耗散。由于使用有限元法(FEM)不可能對(duì)基片進(jìn)行無(wú)限大的建模，為了仿真通過(guò)錨點(diǎn)損耗的機(jī)械能，需設(shè)置波的吸收邊界，以避免其反射。在基片的外邊界上添加非物理吸收層可吸收所有傳出的波，直到它們達(dá)到吸收層的有限邊界。

本文使用完美匹配層(PML)作為吸收層，當(dāng)波進(jìn)入PML時(shí)，將受到阻尼并呈指數(shù)衰減。根據(jù)諧振子設(shè)計(jì)及其邊界，采用球形PML作為吸收層。在仿真模型中，認(rèn)為錨點(diǎn)損耗是唯一影響Q值的因素，各階模態(tài)的Q值可用下式表示[5]：

(3)

式中：Re(ω)為角振動(dòng)頻率的實(shí)部；Im(ω)為角振動(dòng)頻率的虛部。這些值都可在Comsol Multiphysis軟件中直接提取。

在模態(tài)分析前加一個(gè)靜力分析，將重力場(chǎng)加入有限元求解模型中，以更新結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，再對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行本征頻率仿真。加在模型上的重力場(chǎng)分為水平方向和垂直方向，大小均為1g(g=9.8 m/s2)。

仿真結(jié)果如圖3～5所示。由圖3～5可知，當(dāng)加入豎直重力場(chǎng)后，將影響諧振子垂直方向的振動(dòng)，這種垂直方向的運(yùn)動(dòng)不會(huì)改變諧振子在周向的形狀，即對(duì)其周向剛度影響很小，故Q值無(wú)明顯變化；而加入水平方向的重力場(chǎng)以后，雖然影響其周向振動(dòng)，但由于1倍重力場(chǎng)的作用量太小，對(duì)其剛度影響有限，Q值減小1.9%，無(wú)明顯影響。表1為Q值仿真結(jié)果。

圖3 PML仿真模型總體示意圖

圖4 重力場(chǎng)平行于軸柄時(shí)的能量損耗

圖5 重力場(chǎng)垂直于軸柄時(shí)的能量損耗

表1 Q值仿真結(jié)果

2 與重力場(chǎng)有關(guān)的漂移測(cè)試

陀螺坐標(biāo)系為O-xyz，其中Ox軸為陀螺儀輸入軸(IA)，y、z軸所在的平面與輸入軸垂直。陀螺的輸出為脈沖信號(hào)，改變陀螺坐標(biāo)系與重力場(chǎng)的位置關(guān)系，測(cè)試陀螺在不同位置下的輸出可得到重力場(chǎng)對(duì)陀螺漂移的影響。陀螺與g有關(guān)漂移的測(cè)試方法為：

1) 將陀螺儀按坐標(biāo)系“上東北”方向放置，記錄陀螺儀的輸出值，記為N1。

2) 將陀螺儀按坐標(biāo)系“下西北”方向放置，記錄陀螺儀的輸出值，記為N2。

3) 將陀螺儀按坐標(biāo)系“北上東”方向放置，記錄陀螺儀的輸出值，記為N3。

4) 將陀螺儀按坐標(biāo)系“南下東”方向放置，記錄陀螺儀的輸出值，記為N4。

5) 將陀螺儀按坐標(biāo)系“北西上”方向放置，記錄陀螺儀的輸出值，記為N5。

6) 將陀螺儀按坐標(biāo)系“南西下”方向放置，記錄陀螺儀的輸出值，記為N6。

以上方法稱(chēng)為陀螺的六位置試驗(yàn)。N1～N6為T(mén)秒計(jì)數(shù)的脈沖輸出，則陀螺儀的零偏D0，x、y、z方向與g有關(guān)的漂移分別為D1、D2和D3的計(jì)算公式為

(4)

式中：T為計(jì)數(shù)時(shí)間；K為陀螺儀標(biāo)度因數(shù)；Ω為地球自轉(zhuǎn)角速率；φ為測(cè)試場(chǎng)緯度。

式(4)中T的計(jì)時(shí)精度、K及φ的計(jì)算不準(zhǔn)確會(huì)對(duì)D1、D2、D3的測(cè)試結(jié)果產(chǎn)生影響。但T的計(jì)時(shí)能達(dá)到很高的精度，φ也可以準(zhǔn)確地獲得，因此,T、φ這兩項(xiàng)對(duì)D1、D2、D3的影響可忽略。

在K的測(cè)試中，我們選取一系列的速率點(diǎn)ωi，測(cè)試陀螺儀在這些輸入點(diǎn)下的輸出值，然后采用最小二乘法擬合得到陀螺儀的K。而最小二乘法擬合得到的K在很大程度上受大角速率輸入點(diǎn)的影響，即擬合得到的K最接近大角速率輸入點(diǎn)的瞬時(shí)標(biāo)度因數(shù)，而受小角速率輸入速率點(diǎn)的影響很小。式(4)中的K是通過(guò)標(biāo)度因數(shù)測(cè)試，經(jīng)最小二乘法擬合得到。因此，要選取標(biāo)度因數(shù)非線性度盡可能小的陀螺進(jìn)行此項(xiàng)測(cè)試。

選取某半球諧振陀螺在通電預(yù)熱一段時(shí)間后，按上述方法測(cè)試與g有關(guān)的漂移，結(jié)果如表2所示。φ=29.6°，K=19 995 脈沖數(shù)/(°)，測(cè)試在每個(gè)位置下陀螺100 s內(nèi)的輸出脈沖數(shù)，結(jié)果如表2所示。

表2 與g有關(guān)的漂移測(cè)試結(jié)果

參與試驗(yàn)的陀螺儀精度為0.02 (°)/h。實(shí)測(cè)其與g有關(guān)的漂移為0.019～0.034 (°)/h，與陀螺儀精度處于同一量級(jí)，因此可以認(rèn)為重力場(chǎng)對(duì)陀螺漂移無(wú)明顯影響。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文采用Comsol Multiphysis軟件對(duì)半球諧振陀螺在重力場(chǎng)下進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真，結(jié)果表明，不同重力場(chǎng)方向?qū)χC振子頻率和頻差無(wú)影響，諧振子Q值的相對(duì)變化量小于2%。采用某半球諧振陀螺進(jìn)行與g有關(guān)的漂移測(cè)試，結(jié)果表明，與g有關(guān)的漂移與陀螺儀精度處于同一量級(jí)。結(jié)合動(dòng)力學(xué)仿真和陀螺實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)可以認(rèn)為，重力場(chǎng)對(duì)半球諧振陀螺的性能無(wú)明顯影響。