張亞茹，郭 輝，袁 濤，孫 裴，王巖松，程 乾

(上海工程技術大學 機械與汽車工程學院，上海 201620)

0 引言

聲子晶體是一種具有彈性波禁帶特性的人工周期結構，在特定頻率范圍內可以調控彈性波傳播[1]。含分流電路的壓電聲子晶體[2]可以通過對分流電路實現帶隙調控，結構簡單且具有良好的機電耦合特性，使其在可調諧聲子晶體方面得到了廣泛應用。

自Thorp等[3]首次將純電阻電路和電阻-電感(R-L)諧振電路引入周期結構后，Qian等[4]和Chen等[5]研究了一維、二維壓電聲子晶體的帶隙可調諧性，即改變壓電分流系統(tǒng)的幾何或物理參數實現聲子晶體頻域性能的調控。由于基于諧振分流電路的聲子晶體獲得的局域共振帶隙窄且?guī)秲人p量小，因此，研究者們設計出了更復雜的分流電路以獲得寬頻帶、強衰減的帶隙。Wu等[6]和Fleming等[7]采用流阻型和流通型多模態(tài)諧振分流電路，在一個分流電路上并聯(lián)多個諧振電路分支進行振動控制,但該種電路連接方式增加了電路的復雜性，實際應用中存在局限性。2004年，Park等[8]發(fā)現負電容可以抵消壓電片固有電容，增大機電耦合系數，從而減小電路損失，并將電阻、電感、負電容串聯(lián)的負阻抗電路(NIC)應用于梁結構，極大地拓寬了帶隙寬度。此后，負電容被廣泛應用于壓電聲子晶體的振動控制[9-13]。

將壓電片及連接的分流電路稱為一個壓電分流單元，以上研究中均研究了元胞中包含單個壓電分流單元的情況。本文在元胞中布置多個壓電分流單元，采用R-L與負電容并聯(lián)的分流電路，改變元胞中含有不同電路參數的壓電分流單元個數，并運用遺傳算法對電路參數進行優(yōu)化，尋求電感值與負電容值的最佳匹配。

1 壓電聲子晶體桿模型

壓電聲子晶體桿由基體桿、壓電片和分流電路3個部分構成。長度為lp的壓電片周期性地粘貼在基體桿的上下表面，忽略粘貼層對結構的影響。粘貼有壓電片的部分為A，長度與壓電片長度相同，未粘貼有壓電片的部分為B，長度為l，兩部分相加為元胞的晶格常數a，如圖1所示。圖中，w為基體桿、壓電片寬度，tr為基體桿厚度，tp為壓電片厚度。每個壓電片連接獨立的分流電路(由電阻R、電感L及負電容Cn并聯(lián)組成)。本文根據元胞中包含的壓電分流單元個數的不同設計了3種元胞配置：配置Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ型元胞分別包含1個、2個和4個壓電分流單元，且每個壓電分流單元中的電路元件參數互不相同。

圖1 壓電聲子晶體桿及3種元胞配置示意圖

1.1 物理模型

假設壓電片沿z方向極化，除厚度端面外其余表面均自由，則壓電方程為

(1)

每個分流電路的阻抗為

(2)

式中s為拉普拉斯算子。假設由正壓電效應壓電片產生的電場為勻強電場，壓電片內應變和電極上電位移相等，分流電路的作用相當于附加彈性模量：

(3)

式中：hp為壓電片厚度；As為壓電片面積；Cp為壓電片固有電容，其計算式為

(4)

1.2 動力學模型

該結構是由每個元胞周期排列而成，因此只需對單個元胞進行動力學建模并結合Floquet定理即可得到整個桿中的波傳播特性，桿的振動方程為

(5)

式中：ρ、E為桿的密度和彈性模量；u(x,t)為桿在x處的振動位移。

對于無限周期邊界條件，可以使用傳遞矩陣法和Bloch定理計算帶隙，得到特征值方程：

det[T(ω)-eikaI]=0

(6)

式中：T為傳遞矩陣；I為單位矩陣；k=δ+iε為傳播常數，實部δ為衰減常數，虛部ε為相位常數。當δ=0時，彈性波可以無損的從一個周期傳播到下一個周期；當δ≠0時，彈性波的傳播存在衰減，在這些頻率范圍內形成帶隙。

1.3 負電容的等效計算

負電容與諧振電路連接如圖1(b)～(d)所示，其中，LC電磁振蕩回路被用于產生局域共振帶隙，并聯(lián)的負電容可以“抵消”壓電片的固有電容，增加機電耦合系數，且負電容分流器中的電阻可以在更大的頻率范圍內耗散能量。負電容可以通過運算放大電路模擬實現，由1個電容器、2個電阻器和1個運算放大器(OpAmp)組成(見圖2)，調節(jié)合成電路中的電阻可以獲得任何負電容值。為保證電路的穩(wěn)定性，負電容的絕對值應大于壓電片固有電容，其等效電容值為

(7)

圖2 負電容合成電路

2 數值計算與討論

基于上述壓電聲子晶體桿數學模型進行帶隙結構數值及仿真計算,相關材料及幾何參數如表1所示。

表1 基體桿所用幾何與材料參數

配置Ⅰ型壓電聲子晶體桿帶隙結構如圖3所示，當電路短路時，只存在圖中實線部分所示的帶隙結構，這是由于壓電分流系統(tǒng)與基體桿間的布喇格(Bragg)散射引起的，稱為Bragg帶隙。電路通路時(R=20 Ω,L=0.06 H,C=-3×10-9F)，分流電路中的電感與電容產生電磁振蕩，形成局域共振帶隙(見圖3中的虛線)。電路參數影響局域共振帶隙中心頻率位置，但幾乎難以改變其頻帶寬度，且基于壓電分流系統(tǒng)的聲子晶體獲得的局域共振帶隙較窄。本文嘗試改變元胞中包含的壓電分流單元個數(配置Ⅱ、Ⅲ型)，且每個壓電分流單元電路參數互不相同，則電路諧振頻率不同，即可在多個頻段內產生電磁振蕩，進而產生多個局域共振帶隙，為帶隙調控提供更多的實施途徑。3種元胞配置中配置Ⅰ、Ⅱ型的a相同，但配置Ⅱ型中布置了2個壓電分流單元，則會有2個不同的諧振頻率，即可產生2個局域共振帶隙；同理，配置Ⅲ型中包含4個壓電分流單元，則可產生4個局域共振帶隙，如圖4所示。

圖3 壓電聲子晶體桿的帶隙結構(配置Ⅰ)

圖4 3種元胞配置下壓電聲子晶體桿的帶隙結構

以上壓電聲子晶體桿局域共振帶隙中心頻率可由分流電路諧振頻率[14]近似得到，即

(8)

由式(8)可知，L與Cn均對局域共振帶隙有影響，電感值增大帶隙向低頻移動，但帶寬減??；Cn值增大帶隙內衰減增大，但帶隙向高頻移動。因此，當確定預期目標頻段時，僅通過式(8)難以直接計算得到可以使帶隙寬度和平面波衰減幅度最大化時的電路參數值。對此，采用遺傳算法對電路參數L,Cn進行優(yōu)化，充分利用分流電路實現壓電聲子晶體的帶隙可調諧性。

以上結構中配置Ⅲ型得到的4個局域共振帶隙，可運用遺傳算法將其合并為一個寬帶，優(yōu)化目標函數為

(9)

式中：ObjV為目標函數；W為單個局域共振帶隙寬度；f1，f4分別為從低頻到高頻第1、4個局域共振帶隙的中心頻率。目標函數的分母為第1～4局域共振帶隙的寬度與3倍單個局域共振帶隙寬度的差值，差值盡可能小，從而保證合并帶隙的寬度；分子為目標頻段內衰減常數的積分，積分盡可能大，從而確保合并帶隙的衰減量。確定優(yōu)化對象L,Cn及ObjV后，遺傳算法模擬自然進化過程，可以高效地進行最優(yōu)解搜索。隨機產生初始種群，根據目標函數評估初始種群染色體的適應度，通過選擇、交叉及變異等操作生成子代染色體，為確保帶隙不重疊地落在目標頻段內，終止準則中添加一項峰值判斷語句，最后得到最優(yōu)參數值。優(yōu)化結果如圖5(a)所示，一個壓電分流單元得到的單個局域共振帶隙寬約為150 Hz，將4個帶隙合并后可得到一個約500 Hz(2 900～3 400 Hz)的寬帶；同時也可設置兩個目標頻段，將4個帶隙兩兩合并可得如圖5(c)所示的兩個寬帶，實現多頻帶調諧。

圖5 配置Ⅲ型優(yōu)化后的帶隙結構及傳輸特性曲線

彈性波在結構中的傳輸特性為

(10)

式中Win，Wout分別為輸入和輸出端的位移(見圖5(b)、(d))，傳輸特性曲線與衰減常數曲線具有良好的匹配性。

為了進一步驗證上述帶隙調控方法，利用多物理場仿真軟件COMSOL對以上結構進行有限元模擬。為提高計算精度簡化計算，取4個含有單個壓電分流單元的元胞為1個周期，材料及結構參數如表1所示。在桿左側，即未粘貼壓電片的一端施加沿x方向、大小為1×10-5m的恒定位移，在兩端拾取位移響應計算傳輸特性。圖6為COMSOL計算傳輸特性。由圖可知，在2 750～3 890 Hz時出現4個局域共振帶隙。為了直觀地看出不同壓電分流單元對彈性波的局域效果，選取帶隙外和4個局域共振帶隙內的振型圖(見圖7)。帶隙外f0=4 410 Hz時，桿件的激勵幾乎無損耗地傳輸到右端，無抑振效果，表面應力最大值為1.51×109N/m2；第1條帶隙內f1=2 930 Hz時，桿件的振動局域在兩個周期的第1個壓電分流單元內，右端幾乎無波傳播；第2條帶隙內f2=3 150 Hz時，桿件的振動局域在兩個周期的第2個壓電分流單元內；第3條帶隙內f3=3 470 Hz及第4條帶隙內f4=3 890 Hz時，桿件的振動分別被局域在兩個周期的第3、4個壓電分流單元內,應力最大值為3.49×107N/m2，對比帶隙外表面應力，相差2個數量級，達到了很好的抑振效果。以上仿真結果驗證了當元胞中含有多個諧振頻率不同的分流電路時，可以產生相應數量的局域共振帶隙，且?guī)秲鹊牟ū痪钟蛟诰哂邢鄳C振頻率的壓電分流單元內，從而阻止波的傳播呈現帶隙特性。

圖6 COMSOL計算傳輸特性

圖7 不同頻率下壓電聲子晶體桿的振型圖

3 結論

本文設計了3種不同配置、含有負電容諧振分流電路的壓電聲子晶體桿，并對其進行了理論建模及仿真驗證，可以得到如下結論：

1) 針對一維壓電聲子晶體桿模型，提出了3種含有多個壓電分流單元的元胞配置，元胞中多個諧振頻率不同的壓電分流單元可以產生多個局域共振帶隙，為帶隙調控提供了更多的可能。

2) 分流電路中的電路元件參數均可影響電磁振蕩，進而影響局域共振帶隙。為使目標頻段內帶隙寬度和平面波抑制幅度最大化，可以采用算法進行優(yōu)化，得到電路參數的最佳匹配值，實現帶隙合并或多頻帶調諧，為帶隙調控提供了更多的方法。

含壓電分流電路的聲子晶體桿具有附加質量小，結構簡單等優(yōu)點，且僅通過壓電分流單元即可實現帶隙調控，無需改變結構。