倪宣明，趙慧敏，黃 嵩，錢 龍

(1. 北京大學(xué)軟件與微電子學(xué)院，北京 100871； 2. 中山大學(xué)管理學(xué)院，廣東 廣州 510275;3.清華大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100084)

1 引言

代理人的道德風(fēng)險(xiǎn)(moral hazard)和逆向選擇(adverse selection)問題一直是企業(yè)薪酬機(jī)制設(shè)計(jì)(mechanism design)中的核心問題，有時(shí)也與隱藏行動(dòng)(hidden action)和隱藏信息(hidden information)等價(jià)。為了研究這一問題，Hurwicz[1]首先提出了機(jī)制設(shè)計(jì)的概念，Hurwicz[2]在優(yōu)化問題中提出了激勵(lì)相容(incentive compatible，IC)約束條件。Mirrlees[3-4]在構(gòu)建道德風(fēng)險(xiǎn)模型時(shí)，借助分布函數(shù)參數(shù)化方法(parameterized distribution formulation)對(duì)激勵(lì)相容約束進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，并指出企業(yè)高層經(jīng)理的薪酬應(yīng)與企業(yè)利潤(rùn)匹配。在此基礎(chǔ)上，Holmstrom[5]用一階條件來替代激勵(lì)相容約束，極大地簡(jiǎn)化了問題的分析過程，被稱為一階條件方法(first order approach，F(xiàn)OA)，因此最優(yōu)契約的條件也被稱為Mirrlees-Holmstrom條件。Holmstrom[6]、Holmstrom和Milgrom[7]將以上模型推廣到多任務(wù)情形，并探討了充分統(tǒng)計(jì)量(sufficient statistics)問題。Rogerson[8]指出要想用一階條件替代激勵(lì)相容約束，必須增加分布函數(shù)凸性(convexity of the distribution function condition，CDFC)和單調(diào)似然比(monotone likelihood ratio condition，MLRC)兩個(gè)假設(shè)，此時(shí)二階條件自動(dòng)滿足。而Jewitt[9]指出該分析存在循環(huán)證明，需要對(duì)經(jīng)理的效用函數(shù)施加更為嚴(yán)格的凹性要求，一階條件方法才可能成立。Jewitt等[10]進(jìn)一步分析了薪酬有界的情形。

顯然，使用的一階條件方法需要施加“強(qiáng)制凹性”假設(shè)，從而使必要條件與充分條件等價(jià)。這里，為避免凹性的假設(shè)，可以假設(shè)委托人風(fēng)險(xiǎn)中性、代理人存在具體效用函數(shù)，進(jìn)而可以求出最優(yōu)契約的顯式解。但是，結(jié)合逆向選擇與道德風(fēng)險(xiǎn)一起進(jìn)行研究，激勵(lì)相容約束條件的求解將更為復(fù)雜。實(shí)踐中，不僅經(jīng)理的努力水平很難被觀測(cè)到，簽約時(shí)的經(jīng)理的能力同樣難以觀測(cè)，因此在股東和經(jīng)理的博弈中，道德風(fēng)險(xiǎn)和逆向選擇并存是更為普遍的現(xiàn)象。

既有研究引入隱藏行動(dòng)的常見方法是將利潤(rùn)與經(jīng)理的努力水平掛鉤，努力水平越高，利潤(rùn)越高，但也會(huì)受到隨機(jī)項(xiàng)的擾動(dòng)影響。引入隱藏信息的方法主要包括兩類，一類是將產(chǎn)出與經(jīng)理的能力參數(shù)掛鉤，經(jīng)理能力水平越高，產(chǎn)出越高，另一類則是將成本與經(jīng)理的能力參數(shù)掛鉤，經(jīng)理能力水平越高，成本越低。但是，既有的研究忽略了經(jīng)理的風(fēng)險(xiǎn)控制能力。事實(shí)上，經(jīng)理的風(fēng)險(xiǎn)控制能力，即對(duì)利潤(rùn)的波動(dòng)的控制能力，同樣是刻畫經(jīng)理能力的重要方面。經(jīng)理更高的能力水平可以表現(xiàn)為既定的期望收益下，方差更小。這顯然與常用的二階隨機(jī)占優(yōu)(second-order stochastic dominance，SSD)有相似之處。

本文將風(fēng)險(xiǎn)控制能力視為經(jīng)理的私有信息，認(rèn)為能力越高的經(jīng)理，其風(fēng)險(xiǎn)控制能力也越強(qiáng)。這里忽略了能力越高、產(chǎn)出越大的私有信息假設(shè)以簡(jiǎn)化分析，當(dāng)然本文的分析框架也可以拓展至該情形。沿用文獻(xiàn)中的普遍設(shè)定，本文假設(shè)股東風(fēng)險(xiǎn)中性和代理人風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避，以利潤(rùn)的方差作為經(jīng)理能力的衡量標(biāo)準(zhǔn)，構(gòu)建了一個(gè)道德風(fēng)險(xiǎn)與逆向選擇并存的企業(yè)薪酬的最優(yōu)機(jī)制設(shè)計(jì)模型。假設(shè)經(jīng)理人的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)為常數(shù)(constant absolute risk aversion，CARA)的效用函數(shù)，本文得到顯式最優(yōu)解。

本文分別研究了兩種不同能力的經(jīng)理人在單一契約選擇下和存在兩種契約選擇下的情形，發(fā)現(xiàn)在分離均衡下，股東的期望收益得以提高，但對(duì)低能力經(jīng)理的激勵(lì)下降，盡管對(duì)高能力經(jīng)理的激勵(lì)程度提高，但其效用卻會(huì)下降。這是因?yàn)楦吣芰?jīng)理所獲得的補(bǔ)償被低能力經(jīng)理激勵(lì)程度的下降所扭曲，這種補(bǔ)償來自于經(jīng)理風(fēng)險(xiǎn)控制能力的差異。股東還可以僅針對(duì)高能力經(jīng)理設(shè)計(jì)單一契約，但當(dāng)?shù)湍芰?jīng)理所占的比例足夠高時(shí)，針對(duì)性契約將失效，選擇提供兩種契約是股東的最優(yōu)選擇。對(duì)低能力經(jīng)理而言，不管何種情形，均只能獲得保留效用。

本文同時(shí)發(fā)現(xiàn)，股東提供兩種契約還是針對(duì)性契約，存在以下兩難困境。提供兩種契約時(shí)，對(duì)高能力經(jīng)理的激勵(lì)補(bǔ)償不僅與風(fēng)險(xiǎn)控制能力差異程度相關(guān)，也與對(duì)低能力經(jīng)理的激勵(lì)扭曲程度相關(guān)。因此，提供兩種契約雖然可以獲得低能力經(jīng)理提供努力的收益，但卻需要激勵(lì)高能力經(jīng)理而提供補(bǔ)償。提供針對(duì)性契約可以獲得高能力經(jīng)理形成的剩余且無需補(bǔ)償，但成本就是低能力經(jīng)理所創(chuàng)造的利潤(rùn)。股東設(shè)計(jì)契約時(shí)需要在此兩難困境下做出權(quán)衡。

相較于既有研究，本文從風(fēng)險(xiǎn)控制能力角度刻畫了經(jīng)理的能力差異，更加符合現(xiàn)實(shí)情況，在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上同時(shí)考慮了道德風(fēng)險(xiǎn)和逆向選擇，通過引入異質(zhì)經(jīng)理人的概念，探究了在不同契約條件下的最優(yōu)薪酬設(shè)計(jì)問題。本文求出的單一契約下的最優(yōu)解和兩種契約下分離均衡的顯式解，以及針對(duì)高能力經(jīng)理的單一契約解，可為私募基金等經(jīng)理風(fēng)控能力影響較大的行業(yè)提供薪酬決策上的重要參考。

2 隱藏信息與隱藏行動(dòng)并存的最優(yōu)契約

2.1 基本假設(shè)

在一個(gè)典型的公司制下，股東(委托人)負(fù)責(zé)公司的出資，并設(shè)計(jì)工資契約以聘請(qǐng)經(jīng)理(代理人)。假設(shè)市場(chǎng)中存在高能力與低能力兩種類型的經(jīng)理，但無法被觀測(cè)到，經(jīng)理的能力信息屬于其私有信息。若經(jīng)理接受契約，將提供不可觀測(cè)的努力水平，努力水平與風(fēng)險(xiǎn)共同決定利潤(rùn)。股東僅僅觀測(cè)到利潤(rùn)，然后依據(jù)契約進(jìn)行利潤(rùn)分配。顯然，股東在設(shè)計(jì)最優(yōu)契約時(shí)同時(shí)面臨隱藏信息(能力高低)與隱藏行動(dòng)(努力水平)問題。

沿用文獻(xiàn)中的普遍做法，如Holmstrom[6]、Holmstrom與Milgrom[7]等，本文假設(shè)股東為風(fēng)險(xiǎn)中性，VNM(Von-Neumann-Morgenstern)效用函數(shù)為：v(x)=x。股東為經(jīng)理設(shè)計(jì)的契約為線性工資契約，即：w(π)=F+δπ，這里F為固定工資，1>δ≥0為利潤(rùn)分成比例，π為利潤(rùn)。若δ>1，經(jīng)理獲得的分成工資超過利潤(rùn)，可通過借入外部資金充當(dāng)利潤(rùn)進(jìn)行套利，所有契約都將失效。若δ=1，經(jīng)理獲得所有利潤(rùn)，可看作是經(jīng)理向股東租賃資本，道德風(fēng)險(xiǎn)和逆向選擇問題將消失，因此本文僅考慮δ∈[0,1)的情形。

假設(shè)市場(chǎng)中的經(jīng)理存在異質(zhì)性，即存在高能力和低能力兩種類型的經(jīng)理，其VNM效用函數(shù)均為CARA型：u(x)=-exp(-ρx)，ρ>0為常數(shù)，代表絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)。同時(shí)假設(shè)市場(chǎng)上所有經(jīng)理的貨幣化表示的成本函數(shù)相同：g(e)=0.5be2，b>0。經(jīng)理的保留效用水平所對(duì)應(yīng)的貨幣收益，即保留工資水平為A，A≥0。

假設(shè)股東事先無法觀測(cè)經(jīng)理能力水平的高低，但知道市場(chǎng)中有比例或者概率為p∈(0,1)的L型經(jīng)理和(1-p)的H型經(jīng)理。

最后，忽略公司的運(yùn)營(yíng)成本、稅收等因素。

2.2 基準(zhǔn)模型：兼顧兩種類型經(jīng)理的單一契約

雖然股東知道市場(chǎng)上存在兩種不同能力的經(jīng)理人，但股東設(shè)計(jì)單一契約(F,δ)提供給市場(chǎng)上所有的經(jīng)理。由于股東風(fēng)險(xiǎn)中性，其對(duì)應(yīng)的期望效用為：

Ev=E(π-(F+δπ))=(1-δ)e-F

(1)

經(jīng)理為CARA型效用函數(shù)，對(duì)應(yīng)的期望效用為：

Eu=-exp{-ρ(F+δe-0.5be2

(2)

股東設(shè)計(jì)契約(F,δ)時(shí)，需要首先考慮經(jīng)理的參與約束：

(3)

其次，還需考慮經(jīng)理的激勵(lì)相容約束，即經(jīng)理選擇努力水平使自身的期望效用或確定性等值最大化。

(4)

借助一階方法(Firstorder approach,FOA)，可以將激勵(lì)相容約束簡(jiǎn)化表示為：

(5)

股東設(shè)計(jì)契約對(duì)應(yīng)的優(yōu)化問題為：

(6)

求解(6)，可得最優(yōu)契約及對(duì)應(yīng)的最優(yōu)努力水平：

(7)

進(jìn)而可得股東、L型經(jīng)理與H型經(jīng)理的確定性等值分別為：

(CEP1,CEL1,CEH1)

(8)

從式(7)和式(8)可以得到以下結(jié)論：

3 針對(duì)兩種類型經(jīng)理的分離均衡下的最優(yōu)契約

3.1 分離均衡下的最優(yōu)契約

從上節(jié)看出，若股東只設(shè)計(jì)針對(duì)所有經(jīng)理的單一契約，將會(huì)造成對(duì)H型經(jīng)理的激勵(lì)不足。根據(jù)顯示原理，如果設(shè)計(jì)兩種契約(FH,δH)和(FL,δL)，以實(shí)現(xiàn)H型經(jīng)理選擇契約(FH,δH)、L型經(jīng)理選擇契約(FL,δL)的目標(biāo)，即可實(shí)現(xiàn)分離均衡。但股東在設(shè)計(jì)契約時(shí)，需要考慮兩類經(jīng)理對(duì)自身類型進(jìn)行偽裝的可能性。

由于經(jīng)理人同時(shí)存在隱藏信息(H和L)和隱藏行動(dòng)(努力水平)，本文需首先考慮隱藏行動(dòng)的激勵(lì)相容約束。如果任意類型的經(jīng)理選擇接受契約(Fi,δi)，i∈{H,L}，則其選擇努力水平所對(duì)應(yīng)的激勵(lì)相容約束為：

i,j∈{H,L}

(9)

因此，對(duì)任意類型的經(jīng)理而言，一旦接受契約(Fi,δi)，其對(duì)應(yīng)的激勵(lì)相容約束可以簡(jiǎn)化為：e=δi/b。任意類型的經(jīng)理，其最優(yōu)努力水平由其所選擇的契約中的利潤(rùn)分成比例所決定。

股東設(shè)計(jì)兩種契約的目標(biāo)是要實(shí)現(xiàn)以下分離均衡：L型經(jīng)理選擇契約(FL,δL)，H型經(jīng)理選擇契約(FH,δH)。將簡(jiǎn)化的隱藏行動(dòng)的激勵(lì)相容約束代入，股東設(shè)計(jì)最優(yōu)契約對(duì)應(yīng)的優(yōu)化問題為：

(10)

其中，IPL和ICL為L(zhǎng)型經(jīng)理的參與約束和隱藏信息的激勵(lì)相容約束；IPH與ICH為H型經(jīng)理的參與約束和隱藏信息的激勵(lì)相容約束。

(11)

因此，約束IPH自動(dòng)滿足。令λ、φL和φH分別為約束IPL、ICL和ICH的Kuhn-Tucker乘子，(λ,φL,φH)≥0，對(duì)應(yīng)的Kuhn-Tucker條件為：

-p+λ+φL-φH=0

(12)

-(1-p)-φL+φH=0

(13)

(14)

(15)

加上對(duì)應(yīng)約束的互補(bǔ)松弛條件共同構(gòu)成優(yōu)化問題(10)的解。下面通過命題1-3來求解最優(yōu)契約。

命題1λ>0，φH>0。

由式(12)和式(13)知，λ=1>0及φH=(1-p)+φL>0。λ>0和φH>0表明L型經(jīng)理的參與約束IPL和H型經(jīng)理的激勵(lì)相容約束ICH束緊。

命題2δH>δL>0。

證明首先證明δL>0。若δL=0，代入式(14)可得p/b>0，這與式(14)矛盾。同理，由式(15)可得δH>0。δL>0與δH>0表明式(14)與式(15)等號(hào)成立。

將1+φL=p+φH代入式(14)和式(15)整理可得：

(16)

(17)

因此：

(18)

綜上，δH>δL>0，證畢。

命題3φL=0。

證明用反證法。不妨假設(shè)φL>0，則約束ICL束緊，聯(lián)立ICH與ICL，整理可得：

(19)

結(jié)合命題1、命題2、命題3可知，約束IPL和ICH束緊，而約束IPH和ICL中的不等式自動(dòng)滿足。要實(shí)現(xiàn)分離均衡，L型經(jīng)理僅需滿足參與約束，但需要對(duì)H型經(jīng)理進(jìn)行激勵(lì)補(bǔ)償。在此基礎(chǔ)上，對(duì)應(yīng)的最優(yōu)契約(FL2,δL2)及(FH2,δH2)為：

(20)

對(duì)應(yīng)的最優(yōu)努力水平為：

(21)

股東、L型經(jīng)理與H型經(jīng)理的確定性等值分別為：

(CEP2,CEL2,CEH2)

(22)

3.2 對(duì)比單一最優(yōu)契約模型的討論

兼顧兩種類型的分離均衡下的最優(yōu)契約{(FL2,δL2),(FH2,δH2)}與單一最優(yōu)契約(F1,δ1)相比，具有以下幾個(gè)特征。

第四，在契約{(FL2,δL2),(FH2,δH2)}下，相比契約(F1,δ1)而言，股東的收益會(huì)上升，這由下式可以直觀看出：

(23)

單一契約忽略了對(duì)H型經(jīng)理的激勵(lì)，此時(shí)進(jìn)行偽裝可以獲得充分的額外收益。為了激勵(lì)H型經(jīng)理提高努力水平以創(chuàng)造更高的利潤(rùn)，通過設(shè)計(jì)契約{(FL,δL),(FH,δH)}以實(shí)現(xiàn)分離均衡，雖然L型經(jīng)理的激勵(lì)受到一定程度的扭曲，但是H型經(jīng)理會(huì)提供更高的努力水平，但相比混合時(shí)會(huì)損失一定的效用，這部分損失被轉(zhuǎn)給股東，最終會(huì)使得股東的期望收益上升。

第五，在契約{(FL2,δL2),(FH2,δH2)}或單一契約(F1,δ1)，L型經(jīng)理均只能獲得保留效用。無論是實(shí)現(xiàn)分離均衡的雙契約{(FL,δL),(FH,δH)}還是單契約(F,δ)，L型經(jīng)理的參與約束都處于束緊形式，均為保留收益A。而在雙契約{(FL,δL),(FH,δH)}下，在優(yōu)化問題(10)中，L型經(jīng)理的激勵(lì)相容約束ICL所對(duì)應(yīng)的乘子在最優(yōu)解中φL=0，分離均衡下的契約僅需要考慮對(duì)H型經(jīng)理的激勵(lì)。因此，L型經(jīng)理在兩種情形下均只能獲得保留效用。

4 針對(duì)高能力經(jīng)理的單一契約

4.1 針對(duì)高能力經(jīng)理的最優(yōu)契約

結(jié)合前面分析可知，股東此時(shí)的優(yōu)化問題為：

(24)

求解優(yōu)化問題(24)，可得最優(yōu)契約及對(duì)應(yīng)的最優(yōu)努力水平：

(25)

進(jìn)而可得股東、L型經(jīng)理和H型經(jīng)理的確定性等值分別為：

(CEP3,CEL3,CEH3)

(26)

這里，L型經(jīng)理盡管選擇不接受契約，但還是能獲得保留收益A。

4.2 與基準(zhǔn)模型及分離均衡模型的比較

股東僅針對(duì)H型經(jīng)理而設(shè)計(jì)的單一契約，相比針對(duì)兩類經(jīng)理的基準(zhǔn)模型而言，盡管后者也是單一契約，但由于兼顧L型經(jīng)理，激勵(lì)程度不足；相比分離均衡模型而言，此時(shí)最優(yōu)契約盡管不需要對(duì)H型經(jīng)理進(jìn)行補(bǔ)償，但損失了L型經(jīng)理努力所能創(chuàng)造的收益。具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

第一，在三個(gè)模型中，L型經(jīng)理均只能獲得保留收益。在單一契約(F3,δ3)下，L型經(jīng)理會(huì)拒絕該契約而獲得保留收益A。若選擇接受該契約，收益反而會(huì)低于A，即該契約僅僅針對(duì)H型經(jīng)理。

第二，H型經(jīng)理的激勵(lì)不受到扭曲。與契約{(FL2,δL2),(FH2,δH2)}相比，顯然可知δ3=δH2且e3=eH2。因?yàn)槠跫s(F3,δ3)僅針對(duì)H型經(jīng)理，此時(shí)對(duì)H型經(jīng)理的激勵(lì)與分離均衡下的激勵(lì)相同，都高于基準(zhǔn)模型中對(duì)H型經(jīng)理的激勵(lì)程度。

第三，H型經(jīng)理此時(shí)僅能獲得保留收益。由于股東設(shè)計(jì)的契約(F3,δ3)僅針對(duì)H型經(jīng)理，此時(shí)不需要考慮H型經(jīng)理偽裝成L型經(jīng)理的可能性，后者不會(huì)選擇接受該契約，因此也不需要給予H型經(jīng)理真實(shí)顯示其類型而進(jìn)行的補(bǔ)償。單一契約(F3,δ3)下，H型經(jīng)理顯然只能獲得保留收益A。

第四，股東的期望收益與前兩種契約相比，取決于外生參數(shù)之間的關(guān)系。首先比較與分離均衡契約{(FL2,δL2),(FH2,δH2)}下的期望收益。由下式可知：

CEP2>CEP3

(27)

同理分析可知，對(duì)單一契約而言：

CEP1>CEP3

(28)

當(dāng)L型經(jīng)理的比例p足夠高時(shí)，對(duì)股東而言，忽略L型經(jīng)理、只針對(duì)H型經(jīng)理的單一契約(F3,δ3)并非明智的選擇。明顯得CEP2>CEP1，因此，兼顧兩類經(jīng)理的分離契約{(FL2,δL2),(FH2,δH2)}才是股東的最優(yōu)選擇。

5 數(shù)值模擬

圖1 兼顧兩類經(jīng)理的單一契約中不同參數(shù)對(duì)固定工資的影響

圖2 分離均衡下不同概率對(duì)L型經(jīng)理固定工資的影響

圖3 分離均衡下不同概率對(duì)L型經(jīng)理利潤(rùn)分成的變化

圖4 分離均衡下不同概率對(duì)H型經(jīng)理固定工資的變化

針對(duì)高能力經(jīng)理單一契約(F3,δ3)的模擬與基準(zhǔn)模型相同。同樣令A(yù)=0，ρ=1，b取四種不同值以及令b=1，ρ取四種不同值。若只針對(duì)H型經(jīng)理設(shè)計(jì)契約，那么如同基準(zhǔn)模型中的情況，經(jīng)理的能力越強(qiáng)，獲得的固定工資越低，利潤(rùn)分成比例越高。

圖5 經(jīng)理能力差距對(duì)股東契約選擇的影響

6 結(jié)語

本文假設(shè)市場(chǎng)中存在異質(zhì)經(jīng)理人，并以他們對(duì)利潤(rùn)的風(fēng)險(xiǎn)控制水平的不同來代表經(jīng)理的能力差異，并且同時(shí)考慮道德風(fēng)險(xiǎn)和逆向選擇下的最優(yōu)薪酬設(shè)計(jì)問題。假設(shè)經(jīng)理的效用為CARA效用函數(shù)，本文求出了單一契約的最優(yōu)解和兩種契約下的分離均衡的顯式解。

本文發(fā)現(xiàn)分離均衡下的最優(yōu)契約與針對(duì)兩類經(jīng)理的單一契約相比，股東的期望收益得以提高。對(duì)低能力經(jīng)理而言，激勵(lì)下降。而對(duì)高能力經(jīng)理的激勵(lì)程度盡管提高了，利潤(rùn)分成比例也變大，但其期望效用或確定性等值反而會(huì)下降，這是因?yàn)楦吣芰?jīng)理因能力差異所獲得的補(bǔ)償由于契約對(duì)低能力經(jīng)理的激勵(lì)程度下降而被扭曲。在單一契約下，股東設(shè)計(jì)契約沒有考慮能力差異，高能力經(jīng)理會(huì)選擇偽裝成低能力經(jīng)理以得到充分的偽裝收益。在分離均衡下，高能力經(jīng)理不可能選擇偽裝，只能選擇激勵(lì)高的合約，其收益也會(huì)因?yàn)榈湍芰?jīng)理的激勵(lì)程度下降而下降。

另外，本文認(rèn)為股東在設(shè)計(jì)契約時(shí)，還存在僅針對(duì)高能力經(jīng)理提供單一契約的情形。具體選擇分離均衡契約還是針對(duì)高能力經(jīng)理的單一契約，主要取決于低能力經(jīng)理所占的比例。只要低能力經(jīng)理的比例足夠高，忽略該類經(jīng)理所形成的收益損失也將會(huì)足夠高，這樣對(duì)股東而言，兼顧兩類經(jīng)理的分離均衡契約將是股東的最優(yōu)選擇。