苑慧玲，徐 路, 周 勇

(1.香港城市大學數據科學學院，香港 999077;2. 申萬宏源證券有限公司博士后科研工作站, 上海 200031;3. 復旦大學理論經濟學博士后流動站, 上海 200433;4. 統(tǒng)計與數據科學前沿理論及應用教育部重點實驗室,華東師范大學統(tǒng)計交叉科學研究院和統(tǒng)計學院， 上海 200062)

1 引言

杠桿效應一直是金融市場上研究的熱點問題，它是對波動率非對稱性的一種解釋，描述的是資產波動率和收益率之間的一種負相關關系。Black[1]和Christie[2]首次給出了杠桿效應的解釋：當資產價格下降的時候，公司的杠桿(債券比)變大，引起股票的波動率大幅度變化，從而造成更大的風險。隨后，大批學者和金融學家投入到對杠桿效應及波動率非對稱性的研究中。Nelson[3]提出ARCH模型的一種新的形式，解決了經典的ARCH 模型和GARCH 模型不能解釋非對稱性現象的缺陷?；诓▌勇史菍ΨQ性現象，Engle和Ng[4]提出了EGARCH模型。Bekaert和Wu[5]通過比較杠桿效應和其它用于描述波動率非對稱性的解釋，從公司層面提出了協(xié)方差非對稱性。Bouchaud等[6]提出了收益率和波動率之間的瞬時相關關系。Bollerslev等[7]利用高頻數據進行實證分析發(fā)現，過去和現在的收益率與現在的收益率的絕對值之間存在較強的負相關關系，而現在的波動率和滯后的收益率之間存在較弱的負相關關系。也有相當多的學者對杠桿效應的估計進行了研究。最近，Ait-Sahalia等[8]考慮如下的杠桿效應(瞬時杠桿效應)

其中Xt和σt表示資產在時刻t的真實價格和其市場波動率。通常由于市場微觀噪聲的存在，資產市場價格Xt無法直接觀察到，因此，無法應用通常的辦法對杠桿效應ρt估計，甚至無法估計市場波動率σt。為此，Ait-Sahalia等[8]考慮了如下加性微觀噪音模型，

Yt=Xt+εt

其中Xt和Yt分別表示資產在時刻t的真實價格和市場價格，εt是白噪聲。模型表明真實的資產價格無法直接可觀察，而觀察到的市場資產價格受到噪音交易的影響。Ait-Sahalia等[8]利用收益率和波動率估計(例如：TSRV (Zhang等[9]) 和PAV (Jacod等[10])) 之間的相關系數對杠桿效應ρt進行了估計，基于加性微觀噪聲模型，他們提出的杠桿效應估計具有優(yōu)良的統(tǒng)計性質，然而此類杠桿效應估計由于估計偏差和噪聲誤差的存在，引起了杠桿效應之謎。

早在二十世紀八十年代，就有關于市場微觀噪聲結構的研究。Roll[13]提出微觀噪聲受市場買賣價差的影響。

εt=αIb/s(tk).

其中，Ib/s(tk)表示在時刻tk的交易類型，如果是交易買方，Ib/s(tk)=1，如果是交易賣方，Ib/s(tk)=-1。Gloste和Harris[14]擴展了Roll的模型，指出市場微觀噪聲除了受交易類型的影響，也受交易量的影響，Harris[15]發(fā)現影響微觀噪聲的因素有很多，除了交易類型和交易量還具有其他因素。Almgren和Chriss[16]提出了市場微觀噪聲受交易量和交易率的影響，并建立了模型

εt=αIb/s(tk)+βIb/s(tk)Vtk/Δtk.

其中Vtk表示在tk的交易量，Δtk=tk-tk-1表示兩筆交易的時間差，Vtk/Δtk表示交易率。

由此表明市場微觀噪聲結構是復雜的，在我們分析高頻金融市場時候，應當充分考慮市場微觀噪聲結構。LI Yingying等[17]在研究可積波動率的時候首先將市場微觀噪聲的交易信息用一個參數函數g(Ztk,θ)表示：

Ytk=Xtk+g(Ztk;θ0),0=t0t1…tn=1,

(1.1)

其中Ytk是在時刻tk觀測的log價格，Xtk表示真實的log價格，Ztk是信息集，包含但不盡然是交易量，交易類型和買賣差彈性，θ0是有限維的參數，以及g(Ztk,θ0)是Ztk和θ0的任意參數函數形式。

高頻金融市場的微觀噪聲結構應該蘊含豐富的信息，模型(1.1)并不是充分的。Li Yingying等[17]拓展了模型(1.1)，提出了下面的模型結構。

Ytk=Xtk+g(Ztk;θ0)+εtk,

0=t0t1…tn=1

(1.2)

其中，Ytk，Xtk和g(Ztk,θ0)與模型(1.1)里的符號表示相同的含義，εtk是獨立同分布的，均值為0，標準差為a，且獨立于F1。由此看出，模型(1.2)中加入了隨機微觀噪聲變量，比模型(1.1)具有更廣泛的實際意義。本文旨在基于模型(1.2)提出新的杠桿效應估計，研究新估計的統(tǒng)計性質，并且探討此估計的應用價值。

本文的結構安排如下：2.1部分重述杠桿效應產生的隨機模型機制，2.2部分在較為廣泛的模型(1.2)下提出杠桿效應估計，2.3部分研究提出的杠桿效應估計的統(tǒng)計性質，給出杠桿效應估計的3個定理；有關杠桿效應估計的模擬分析在第3部分；杠桿效應的實證分析在第4部分；結語在第5部分；所有證明在附錄部分。

2 杠桿效應估計方法及其統(tǒng)計性質

2.1 隨機模型機制

在金融市場上，最流行的隨機過程是過程：

dXt=μtdt+σtdWt,X0=x0,

(1)

其中，Wt是一個維納過程,μt和σt是適應的局部有界的隨機過程, 并且，Wt，μt和σt都是定義在概率空間(Ω,F,P)上的。

可積波動率可以定義為：

(2)

dσt=atdt+btdWt+gtdBt

(3)

其中，Bt獨立于Wt的維納過程, at，bt，gt和σt都是局部有界的。

(4)

2.2 杠桿效應估計方法的提出

針對隨機過程Xt，考察n個等分時間區(qū)間，令0=tn,0tn,1tn,2…,tn,n=T，那么時間間隔不失一般性，令T=1。首先，基于微觀噪聲結構模型(1.2)，我們可以得到觀測價格Xtn,k+εtn,k的估計為其次，把n個價格觀測值重新化分為n′個區(qū)間，每個區(qū)間長度是區(qū)間個數具體區(qū)間為H=0=τn,0τn,1τn,2…,τn,n′-1=T，在劃分的區(qū)間[τn,j,τn,j+1]，可以得到真實價格Xτn,j的估計為的樣本均值。即：

(5)

于是，在模型(1.2)下，杠桿效應估計可以定義為:

(6)

(7)

2.3 杠桿效應估計的統(tǒng)計性質

下面給出一些假設：

假設2

(ii) 對所有的k,在Ftk-1的條件下，Ztk和ΔXtk都是條件獨立的；

假設3

(ii) 當θ∈N(θ0)時，g(Z;θ)以及g(Z;θ)關于θ的一階，二階導數是局部有界的；

(iii) 對任意的ε>0，當n→∞時，

幾乎處處成立；

(iv)

注釋1

假設2是連續(xù)隨機模型和回歸模型的常見假設，假設3中的(i)-(iii)是關于計算極大似然函數估計的假設，假設3中的(iv)是Fisher信息陣可逆性的假設。

定理1

(A1). 當假設1-3成立，T固定的時候，

(8)

(9)

的表述可見Wang和Mykland[11]的4.1部分。

(A2). 當假設1-3成立，T固定的時候，

+op(n-1/2)

(10)

其中：

為Wang 和Mykland[11]在考察市場微觀噪聲為白噪聲的情形下提出的杠桿效應估計。

定理2

(11)

其中Z是一個標準的正態(tài)的隨機變量，并且獨立于FT，bt，gt，at和μt都是局部有界的。

注釋2

令Zn為一系列χ-測度的變量,F1?χ。當n→∞時，我們稱Zn以F1-穩(wěn)態(tài)收斂到Z，假如Z是χ的一個擴展，A∈F1，對于任意有界的連續(xù)函數g(·)當時，

E(IAg(Zn))→E(IAg(Z))。

(2)通過最小化定理2中的漸近方差，可以得到c和c1的最優(yōu)值：

(12)

和

(13)

其中，

實際上，c和c1的值可以由最小化方差的漸近形式得出。令

和

通過簡單的計算(見附錄)，我們可以獲得下面的等式成立：

以及：

容易看出：

定理3

當假設1-3成立，T固定，并且的時候，

其中Z1是標準的正態(tài)隨機變量，且獨立于域流FT。

3 模擬分析

對于隱含的log價格Xt，Heston模型如下：

(14)

(15)

我們選取兩個包含交易信息的高頻金融市場微觀噪聲模型g1(Vtk,Ib/s(tk);α,β)和g2(Vtk,Ib/s(tk);β,ζ)。g1(Vtk,Ib/s(tk);α,β)是Almgren和Chriss[16]提出的市場微觀噪聲關于交易量和交易率的線性模型。g2(Vtk,Ib/s(tk);β,ζ)是Keim和Madhavan[19]提出的市場微觀噪聲模型關于交易信息的非線性模型。而

g1(Vtk,Ib/s(tk);α,β)=αIb/s(tk)+βIb/s(tk)Vtk/Δtk

g2(Vtk,Ib/s(tk);β,ζ)=Ib/s(tk)log(ζ+βVtk/Δtk)

其中，Ib/s(tk)，Vtk和Vtk/Δtk與Almgren和Chriss[16]文中表示相同，比較g1(Vtk,Ib/s(tk);α,β)和g2(Vtk,Ib/s(tk);β,ζ)，當交易量低的時候，它們是非常接近的。

g1(Vtk,Ib/s(tk);α,β)+εtk,

0=t0

(16)

g2(Vtk,Ib/s(tk);β,ζ)+εtk,

0=t0

(17)

(18)

為了便于計算，選取F(x)=x,T=1。

圖1 在市場微觀噪聲模型g1(·)和白噪聲及其g2(·)和白噪聲下Zn的Q-Q圖和直方圖

表1 比較Zn,Zyz,ZWM的均值, Q1,Q2,Q3

表2 比較下的方差, 偏差, 均方誤差

4 實證分析

眾所周知，滬深300指數是由上海和深圳證券市場中市值大、流動性好的300只A股作為樣本編制而成的成份股指數，具有良好的市場代表性。滬深300指數是滬深證券交易所第一次聯合發(fā)布的反映A股市場整體走勢的指數。它的推出，豐富了市場現有的指數體系，增加了一項用于觀察市場走勢的指標，有利于投資者全面把握市場運行狀況，也進一步為指數投資產品的創(chuàng)新和發(fā)展提供了基礎條件。在金融市場上，金融產品的未來波動率估測非常重要，可惜的是我們無法給出未來波動率的估計，但是通過收益率與波動率之間的關系可以提供預測波動率的一種思路。為此，研究以滬深300指數作為標的物的滬深300股指期貨的杠桿效應對波動率預測的影響將對相關金融部門進行金融指導具有深遠的意義。

一般來講，中國市場上的期貨交易時間是每周一至周五的上午9:30-11:30和下午1:00-3:00。然而，大量實證研究表明期貨在開盤和閉盤時會出現大量交易，波動率呈現大幅度變化。為了避免股票市場上出現此種情況下不穩(wěn)定的交易活動，我們刪除股票開盤和閉盤前五分鐘的交易數據，分析每個交易日時間區(qū)間在上午9:36至下午2:55的高頻數據，那么研究的每個交易日的數據個數為230。此外，為了便于分析，如果某個交易數據出現刪失數據，我們將刪除這個交易日的所有數據。清洗數據后，到期時間為2018年9月21日的期貨合約高頻數據個數為36110(157個交易日)；到期時間為2018年12月21日的期貨合約高頻數據個數為36340(158個交易日)。

所有高頻數據中的期權合約價格應當轉化為log價格，同時為了便于分析，log股票價格乘以100為100×log(Pn,d)，n=1,…,N，d=1,…,230，其中Pn,d在第n個交易日，第d個1分鐘的期貨合約價格。

波動率預測一直是金融市場上研究的熱點。有大量模型用于預測波動率，例如：經典的長記憶ARFIMA模型，GARCH模型和隨機波動率(SV)模型(參見Koopman等[20])。國內學者也對波動率的預測模型進行了研究，劉曉倩等[21]基于高頻金融數據提出了HAR-CVX模型，并對滬深300指數的波動率預測進行了分析，發(fā)現此時的模型具有更好的預測效果。沈根祥等[22]將提出的已實現GAS-HEAVY模型，應用到滬綜指、深成指和滬深300指數的波動率預測研究中，分析得出已實現GAS-HEAVY模型可以做為金融市場上波動率預測的計量工具。本節(jié)旨在分析杠桿效應對波動率預測是否有顯著的作用，不著重分析波動率預測模型的選取，為此我們選擇了簡單的波動率模型。

(19)

5) ΔXti=Xti-Xti-1和i都是高斯過程；

利用公式(19)考察杠桿效應在波動率預測中的作用。所有結果可見表3-表6。注意表中“***”表示在0.001的置信水平下參數是顯著的，“**”表示在置信水平0.01下參數是顯著的，“*”表示在0.05置信水平下參數是顯著的，和“·”表示在置信水平0.1下參數是顯著的。

表3 在(3.3)下, 滬深300股指期貨的波動率預測結果(2018.1.22-2018.9.21)

在表3和表4中，杠桿效應α4的P值分別是0和0.042，說明合約時間為2018年1月22日到2018年9月21日滬深300股指期貨的杠桿效應在對未來一天波動率的預測具有顯著性的影響。相對而言，表3和表4中的隔夜收益率的P值都大于0.1，表明隔夜收益率對未來一天波動率的預測沒有顯著性影響。但是，前一天波動率的變化對未來一天波動率是有顯著性影響的，前兩天波動率的變化在交易信息為線性模型下，對未來一天的波動率預測具有較為顯著性的作用。

表4 在(3.4)下,滬深300股指期貨的波動率預測結果(2018.1.22-2018.9.21)

比較表5和表6，在市場微觀噪聲模型(16)和(17)下，隔夜收益率α3的P值都是大于0.1 的，表明隔夜收益率對未來一天的波動率預測沒有顯著性影響。杠桿效應α4在模型(16) 下的P 值等于0.000，而在模型(17)下的P值大于0.05，但是小于0.1，說明杠桿效應在交易信息的線性噪聲模型下，對未來一天的波動率具有顯著性影響，而在交易信息的非線性噪聲模型下，對未來一天的波動率具有較小影響。事實上，在噪聲模型(17)下，選取的波動率預測模型(19)的調整后的R2=0.322，說明模型(19)并不是很好的，但是，由于杠桿效應在交易信息的線性噪聲模型下，對未來一天的波動率具有顯著性影響，所以基于波動率預測模型(19)，在某種程度上表明杠桿效應對未來一日波動率是具有顯著性作用的。但是，前一天波動率的變化和前兩天波動率的變化對未來一天波動率是有顯著性影響的。

表5 在(3.3)下, 滬深300股指期貨的波動率預測結果(2018.4.23-2018.12.21)

表6 在(3.4)下,滬深300股指期貨的波動率預測結果(2018.4.23-2018.12.21)

5 結語

附錄：

定理1的證明

首先證明定理1(A1)，其次證明定理1(A2)。由于本文是在模型(1.2)下研究的杠桿效應估計，所以通過模型(1.2)和(5)，可以得出

由于

=:I1+I2+I3+I4+I5+I6.

所以

和

此外，

上式成立是由于假設2(ii)和白噪聲εtn,k。上式的右邊其實是Mn個具有相同界的和，于是上式可以寫作：

(1.3)

并且定義關于任意函數φ:N(θ0)→，對任意的h?0，有：

ω(φ，h):=sup{|φ(θ1)-φ(θ2)|∶|θ1-θ2|≤h},

則對任意θ1,θ2∈N(θ0)和≤N，存在C使

E|Fn(θ1)-Fn(θ2)|≤C|φ(θ1)-φ(θ2)|,

上面不等式的成立是由于假設3(ii)以及Li Yingying[17]文中的定理3。

利用Kallenberg[23]中的推論14.9中的證明，對任意?p/2和m∈，我們可以獲得:

E(ω(Fn,2-m))≤C2-m(2-p)

選取滿足2-m≥K/n?2-m-1，有:

E(ω(Fn,K/n))≤C(K/n)=O(n)

因此對所有n,B(θ0，K/n)=({θ:|θ-θ0|}≤K/n)?N(θ0)，而對所有?p

E(ω(Fn,K/n))=Op(n)，

從而對任意K?0，(1.3)式等于op(n-1/2)，定理A1中(9)式得證。

下面證明定理1中的(A2)。

=:I7+I8+I9.

|F′(·)|≤M

故

|I8+I9|

最后一個等式成立是由于Kn=Op(n1/4)，而且Xλn,i+1滿足公式(1)，是局部有界的，則：

|I8+I9|≤6M·op(n-1/2)

因此，

所以定理1(A2)得證。

定理2的證明

定理3的證明

通過簡單計算，容易可得定理3成立。