陳志年

(安徽省合肥市肥西中學(xué) 231200)

2020年全國高考數(shù)學(xué)一卷(理)20題是一道解析幾何題，其中第二問是證明直線過定點(diǎn).雖然是一類常見?？嫉念}型，但是解決起來有一定的難度.難點(diǎn)在于：引進(jìn)一個(gè)參數(shù)，思路簡單，可運(yùn)算量大，要求運(yùn)算流暢、準(zhǔn)確；引進(jìn)多個(gè)參數(shù)，最后涉及到參數(shù)的消去與保留，要求思維靈活、縝密.下面給出該題的多種解法及評析，欣賞一題多解的妙趣；領(lǐng)略難點(diǎn)突破的秘訣.

(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點(diǎn).

評析本解法兩次將直線方程代入橢圓方程得到關(guān)于x的一元二次方程,有一定的運(yùn)算量，要求零失誤;利用韋達(dá)定理求得C、D的坐標(biāo)，是一個(gè)技巧;寫出直線CD的方程還需要化簡整理，方能得到所要證的結(jié)論.

評析本解法利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，減少了參數(shù)的個(gè)數(shù)；整個(gè)解答過程中，利用了多個(gè)三角公式，如：同角三角函數(shù)基本關(guān)系公式，兩角和與差公式，二倍角公式及通過角的變換推導(dǎo)的“和差化積”公式等，可以說三角公式的運(yùn)用得到了極致.

解法3由(1)知A(-3,0),B(3,0).設(shè)P(6,t)，根據(jù)對稱性直線CD所過定點(diǎn)在x軸上.

消去m得 -(n2-9)(y1+y2)+3n(n-3)y1-n(n+3)y2=0，

當(dāng)t=0時(shí)，直線CD的方程為y=0.

根據(jù)對稱性直線CD所過定點(diǎn)在x軸上.

評析本解法引進(jìn)更多的參數(shù)，利用C、D在橢圓上，我們首先消去y1和y2，得到4x1x2-15(x1+x2)+36=0，至此應(yīng)用韋達(dá)定理解答顯而易見，水到渠成.解析幾何中，設(shè)而不求、加強(qiáng)韋達(dá)定理的應(yīng)用是解答問題的重要方法.