周根虎

(甘肅省靜寧縣文萃中學(xué) 743400)

圓通常具有較強(qiáng)的對(duì)稱(chēng)性，且圓還具有較多的重要性質(zhì)與結(jié)論.高中數(shù)學(xué)題的解決中，如果能深層次挖掘到相關(guān)信息，在解題時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生事半功倍的教學(xué)效果.但是，在具體操作的過(guò)程中，數(shù)學(xué)教師通常會(huì)發(fā)現(xiàn)許多的試題表面和圓沒(méi)有聯(lián)系，但是，經(jīng)過(guò)相應(yīng)的變形或者轉(zhuǎn)化，就能夠轉(zhuǎn)化成和圓相關(guān)的問(wèn)題，這也能充分呈現(xiàn)出化歸思想和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)解題方法.因此，高中數(shù)學(xué)的具體教學(xué)中，教師需注重引導(dǎo)學(xué)生巧妙的找到“隱形圓”，以促使學(xué)生順利完成數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，從而實(shí)現(xiàn)高效教學(xué)與學(xué)習(xí).基于此，本文主要對(duì)運(yùn)用“隱形圓”在高中數(shù)學(xué)的注意事項(xiàng)進(jìn)行分析，并提出巧找“隱形圓”對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題實(shí)施解決的策略，從而確保學(xué)生解題效果的提高.

一、巧找“隱形圓”解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的注意事項(xiàng)

1.注重多元表征實(shí)施

數(shù)學(xué)知識(shí)表征的方式有許多，例如語(yǔ)言表征、符號(hào)表征、操作表征、情境表征、圖形表征等，其中，最為重要的就是代數(shù)表征與幾何表征.同時(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系更為豐富多彩.希爾伯特曾說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)寶藏通常是無(wú)窮無(wú)盡的，如果解決一個(gè)問(wèn)題，就會(huì)相應(yīng)出現(xiàn)無(wú)數(shù)個(gè)新問(wèn)題取而代之.而G·波利亞曾說(shuō)過(guò)，問(wèn)題如果不變化，就會(huì)有什么進(jìn)展.因此，在高中數(shù)學(xué)的具體教學(xué)中，其更要求“變”，指導(dǎo)學(xué)生在四周看看，尋找到各種表征形式，構(gòu)建多元化表征體系，將零散內(nèi)容，也就是關(guān)聯(lián)性不強(qiáng)的內(nèi)容進(jìn)行組織與銜接.例如，兩直線垂直，可通過(guò)斜率表征、勾股定理表征、向量表征.又比如，對(duì)a+1/a≥2(a>0)，通過(guò)基本形式實(shí)施幾何轉(zhuǎn)化與代數(shù)換元，并獲得足夠的結(jié)論，命制不一樣的問(wèn)題.

2.注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)的挖掘

對(duì)于高中數(shù)學(xué)知識(shí)而言，其雖然有多種多樣的表征方式，但是，大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)上是統(tǒng)一的.多元表征屬于基礎(chǔ)，統(tǒng)一本質(zhì)就是進(jìn)一步的深入.在各種表征方式當(dāng)中找到內(nèi)在的線索與關(guān)聯(lián)，對(duì)其相同的本質(zhì)屬性進(jìn)行挖掘，其屬于“變中不變”的哲學(xué)思想表現(xiàn).對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題而言，其有的時(shí)候雖然表征有很多變化，但仍舊是冰山一角，只有對(duì)其不變的本質(zhì)進(jìn)行深入挖掘，才能真正的掌握到數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，并更好的實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系.因此，高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師需注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步的探究，對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行深層次的尋找，構(gòu)建出統(tǒng)一本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，將其根本的屬性進(jìn)行挖掘與提煉.例如，f(x)是定義于R上的，以3為周期的奇函數(shù)，同時(shí)，f(2)=0，假設(shè)方程f(x)=0位于區(qū)間(0,6)的根的個(gè)數(shù)是m，求數(shù)值m的最小值.該問(wèn)題主要是讓學(xué)生清楚的認(rèn)識(shí)到函數(shù)的奇偶性與周期性的本質(zhì)，也就是對(duì)圖象與定義的特征進(jìn)行解析，以確保數(shù)學(xué)問(wèn)題的順利解決.

二、巧找“隱形圓”解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略

在高中數(shù)學(xué)的試題中，常常會(huì)有一些“隱形圓”，通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行全面的分析，巧妙的找出其中的“隱形圓”，將復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀的圓形問(wèn)題，然后運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行問(wèn)題的解決，往往能夠起到事半功倍的作用.

1.基于雙變量轉(zhuǎn)化的“隱形圓”挖掘

該題中的已知條件當(dāng)中有兩個(gè)變量，且均處于根號(hào)內(nèi)，經(jīng)過(guò)觀察可以把兩個(gè)根式進(jìn)行分別換元，把已知的條件轉(zhuǎn)變成圓的方程，以此將原先的數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)樾蔚年P(guān)系，以找出“隱形圓”，促使解題難度得到有效降低，并促使學(xué)生具備的數(shù)形轉(zhuǎn)化的能力得到有效加強(qiáng).

2.基于阿波羅尼斯圓的“隱形圓”挖掘

3.基于圓性質(zhì)問(wèn)題的“隱形圓”挖掘

例3 如果過(guò)點(diǎn)P(1,-2)作出圓C：(x-1)2+y2=1的切線，切點(diǎn)是A與B，那么直線AB的方程是____.

該題的出發(fā)點(diǎn)就是指圓心和切點(diǎn)連線和切線之間互相垂直，并通過(guò)圓的直徑，對(duì)于圓周角是90°，將其轉(zhuǎn)變成四點(diǎn)共圓的狀況進(jìn)行處理.但是，在對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行解決的時(shí)候，學(xué)生首先的想法就是設(shè)直線，將其與方程進(jìn)行聯(lián)立，并試圖求取到切點(diǎn)，該方法雖然在理論上具有可行性，但是，在具體操作時(shí)，卻較為繁瑣，就會(huì)影響到學(xué)生做題的成功率.而通過(guò)坐標(biāo)法進(jìn)行問(wèn)題的解決，不僅會(huì)使學(xué)生的運(yùn)算量得到有效減少，而且還能實(shí)現(xiàn)事半功倍的教學(xué)效果.

綜上所述，通過(guò)隱形圓對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解決，通常是得到廣泛應(yīng)用的一種解決方法，該解決法的運(yùn)用關(guān)鍵就是對(duì)已知的條件實(shí)施細(xì)致觀察，以找到隱形圓，這不僅能夠開(kāi)闊學(xué)生的視野與思維，而且還能使學(xué)生的解題能力得到有效提高，并在數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量與效率得到有效提高的同時(shí)，促使學(xué)生實(shí)現(xiàn)高效解題.