張曉建
(安徽省滁州中學(xué) 239000)
(1)求橢圓C的方程;
(2)E,F是橢圓C上的兩個動點(diǎn),如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),證明直線E,F的斜率為定值.并求出這個定值.
文[1]給本題進(jìn)行了推廣和類比得到了如下的結(jié)論:
在筆者看來上述結(jié)論是否可以認(rèn)為過圓錐曲線上一點(diǎn)P(x0,y0)(y0≠0)作兩條關(guān)于x=x0對稱的兩條直線l1,l2與圓錐曲線分別交于A,B兩點(diǎn),則隨l1,l2變化可以得到一組平行直線. 無獨(dú)有偶,在2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西省預(yù)賽的第11題引起了筆者的注意.
(1)求k·k1的值;
(2)求證:對任意k,直線MN過定點(diǎn).
該問題是過橢圓短軸端點(diǎn)的一條直線,過此端點(diǎn)作兩條關(guān)于這條直線對稱的直線,與橢圓分別交于M,N,直線MN過定點(diǎn)的問題.和2009年遼寧高考試題比較,兩道試題背景相同,那么這個問題是否可以推廣到一般情形呢?具有怎么樣的規(guī)律呢?筆者做了大膽的嘗試,得到了一些有意思的結(jié)論.
即:(k-k1)(1+k·k2)=(k2-k)(1+k·k1),
化簡可得:(k1+k2)(1-k2)=2k(1-k1·k2)(*).
直線AB的斜率為
即(b2-a2k1k2)y=b2(k1+k2)x+b(b2+a2k1k2).
化簡得到:b2(k2-1)y+2b2kx-b3(k2-1)=k1k2[a2(k2-1)y+2b2kx+a2b(k2-1)].
上式對于任意k1,k2都成立,故有:
特別地,當(dāng)直線過橢圓長軸端點(diǎn)時我們可以得到如下結(jié)論:
其證明與結(jié)論4證明相似.同樣在拋物線中我們也得到如下結(jié)論:
證明拋物線中:l1:y=k1x與直線l2:y=k2x關(guān)于直線l:y=kx對稱,(*)式依然成立.
(2ky-(k2-1)x)k1k2=2ky+2p(k2-1).
上式對于任意k1,k2都成立,故有:
本次問題的探究結(jié)果可謂是讓人驚嘆不已,同一個背景的問題恰是兩種不同的結(jié)果,一個是定值問題,一個是定點(diǎn)問題,定值問題是定點(diǎn)問題的特殊情形.同時該題的探究體現(xiàn)圓錐曲線完美的統(tǒng)一性質(zhì),在研究的過程中借助了幾何畫板軟件觀察定點(diǎn)結(jié)果,在推廣的過程中也凸顯了數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng),對數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算有著深刻的理解.
當(dāng)然本題也可以繼續(xù)思考:圓錐曲線上的點(diǎn)是否可以是任意點(diǎn),而不在頂點(diǎn)呢?這個問題還需要繼續(xù)探究,希望有興趣的讀者一起繼續(xù)探究,感受數(shù)學(xué)之美.