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        動(dòng)中尋“靜” “定”題有招

        2021-01-04 13:22:28陳國(guó)林
        數(shù)理化解題研究 2020年31期
        關(guān)鍵詞:定值斜率拋物線

        陳國(guó)林

        (江西省南昌市東華理工大學(xué)理學(xué)院 330013)

        在新課程的標(biāo)準(zhǔn)要求下,平面解析幾何問(wèn)題對(duì)數(shù)形結(jié)合思想要求較高,以坐標(biāo)法為核心,通過(guò)建立曲線方程,考查相關(guān)性質(zhì).這類試題的命制知識(shí)綜合性較強(qiáng),能夠考查學(xué)生的邏輯思維,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力.其中對(duì)于圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題,要從題目信息中,以“靜”尋“定”,依據(jù)題目條件,挖掘“定”題絕招.下面通過(guò)具體實(shí)例進(jìn)行分析.

        一、過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

        直線或曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題需要把直線或曲線方程中的變量x,y視為常數(shù)看待,通過(guò)把方程一端化為零,且這個(gè)方程需要對(duì)任意參數(shù)都成立,所以這時(shí)的參數(shù)系數(shù)就要全部等于零,就可以得到一個(gè)關(guān)于x,y的方程組,這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn).

        1.直線過(guò)定點(diǎn)

        (1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;

        (2)過(guò)點(diǎn)M(1,2)作曲線C的兩條弦MA,MB,設(shè)MA,MB所在直線的斜率分別為k1,k2,當(dāng)k1,k2變化且滿足k1+k2=-1時(shí),證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

        評(píng)注該題可以通過(guò)代數(shù)推理,通過(guò)設(shè)出未知點(diǎn)的坐標(biāo),將直線MA、MB的方程表示出來(lái)后,利用根與系數(shù)的關(guān)系,直線方程的兩點(diǎn)式即可寫出AB的直線方程,最后利用直線系方程的知識(shí)即可求出直線AB經(jīng)過(guò)的定點(diǎn).

        2.曲線過(guò)定點(diǎn)

        (1)求a,b的值,并寫出橢圓C的方程;

        (2)設(shè)A,B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn),在橢圓C上有異于A,B的動(dòng)點(diǎn)P,若直線PA,PB與直線l:x=m(m為常數(shù))分別交于不同的兩點(diǎn)M,N,則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?

        點(diǎn)評(píng)解決圓錐曲線中有關(guān)曲線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題時(shí),需要細(xì)心挖掘題目信息,將所求曲線表示出來(lái).本題是圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,解決此類問(wèn)題,通過(guò)確定圓的圓心坐標(biāo)和半徑后,依據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可以求出圓恒過(guò)的定點(diǎn)值.

        二、定值問(wèn)題

        解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量,例如線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、直線的斜率、角度的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無(wú)關(guān),不依參數(shù)的變化而變化,而始終是一個(gè)確定的值.

        1.直線斜率為定值

        (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

        (2)若E,F(xiàn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),P是橢圓上一點(diǎn),則當(dāng)直線PE,PF的斜率都存在,記為kPE,kPF,則kPE·kPF是否為定值?若是,求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

        點(diǎn)評(píng)直線斜率是否為定值問(wèn)題,毋庸置疑需要先將直線的斜率表示出來(lái),通過(guò)已知條件列出方程,再進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得出定值.

        2.面積為定值

        (1)求橢圓C的方程;

        綜上可知,△OMN的面積為定值1.

        三、線段長(zhǎng)度為定值

        點(diǎn)評(píng)求解解析幾何中的線段長(zhǎng)度或比值為定值問(wèn)題時(shí),需要利用弦長(zhǎng)公式、勾股定理,點(diǎn)到直線間的距離等相關(guān)公式求解出各線段長(zhǎng)度的表達(dá)式,再將其比值表示出來(lái),通過(guò)變形化簡(jiǎn),即可確定線段長(zhǎng)度的比值.

        四、角度為定值

        (1)求拋物線C的方程;

        (2)若點(diǎn)E在拋物線C上,且縱坐標(biāo)為2,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)E),直線EA,EB分別交直線x=-2于點(diǎn)M,N,O為原點(diǎn),求證:∠MON為定值.

        (2)易知點(diǎn)E(2,2).設(shè)直線l:y=k(x-2)與拋物線C交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn).

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