孫佳明 余俊鵬 李潔明 滿益云 沈剛

一種通用攝影測量畸變模型性能仿真分析

孫佳明1余俊鵬1李潔明1滿益云2沈剛1

（1 廣東工業(yè)大學(xué)土木與交通工程學(xué)院，廣州 510006）（2 錢學(xué)森空間技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094）

攝影測量中，畸變模型的選擇對于保證畸變檢校效果十分重要。文章提出了一種基于二元傅里葉級數(shù)的通用型畸變模型，理論上可精確擬合各種形式的幾何畸變。對模擬畸變數(shù)據(jù)的擬合試驗(yàn)結(jié)果表明，傅里葉模型相比一般多項(xiàng)式模型具有更優(yōu)的畸變擬合性能，擬合精度隨著階數(shù)的增加而穩(wěn)步提高，對Brown模型畸變擬合中誤差可達(dá)到0.3像元以內(nèi)，對Ebner模型畸變擬合中誤差達(dá)到0.001像元的水平。二元傅里葉模型可在攝影測量數(shù)據(jù)處理和光學(xué)相機(jī)檢校中替代其他畸變模型，作為一種通用畸變模型使用。

攝影測量 傅里葉級數(shù) 畸變模型 仿真分析 航天測繪

0 引言

攝影測量畸變指由于攝影成像系統(tǒng)在視場范圍內(nèi)的成像光束未嚴(yán)格滿足理想中心投影而產(chǎn)生的像點(diǎn)位置偏差，反映了鏡頭光學(xué)畸變、感光器件形變、光線折射等因素的綜合作用。畸變的檢校和補(bǔ)償對于保證攝影測量精度至關(guān)重要[1-4]。

畸變作為一種系統(tǒng)誤差，其誤差模型大致可分為物理模型和數(shù)學(xué)模型兩大類[5-6]。1965年，美國攝影測量學(xué)者Duane C．Brown通過大量試驗(yàn)，對光學(xué)相機(jī)幾何畸變的物理因素深入分析后提出了Brown模型[7]。至今，Brown模型及其改進(jìn)模型仍是近景和航空攝影測量中被普遍采用的“標(biāo)準(zhǔn)”模型[8-12]。1976年，Ebner提出一種數(shù)學(xué)模型——正交多項(xiàng)式模型，采用一組正交參數(shù)集對攝影測量畸變進(jìn)行數(shù)學(xué)擬合，并通過自檢?？罩腥蔷W(wǎng)光束法平差驗(yàn)證了其有效性[13]。與正交多項(xiàng)式模型類似的數(shù)學(xué)模型還有一般多項(xiàng)式模型[14]、球面調(diào)和函數(shù)模型等。

在攝影測量科研和生產(chǎn)實(shí)踐過程中，不同畸變模型往往根據(jù)某種特定情形而提出[15-19]，缺乏較好的通用性。在實(shí)際數(shù)據(jù)處理過程中，很難自動選擇最適合的模型進(jìn)行畸變檢校和補(bǔ)償，從而導(dǎo)致處理結(jié)果的精度損失。針對這一問題，本文基于傅里葉級數(shù)對連續(xù)函數(shù)的逼近特性，提出一種可適應(yīng)任意畸變的通用攝影測量畸變模型，通過仿真試驗(yàn)表明，其畸變擬合性能隨著選用階數(shù)增加而提高，可望應(yīng)用于航天航空遙感影像的高精度幾何處理。

1 目標(biāo)模型

1.1 攝影測量畸變

式中1、2分別為、方向的畸變函數(shù)。

式（3）中函數(shù)關(guān)系可有多種選擇方案，以下分別給出Brown模型和Ebner模型兩種代表性模型。

1.2 Brown模型

Brown模型是一種模擬物理因素作用的經(jīng)典畸變模型[24]，形式如下：

1.3 Ebner模型

Ebner模型為一種數(shù)學(xué)畸變模型。在傳統(tǒng)攝影測量的9個標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)位上，將畸變量表示為

式中1~12表示、方向的縮放、旋轉(zhuǎn)、錯切、彎曲等基本幾何形變項(xiàng)的系數(shù)；為標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)位距。各項(xiàng)具體形式可參考文獻(xiàn)[23]。在傳統(tǒng)攝影測量的9個標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)位上，各項(xiàng)參數(shù)之間具備正交性，有利于提高求解穩(wěn)定性和進(jìn)行參數(shù)顯著性檢驗(yàn)。然而，隨著各種數(shù)字傳感器的應(yīng)用，像方不規(guī)則點(diǎn)位分布情況十分普遍，Ebner模型的適用性有所下降。

2 通用畸變模型

數(shù)學(xué)畸變模型不必考慮參數(shù)的物理意義，適合作為通用型畸變模型使用。一般多項(xiàng)式模型是目前較為常用的通用模型，其形式為：

式中為多項(xiàng)式階數(shù)；、分別為各項(xiàng)中、的冪次數(shù)；p,n，q,n為多項(xiàng)式各項(xiàng)對應(yīng)的系數(shù)。

隨著一般多項(xiàng)式階數(shù)的增加，可以提升其對于特定目標(biāo)函數(shù)的擬合精度，但提升幅度有限，無法實(shí)現(xiàn)任意程度逼近。此外實(shí)際應(yīng)用中也不宜過大（一般不超過3），否則容易出現(xiàn)參數(shù)過多化而難以求解。因此，尋求一種能夠精確擬合各種幾何畸變并且便于求解的通用模型，仍然十分必要。

以上各項(xiàng)系數(shù)之間嚴(yán)格正交，有利于實(shí)現(xiàn)精確求解。以式（7）為基礎(chǔ)，得到用二元傅里葉級數(shù)逼近像方未知幾何畸變的形式，即以像點(diǎn)坐標(biāo)表示的二元傅里葉畸變模型

二元傅里葉多項(xiàng)式的階數(shù)越高，對畸變的擬合精度越高。當(dāng)=1時，傅里葉畸變模型簡化為常差模型：

當(dāng)=2時，式（8）所確定的傅里葉畸變模型含16個待求參數(shù)，具體形式為

當(dāng)=3時，畸變模型待求參數(shù)增加至36個，形式為

3 試驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 試驗(yàn)方法

基于上述理論，可通過仿真試驗(yàn)方法對傅里葉畸變模型的性能進(jìn)行驗(yàn)證。試驗(yàn)流程如圖1所示。首先，在10 000像元×10 000像元的影像范圍內(nèi)，分別以Brown模型和Ebner模型作為目標(biāo)模型，生成20×20=400個規(guī)則格網(wǎng)點(diǎn)位上的模擬畸變值；將各個格網(wǎng)點(diǎn)位坐標(biāo)與其畸變相加得到模擬像點(diǎn)坐標(biāo)觀測值；然后，以各個點(diǎn)位的模擬畸變值作為觀測值，將模擬像點(diǎn)坐標(biāo)觀測值代入式（8），建立觀測方程組；按最小二乘原理構(gòu)造法方程求解參數(shù)，統(tǒng)計各點(diǎn)位殘差，得到傅里葉模型對目標(biāo)模型的擬合精度結(jié)果。

圖1 試驗(yàn)方法流程

3.2 試驗(yàn)結(jié)果

3.2.1 對Brown模型的擬合結(jié)果

對由Brown模型生成的不同大小畸變，分別用3~7階傅里葉模型進(jìn)行擬合，結(jié)果見表1。

對不同大小的Brown模型畸變，分別用3階一般多項(xiàng)式模型和3階傅里葉模型進(jìn)行擬合。結(jié)果如圖2所示。當(dāng)邊緣畸變大小為20像元時，一般多項(xiàng)式擬合中誤差大于1個像元，而傅里葉模型擬合中誤差為0.8像元。

表1 對Brown模型擬合結(jié)果

Tab.1 The fitting results to the Brown model 單位：像元

圖2 對Brown模型畸變擬合精度對比

3.2.2 對Ebner模型的擬合結(jié)果

對由Ebner模型生成的不同大小畸變，用3~7階傅里葉模型分別擬合，結(jié)果見表2。

對由Ebner模型生成的邊緣畸變大小為20像元的情況，畸變擬合前后殘差分布如圖3所示?？梢钥闯?，經(jīng)擬合后畸變的誤差系統(tǒng)性基本消除，擬合效果良好。

3.3 試驗(yàn)分析

試驗(yàn)結(jié)果表明，對于Brown模型畸變，當(dāng)邊緣畸變大小分別為5、10、20像元時，采用3階傅里葉模型擬合，中誤差分別為0.2、0.4、0.8個像元，均優(yōu)于1個像元。采用7階傅里葉模型，擬合中誤差減小到0.1個像元以內(nèi)，最大殘差0.89像元。對比傅里葉模型和一般多項(xiàng)式模型的擬合效果，兩者在采用相同階數(shù)時傅里葉模型的擬合精度更優(yōu)，且畸變較大時精度優(yōu)勢更加明顯。

對于Ebner模型畸變，當(dāng)邊緣畸變大小分別為5、10、20像元時，3階傅里葉模型的擬合中誤差分別為0.07、0.14、0.23個像元，均優(yōu)于0.3個像元，且在行列方向上的殘差及中誤差大小基本一致。采用7階傅里葉模型，擬合中誤差已達(dá)到0.001個像元的水平。

從試驗(yàn)結(jié)果可以看出，無論對于Brown模型還是Ebner模型，傅里葉模型的擬合精度都隨著階數(shù)增加而不斷提高，與其理論特性相符合。

表2 對Ebner模型擬合結(jié)果

Tab.2 Fitting results to the Ebner model 單位：像元

圖3 對Ebner模型殘差擬合前后對比

4 結(jié)束語

在攝影測量處理中，由于模擬物理因素作用的畸變模型形式趨于復(fù)雜，模型參數(shù)與攝影測量定向參數(shù)的強(qiáng)相關(guān)性導(dǎo)致其解算困難。本文提出一種基于二元傅里葉多項(xiàng)式的數(shù)學(xué)畸變模型，通過仿真擬合試驗(yàn)表明，3階傅里葉模型對Brown模型的擬合精度小于1個像元，7階模型的擬合精度可小于0.1個像元；7階傅里葉模型對Ebner模型的擬合精度能夠達(dá)到千分之一像元的水平。在相同階數(shù)情況下，傅里葉模型對畸變擬合效果明顯優(yōu)于一般多項(xiàng)式通用模型。當(dāng)選取足夠高的階數(shù)時，二元傅里葉函數(shù)理論上可以任意精度逼近多種畸變函數(shù)形式，是一種較為理想的通用模型。后續(xù)將開展傅里葉畸變模型在光學(xué)相機(jī)檢校、航空航天攝影測量數(shù)據(jù)處理等方面的實(shí)驗(yàn)研究，進(jìn)一步考察其實(shí)用性能。

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Performance Analysis of a Generic Photogrammetric Distortion Model

SUN Jiaming1YU Junpeng1LI Jieming1MAN Yiyun2SHEN Gang1

（1 School of Civil and Traffic Engineering, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510006, China）（2 Qian Xuesen Laboratory of Space Technology, Beijing 100094, China）

The selection of distortion models in photogrammetry is very important to ensure distortion calibration effect. In this paper, a generic distortion model based on binary Fourier series is proposed, which can approximate various forms of geometric distortion with high precision theoretically. The fitting test results on simulated distortion data show that the Fourier model has better distortion fitting performance than the general polynomial model, the fitting accuracy steadily improves with the increase of the order, and the fitting error to the Brown distortion can reach within 0.3 pixel, the fitting error to the Ebner model reaches the level of 0.001 pixel. The binary Fourier model is expected to replace other distortion models in photogrammetric data processing and optical camera calibration as a generic distortion model.

photogrammetry; Fourier series; distortion model; simulation analysis; space mapping

P237

A

1009-8518(2020)05-0110-08

10.3969/j.issn.1009-8518.2020.05.013

2019-12-12

國家自然科學(xué)基金青年基金項(xiàng)目（41704019）

孫佳明, 余俊鵬, 李潔明, 等. 一種通用攝影測量畸變模型性能仿真分析[J]. 航天返回與遙感, 2020, 41(5): 110-117.

SUN Jiaming, YU Junpeng, LI Jieming, et al. Performance Analysis of a Generic Photogrammetric Distortion Model[J]. Spacecraft Recovery & Remote Sensing, 2020, 41(5): 110-117. (in Chinese)

孫佳明，男，1995年生，廣東工業(yè)大學(xué)測繪科學(xué)與技術(shù)專業(yè)在讀碩士研究生，主要研究方向?yàn)閿z影測量與遙感。E-mail：1164783700@qq.com。

余俊鵬，男，1982年生，2009年獲武漢大學(xué)攝影測量與遙感專業(yè)博士學(xué)位，高級工程師。主要研究方向?yàn)閿z影測量與遙感。E-mail：strength701@163.com。

（編輯：夏淑密）