何尚琴， 馮秀芳

（1.北方民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，寧夏 銀川750021； 2.寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，寧夏 銀川750021）

數(shù)學(xué)物理反問題研究已成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中發(fā)展和成長最快的領(lǐng)域之一［1］.關(guān)于反問題理論和方法的研究最早可追朔到20 世紀(jì)20 年代Hadamard 在研究線性偏微分方程的Cauchy 問題對(duì)反問題不適定性的陳述和研究［2］.反問題一般有2 種形式，最普遍的形式是已知系統(tǒng)和輸出求輸入，另一種系統(tǒng)未知的情況通常也被視為反問題［1］.許多反問題很難解決，有些反問題卻很容易得到答案.顯然，易于解決的問題不會(huì)比很難解決的問題更能引起人們的興趣，那些很難被解決的問題則被稱為不適定的［1］.一個(gè)不適定問題通常是病態(tài)的，并且不論是簡單的還是復(fù)雜的，改變問題本身的形式都不會(huì)顯著地改善病態(tài)問題.另一方面，病態(tài)問題不一定是不適定的，因?yàn)橥ㄟ^改變問題的形式往往可以改善病態(tài)問題.在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)意義上，通常不可能對(duì)不適定問題進(jìn)行求解并得到準(zhǔn)確解答.然而，通過使用先驗(yàn)知識(shí)，通常有希望能夠得到一個(gè)接近準(zhǔn)確解答的答案［3］.

求解不適定問題的普遍方法是：用一族與原不適定問題相“鄰近”的適定問題的解去逼近原問題的解，這種方法稱為正則化方法［4］.如何建立有效的正則化方法是反問題領(lǐng)域中不適定問題研究的重要內(nèi)容.通常的正則化方法有基于變分原理的Tikhonov正則化、各種迭代方法以及其他的一些改進(jìn)方法，這些方法都是求解不適定問題的有效方法，在各類反問題的研究中被廣泛采用，并得到深入研究［4］.

Laplace方程又稱調(diào)和方程、位勢方程，是一種偏微分方程，是橢圓型方程的典型代表［5］，在電磁學(xué)、流體力學(xué)、地球物理、無損探傷、醫(yī)學(xué)和軍事中有廣泛的應(yīng)用.在工程和實(shí)際問題中，人們經(jīng)常會(huì)遇到Laplace方程Cauchy問題的求解，而該問題是一類嚴(yán)重的不適定反問題.針對(duì)Laplace 方程Cauchy 問題的求解，目前有Tikhonov 正則化方法［6］、逆可逆正則化方法［7］、小波正則化方法［8］、中心差分正則化方法［9］、Fourier 正則化方法［10］以及軟化法（又稱磨光化方法）［11］.用軟化法研究柯西問題最早出現(xiàn)在逆熱傳導(dǎo)問題（IHCP）研究中［12-14］.Murio［15］利用Weierstrass 核研究了逆熱傳導(dǎo)問題（IHCP）的正則化解. Hào［16］以de la Vallée Poussin 核（周期及非周期）以及Dirichlet 核作卷積算子研究了逆熱傳導(dǎo)方程及其一般的拋物方程Cauchy問題的正則解，并在H?lder 空間中討論了收斂階；Hào［17］又以Dirichlet核與de la Vallée Poussin核構(gòu)造軟化算子，研究了拋物方程的非特征柯西問題（NCP）的解.文獻(xiàn)［11，18 -20］以Gaussian核做卷積算子給出了Laplace 方程、Helmholtz方程以及橢圓方程的正則化解.而關(guān)于其他核函數(shù)，比如Féjer核、de la Vallée Poussin 核以及Dirichlet等核用于解決橢圓方程不適定問題的文獻(xiàn)鮮有出現(xiàn).Hào［17］雖然提到用Dirichlet 核構(gòu)造軟化算子解決二維Laplace方程柯西問題，但在收斂性證明中采用偽逆算子法，以致正則參數(shù)的選取規(guī)則過于復(fù)雜，并且該方法不利于三維問題的探究.

本文利用二維Dirichlet 核函數(shù)與觀測數(shù)據(jù)作卷積，構(gòu)造軟化算子，得到了三維Laplace方程不適定問題的正則化解，同時(shí)給出精確解與正則解之間的誤差估計(jì).最后，通過數(shù)值算例驗(yàn)證所提出方法的有效性和可行性.

考慮定義在柱型域內(nèi)三維Laplace方程Cauchy問題

這里g（·，·）是給定的函數(shù).由于數(shù)據(jù)g（·，·）是建立在物理儀器觀測基礎(chǔ)上，必定存在誤差，記gδ（·，·）為測量數(shù)據(jù)，假設(shè)精確數(shù)據(jù)g（·，·）和測量數(shù)據(jù)gδ（·，·）都屬于L2（R2）且滿足

其中，δ ＞0 表示誤差水平，‖·‖2表示L2-范數(shù).

1 問題不適定性分析

設(shè)＾u（w，η，z）表示函數(shù)u（x，y，z）關(guān)于變量r=（x，y）∈R2的Fourier變換［21］

其中，f（x，y）∈L2（R2），＾f（ξ）∈L2（R2）為f（x，y）的Fourier變換.

對(duì)問題（1）兩邊關(guān)于變量r=（x，y）作Fourier變換，轉(zhuǎn)化為下列常微分方程初值問題

2 軟化法求解

下面用具有二維Dirichlet 核的軟化法求解問題（1）.引入二維Dirichlet核函數(shù)［16］

其中uα，δ為問題（1）對(duì)應(yīng)于擾動(dòng)數(shù)據(jù)gδ的正則化近似解.根據(jù)Dirichlet核的性質(zhì)（3）有

利用Dα的性質(zhì)（4）得

注1在假設(shè)（2）之下有

其中k是正有限常數(shù).

由（7）式可知，當(dāng)函數(shù)g（x，y）和對(duì)應(yīng)測量數(shù)據(jù)gδ（x，y）滿足‖g-gδ‖2≤δ 時(shí)，對(duì)應(yīng)的軟化算子與函數(shù)g（x，y）之間的誤差不超過kδ.

下面證明當(dāng)δ→0+時(shí)，近似解uα，δ（x，y，z）收斂于精確解u（x，y，z），并給出誤差估計(jì)式.

3 誤差估計(jì)及參數(shù)選擇

容易證得下列引理.

引理1設(shè)0 ＜z＜d，函數(shù)

下面首先考慮在0 ＜z＜d情形下正則化近似解與精確解之間的誤差估計(jì)，假設(shè)有如下先驗(yàn)界成立

定理1設(shè)u（x，y，z）是Laplace方程（11）的精確解，uα，δ（x，y，z）是問題（1）用Dirichlet 核軟化后的正則近似解.假設(shè)條件‖g-gδ‖2≤δ 和假設(shè)（8）成立，則當(dāng)0 ＜z＜d時(shí)，有不等式

若取正則化參數(shù)

則有誤差估計(jì)

證明由Parseval等式（3），有

其中，每一Dk（k=1，2，…，9）見圖1.

圖1 每一Dk（k=1，2，…，9）Fig. 1 For each Dk（k=1，2，…，9）

即

下面考慮邊界z=d處的情況.為了恢復(fù)z=d處解u（x，y，z）的穩(wěn)定性，引入比（8）式更強(qiáng)的先驗(yàn)界

定理2設(shè)u（·，·，d）和uα，δ（·，·，d）是Laplace方程（1）在邊界z=d處的精確解和Dirichlet核軟化后的近似解，假設(shè)條件‖g-gδ‖2≤δ和先驗(yàn)假設(shè)（11）式成立，有下面結(jié)果

若取正則化參數(shù)

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)給出一個(gè)數(shù)值例子驗(yàn)證Dirichlet 核軟化正則化方法先驗(yàn)參數(shù)選取規(guī)則的有效性，所有計(jì)算在Matlab R2017b中實(shí)現(xiàn).數(shù)值例子中，離散區(qū)間選取為［-10，10］×［-10，10］，這里取d=1.為了產(chǎn)生測量數(shù)據(jù)gδ（x，y），方差為? 正態(tài)分布的隨機(jī)擾動(dòng)被加到數(shù)據(jù)g上，即

在數(shù)值實(shí)現(xiàn)中，要對(duì)各個(gè)函數(shù)進(jìn)行二維離散的Fourier變換及離散的Fourier逆變換［21］.

例1取函數(shù)

為問題（1）在［-10，10］×［-10，10］上的精確數(shù)據(jù)函數(shù).記

為精確解及其近似解之間的相對(duì)誤差.檢驗(yàn)了N=100，z=0.3，δ 取不同值δ =10-2，δ =10-3，δ =10-4，δ =10-5時(shí)對(duì)應(yīng)精確解與正則逼近解之間的相對(duì)誤差.表1 列出了不同誤差水平下精確解和逼近正則解之間的相對(duì)誤差及其正則參數(shù)α的值.圖2 為精確輸入數(shù)據(jù)與z=0.5 時(shí)問題（1）的精確解.圖3 給出了z=0.5 處δ =10-3與δ =10-5時(shí)問題（1）的正則近似解.圖4 展示了z=0.5 處δ =10-4與δ=10-5時(shí)精確解與正則逼近解之間的誤差u-uα，δ.圖5 給出邊界z=1 處精確解與p=3，δ=10-5正則逼近解.圖6 為邊界z=1 處精確解分別與p=3，δ=10-6及p=0.5，δ=10-6時(shí)正則逼近解之間的誤差.

由表1 以及圖2 至圖6 可以看出，隨著誤差水平δ的減小，逼近效果越好。也就是說，隨著誤差水平δ的減小，數(shù)值解越來越穩(wěn)定。

數(shù)據(jù)誤差δ 正則參數(shù)α 相對(duì)誤差rel（u ）1 ×10 -26.582 2 1.622 8 1 ×10 -3 7.733 5 0.304 1 1 ×10 -4 8.884 8 0.056 0 1 ×10 -5 10.036 1 0.008 0

5 結(jié)論

本文考慮了三維Laplace 方程Cauchy 問題，利用帶有參數(shù)的二元Dirichlet 核函數(shù)與測量數(shù)據(jù)gδ（x，y）作卷積，構(gòu)造軟化算子，進(jìn)而求得正則逼近解.采用先驗(yàn)選取規(guī)則計(jì)算正則參數(shù)，得到了正則近似解與精確解之間的誤差估計(jì).數(shù)值算例驗(yàn)證了所采用軟化正則化方法的可行性和有效性.

致謝北方民族大學(xué)科研基金項(xiàng)目（2020KYQD15）對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.