易 玲， 李樹勇

（四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都610066）

含時(shí)滯的不確定隨機(jī)微分系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于物理、化學(xué)、生物學(xué)、工程等領(lǐng)域，由于時(shí)滯和隨機(jī)因素的影響，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定或震蕩，因而，含時(shí)滯的不確定隨機(jī)微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析受到學(xué)者們大量的關(guān)注，一系列的結(jié)果被建立［1-9］.通常，學(xué)者們用Lyapunov 泛 函 法［1-5］、Lyapunov - Razumikhin法［6］或線性矩陣不等式法（LMIs）［7-9］研究含時(shí)滯的隨機(jī)微分系統(tǒng)解的穩(wěn)定性，然而Lyapunov泛函或函數(shù)構(gòu)造較困難.因此，學(xué)者們致力于尋求其他的易于判別含時(shí)滯隨機(jī)微分系統(tǒng)穩(wěn)定性的技巧.最近，Wang 等［10］利用非負(fù)矩陣、隨機(jī)卷積和不等式技巧研究了一類具有時(shí)滯的非線性隨機(jī)偏微分方程的穩(wěn)定性，建立了這個(gè)系統(tǒng)解的吸引域和穩(wěn)定性的判別定理.受他們思想的啟發(fā)，本文通過建立常數(shù)變易公式，利用非負(fù)矩陣性質(zhì)和不等式技巧，研究一類含時(shí)滯和非線性擾動(dòng)項(xiàng)的不確定隨機(jī)微分大系統(tǒng)的吸引性和穩(wěn)定性，得到判斷這個(gè)系統(tǒng)吸引性和穩(wěn)定性的充分條件，所得結(jié)果易于驗(yàn)證且沒有要求非線性擾動(dòng)項(xiàng)范數(shù)有界，擴(kuò)大了穩(wěn)定性的判別范圍.

1 基本準(zhǔn)備

本文中，Rn表示n維的歐式空間，R表示n維非負(fù)的歐式空間. ?a∈Rn，定義‖·‖=I表示n×n維的單位矩陣，（Ω，F(xiàn)，P）是給定的完備概率空間，｛Ft｝t≥t0是（Ω，F(xiàn)，P）上給定的σ-代數(shù)流，滿足通常條件.w（t）是定義在其上的一維實(shí)值布朗運(yùn)動(dòng)，E（·）表示期望.對(duì)τ ＞0和正整數(shù)m，Cm?C（［-τ，0］，Rm）表示從［-τ，0］到Rm的連續(xù)函數(shù)空間，其上定義范數(shù)為‖φ‖τ=其中φ=（φ1，…，φm）T∈Cm.對(duì)p≥2，定義表示滿足E‖ζ‖p＜∞的Rm值F 可測的隨機(jī)過程ζ 的集合，Cm）表示滿足的Cm值F可測的隨機(jī)過程 的集合.分別定義范數(shù)

本文考慮含有時(shí)滯和非線性擾動(dòng)項(xiàng)的不確定隨機(jī)微分大系統(tǒng)Σ，它由如下子系統(tǒng)Σi（i=1，2，…，N）組成：

定義1.3假設(shè)齊次泛函微分方程

其中，x∈Rm，L（t，xt）=A（t）x（t）+B（t）x（t-τ），A（t）和B（t）是m×m的連續(xù)矩陣函數(shù).則稱矩陣Φ（t-s）是齊次方程（5）的基本解矩陣是指Φ（t-s）滿足

由文獻(xiàn)［11］的定理3. 1，方程（5）的基本解矩陣存在.

引理1.1［12］對(duì)于如下隨機(jī)微分系統(tǒng)

證明由（6）式，i=1，2，…，N，得

dΦi（t）=［Ai（t）Φi（t）+ Bi（t）Φi（t -τ）］dt.令ηi（t）=Φi（t）yi（t）（i=1，2，…，N），其中yi（t）滿足

與系統(tǒng)Σ對(duì)比，只需要證明

事實(shí)上，由（6）式有

Φi（t -τ- s）=0，s∈［t -τ，t］，所以

同理

因此

從而（12）式成立，即η（t）是系統(tǒng)Σ 的具有初始函數(shù)ξ的解.另一方面，由于系統(tǒng)Σ 的解唯一存在，所以x（t）=η（t），即（9）式成立.

2 主要結(jié)果

定理2.1對(duì)于系統(tǒng)Σ，假設(shè)：

（H1）存在向量函數(shù)H（φ）=（h1（φ），…，hN（φ））T和K（φ）=（k1（φ），…，kN（φ））T，且hi（φ），ki（φ）：RN+→R+是連續(xù)單調(diào)不減的凹函數(shù)，使得

（H2）設(shè)Φi（t）（i=1，2，…，N）是齊次方程（8）的基本解矩陣，滿足

并存在常數(shù)Mi≥1 和μi＞0 使得

（H3）存在一個(gè)常向量z=（z1，…，zN）T≥0使得

現(xiàn)在，對(duì)（19）式右邊分別進(jìn)行估計(jì).首先，由條件（H2）有

再次，由條件（H1）和（H2）、BDG不等式［12］和H?lder不等式有

與（28）式矛盾.因此，（27）式成立.令?→0，則（26）式成立.

定理2.2假設(shè)定理2.1 中所有條件成立.令向量函數(shù)

根據(jù)上極限的定義和（32）式，?? ＞0，?T1＞t0使得對(duì)任意的t≥T1，有

另一方面，由廣義積分性質(zhì)的定義，?T2＞t0使得

（35）式兩邊求上極限得

令?→0+，則

所以Ξ（σ）≥0，σ∈Ω0，即S是系統(tǒng)Σ 的p-階矩吸引集.

由函數(shù)Ξ（y）的定義，易知集合

3 例子

例3.1考慮如下的一維時(shí)滯的隨機(jī)不確定微分方程

其中，xt（θ）=x（t+θ），-1≤θ≤0.

假設(shè)F和G滿足

因?yàn)辇R次確定方程

所以有Ξ（y）=（Ξ1（y），Ξ2（y））T，其中