孟獻(xiàn)青

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同 037009）

極限是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高等數(shù)學(xué)的重要思想方法和研究工具，是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一個(gè)難關(guān)，尤其它的思維方式和思考方法對(duì)學(xué)好高等數(shù)學(xué)非常重要。極限的求解方法靈活多變，技巧性強(qiáng)[1-3]。文章對(duì)幾種常見(jiàn)函數(shù)的極限計(jì)算方法進(jìn)行了歸納和總結(jié)。極限運(yùn)算法則、洛必達(dá)法則、分子（分母）有理化、無(wú)窮小的性質(zhì)，極限存在總則，這些都是求極限常用的方法，下面對(duì)幾種常見(jiàn)函數(shù)的極限方法進(jìn)行研究。

1 分式函數(shù)的極限

1.1 利用極限運(yùn)算法則求極限

極限運(yùn)算法則是計(jì)算極限最基本的依據(jù)，對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)而言，求極限可以直接計(jì)算函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，但對(duì)于分式函數(shù)而言，如果分母的極限不為零，那么可以直接求函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，然后應(yīng)用極限運(yùn)算法則求解。

1.2 利用無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系求極限

如果分式函數(shù)分母的極限為零，分子極限不為零，可用無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系求極限。

1.3 利用消去零因子法求極限

如果分子極限也為零，此時(shí)根據(jù)所給函數(shù)的特征，可以利用消去零因子法，也可以利用洛必達(dá)法則。如

例3求

解當(dāng)x→1 時(shí)，分子，分母極限都趨于零，先約去零因子x-1，再求極限。

1.4 利用洛必達(dá)法則求極限

例3的第二種解法。

解型，利用洛必達(dá)法則得

如果分子分母的極限都趨于∞，此時(shí)可以分出無(wú)窮小求極限，也可以利用洛必達(dá)法則。

1.5 利用無(wú)窮小分出法求極限

例4

無(wú)窮小分出法:分子分母同除以分母中自變量的最高次冪,分離出無(wú)窮小,然后再求極限。

解x→∞時(shí)，分子分母的極限都趨于∞，分子分母同時(shí)除以x3，分出無(wú)窮小，再求極限。

例4也可用洛必達(dá)法則求解。

對(duì)于例4而言，利用無(wú)窮小分出法求極限比洛必達(dá)法則更為簡(jiǎn)便快捷，所以對(duì)于例4 這種類(lèi)型，常用無(wú)窮小分出法求解。

結(jié)論當(dāng)a0≠0,b0≠0,m,n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，有

1.6 利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限

例5求

解當(dāng)x→∞時(shí)，為無(wú)窮小，而sinx是有界函數(shù)，所以由無(wú)窮小的性質(zhì)得

1.7 利用等價(jià)無(wú)窮小替換求極限

常用的等價(jià)無(wú)窮小替換，當(dāng)x→∞時(shí)，sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，arctanx～x，ln(1+x)～x，ex-1～x，

注意：利用等價(jià)無(wú)窮小替換時(shí)，必須對(duì)函數(shù)的因子或整體進(jìn)行無(wú)窮小代換，當(dāng)分子或分母中含有和式時(shí)，不能將和式中的某項(xiàng)或某幾項(xiàng)進(jìn)行代換。如上式中，不能直接將x-sinx替換成x-x，否則容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

數(shù)列可以看成自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，為了敘述統(tǒng)一，此處稱(chēng)為數(shù)列函數(shù)。

2 數(shù)列函數(shù)的極限

2.1 利用通分化簡(jiǎn)求極限

結(jié)論：有限個(gè)無(wú)窮小的和是無(wú)窮小，但無(wú)限個(gè)無(wú)窮小的和未必是無(wú)窮小。

2.2 利用極限存在準(zhǔn)則求極限

極限存在準(zhǔn)則有夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則，主要方法是進(jìn)行放縮，然后再求極限。

2.3 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限

由收斂級(jí)數(shù)的必要性知，如果級(jí)數(shù)收斂，則一般項(xiàng)趨于零。所以若以數(shù)列的通項(xiàng)為一般項(xiàng)的級(jí)數(shù)的斂散性容易判定，此時(shí)可以考慮用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限。

3 冪指函數(shù)的極限

定義1底數(shù)與指數(shù)中都含有變量的函數(shù)，稱(chēng)為冪指函數(shù)，記為u(x)v(x)，其中u(x) ＞0,u(x) ≠1。

冪指函數(shù)求極限，常用方法如下：

（2）若limu(x)=a＞0,limv(x)=b，則limu(x)v(x)=ab；

（3）利用對(duì)數(shù)恒等式

u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)，

則

limu(x)v(x)=limev(x)lnu(x)=elimv(x)lnu(x)。

注意：這里的lim 都表示在自變量同一變化過(guò)程中的極限。

3.1 化簡(jiǎn)成重要極限的形式求極限

3.2 利用對(duì)數(shù)恒等式求極限

在求函數(shù)極限時(shí)，經(jīng)常要把幾種方法綜合使用，這樣才會(huì)簡(jiǎn)化計(jì)算。

4 分段函數(shù)的極限

4.1 利用左右極限求分段點(diǎn)處的極限

討論分段函數(shù)f(x)在分段點(diǎn)x0處的極限，一般應(yīng)根據(jù)左右極限來(lái)判斷，如果f(x)在點(diǎn)x0處左右極限存在且相等，則極限存在，否則極限不存在。

例13設(shè)

解x=0是函數(shù)的分段點(diǎn)，左右極限分別是

4.2 利用夾逼準(zhǔn)則求分段函數(shù)的極限

定義2不超過(guò)x(x∈R)的最大整數(shù)稱(chēng)為取整函數(shù)，記為[x]。

如果函數(shù)表達(dá)式中包含取整函數(shù)，則通常用夾逼準(zhǔn)則求極限。

對(duì)分式函數(shù)，數(shù)列函數(shù)，冪指函數(shù)及分段函數(shù)的極限進(jìn)行了分類(lèi)探討，進(jìn)而對(duì)極限的概念和思維有了更深刻的認(rèn)識(shí)，極限的計(jì)算方法靈活多樣，想要巧妙求解極限，除了多做練習(xí)，還要對(duì)求解方法進(jìn)行歸納分析，這樣才能不斷提高應(yīng)用能力。