閆帥明，卜旭輝，朱盼盼，許漂漂

(河南理工大學(xué) 電氣工程與自動化學(xué)院，河南 焦作 454000)

0 引言

目前，城市高速公路是現(xiàn)代城市地面交通系統(tǒng)的重要組成部分之一。它被用于居民在城市快速旅行，提高車輛效率并有一定的可靠性[1-3]。然而，隨著經(jīng)濟的發(fā)展，車輛保有率的增高，快速公路承受越來越大的交通壓力[4]。入口匝道控制是高速公路交通控制中最有效的控制方法之一。目前有許多關(guān)于高速公路的先進控制算法，如時序控制算法[5]，感應(yīng)控制算法[6-7]，迭代學(xué)習(xí)控制(ILC)[8]，ALINEA控制算法[9-11]和瓶頸路段匝道控制算法[12]等。通過建立高速公路精確交通流模型的方法，針對入口匝道的控制已有很多研究結(jié)果。其中文獻[13]基于交通流模型，利用遺傳算法提出具有遞歸環(huán)節(jié)的動態(tài)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)城市高速公路的入口匝道智能控制，并通過仿真對比驗證了算法優(yōu)越性；文獻[14]通過使用模型預(yù)測的方法，以平均速度為控制標(biāo)準(zhǔn)提出了多交通的協(xié)同控制方案，并通過仿真驗證該方案的有效性。在精確的高速公路交通流模型下，上述方案對高速公路控制達到了期望控制效果。

由于高速公路系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，道路中行駛車輛的交通機制有所不同，難以用精確的模型描述系統(tǒng)的運行特性。而且，現(xiàn)代高速公路交通控制系統(tǒng)在控制中心和執(zhí)行器之間傳輸交通流量輸入數(shù)據(jù)時，可能會由于網(wǎng)絡(luò)控制中網(wǎng)絡(luò)擁塞、通信沖突和連接中斷等現(xiàn)象造成交通控制中的數(shù)據(jù)丟失，最終影響控制效果。上述文獻大多基于精確交通流模型進行控制且未考慮高速公路網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中存在的數(shù)據(jù)丟包問題。

考慮上述問題，本研究基于宏觀交通流模型和一般非線性系統(tǒng)無模型自適應(yīng)控制[15](MFAC)方案，提出了一種在數(shù)據(jù)丟失的情況下具有丟失數(shù)據(jù)補償?shù)腗FAC方案。針對在高速公路入口匝道網(wǎng)絡(luò)控制中存在的隨機數(shù)據(jù)丟包問題，首先，將高速公路車流量密度數(shù)據(jù)丟失現(xiàn)象描述為取值0/1的伯努利序列，并提出僅利用系統(tǒng)輸入和數(shù)據(jù)丟包下輸出數(shù)據(jù)構(gòu)造的控制器。其次，考慮到數(shù)據(jù)丟失對系統(tǒng)控制性能的影響，進一步設(shè)計了數(shù)據(jù)丟失補償算法。最后通過MATLAB仿真表明，該方案能保證在數(shù)據(jù)丟失下高速公路輸出密度收斂于期望值。

1 系統(tǒng)模型和問題描述

1.1 系統(tǒng)模型

交通流模型描述了隨著時間的變化交通流狀態(tài)變量和交通控制變量之間的關(guān)系。宏觀動態(tài)交通流模型可以準(zhǔn)確地描述高速公路各段的交通狀況[16]。

本研究采用Papageorgiou[17]提出的宏觀交通流模型。圖1為高速公路段的劃分示意圖。

圖1 高速公路各路段示意圖

快速道路宏觀交通流模型的離散化可以如下表示：

(1)

qi(t)=ρi(t)vi(t)，

(2)

(3)

(4)

式中，t∈{0,1,…,k}為第k個采樣間隔；i∈{1,…，N}為第i個高速公路路段；N為路段的總數(shù)；ρi(t)為在第k個時段，路段i上交通流的平均密度；vi(t)為在第t個時段，路段i上車輛的平均速度；qi(t)為在第t個時段，從路段i到路段i+1的交通流量；ri(t)為入口匝道流量，指在第t個時段從入口匝道進入路段i的交通流量；si(t)為出口匝道流量，指在第t個時段從出口匝道駛出路段i的交通流量；Li為高速公路路段i的長度；vf為自由流速度(當(dāng)車輛密度為零時車輛的最大允許速度)；ρm為臨界密度，即該路段的最大車流密度；T為采樣周期；τ，γ，κ，l,m為常數(shù)，為交通特定參數(shù)。

注1：模型滿足當(dāng)車輛以最大速度通過檢測區(qū)域時所用的時間應(yīng)該小于等于采樣周期。即，T≤Lmin/vf，其中Lmin為檢測區(qū)域的最小值。

假定在第t個到第t+1個采樣時間內(nèi)進入第1個路段的車流量為q0(t)，車輛的平均速度等于第1個路段上車輛的平均速度，即v0(t)=v1(t)，且進入第N+1個路段的車輛平均速度和密度分別等于路段N上平均速度和密度，即:

vN+1(t)=vN(t),ρN+1(t)=ρN(t)。

(5)

那么，上述高速公路交通流模型的邊界條件可歸納為:

ρ0(t)=q0(t)/v1(t)，

(6)

v0(t)=v1(t)，

(7)

ρN+1(t)=ρN(t)，

(8)

vN+1(t)=vN(t)。

(9)

通過上述的模型描述發(fā)現(xiàn)，在以緩解交通擁堵的目的下，可以通過限制高速公路入口匝道的車流量來達到控制目的。即，在數(shù)學(xué)描述中，以入口匝道流量ri(t)為系統(tǒng)的控制輸入信號、該路段的車流密度ρi(t)為系統(tǒng)的輸出信號。

根據(jù)式(1)～(4)，高速公路系統(tǒng)第i個路段的非線性離散時間模型如下表示：

ρi(t+1)=f[ρi(t),ri(t)]，

(10)

式中f(…)為未知非線性函數(shù)。

假設(shè)1 除有限時間點外，f(…)關(guān)于第2個變量的偏導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。

假設(shè)2 非線性函數(shù)f(,)滿足全局Lipschitz連續(xù)條件，|ρi(t+1)-ρi(t)|≤b|ri(t)-ri(t-1)|，其中b>0。

1.2 問題描述

現(xiàn)代高速公路交通控制系統(tǒng)可用于在現(xiàn)場數(shù)據(jù)獲取單元和控制中心之間傳輸交通流量輸出數(shù)據(jù)，并在控制中心和執(zhí)行器之間傳輸交通流量輸入數(shù)據(jù)。但是，在網(wǎng)絡(luò)控制中網(wǎng)絡(luò)擁塞、通信沖突和連接中斷等現(xiàn)象是不可避免的，最終導(dǎo)致交通數(shù)據(jù)丟失。交通數(shù)據(jù)的丟失將直接影響控制中心對交通系統(tǒng)的控制效果。

由于在本研究交通流密度ρi(t)為控制輸出，所以在網(wǎng)絡(luò)中密度將是控制中心與控制現(xiàn)場之間傳遞的主要數(shù)據(jù)。因此，考慮輸出的車輛密度ρi(t)在網(wǎng)絡(luò)傳輸過程中出現(xiàn)丟包現(xiàn)象，并假設(shè)道路交通控制器可以實時監(jiān)測到高速公路車輛密度是否丟失。本研究將車輛密度數(shù)據(jù)丟失現(xiàn)象描述為概率已知的伯努利序列[18]α(t)，當(dāng)系統(tǒng)檢測到交通流密度數(shù)據(jù)丟失時α(t)取值為0，否則α(t)取值為1，其定義為：

(11)

由此，本研究的控制目標(biāo)是，針對式(5)，設(shè)計合適的控制算法，當(dāng)測量密度ρi(t)存在部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失情況時，通過調(diào)整輸入車輛ri(t)使得輸出車流密度能夠收斂于期望密度ρd。使控制路段密度能夠穩(wěn)定在期望值附近。

2 控制方案設(shè)計

根據(jù)上節(jié)對問題的描述和控制目標(biāo)的分析，本節(jié)給出具體的控制方案設(shè)計。

定理1[15]對于滿足假設(shè)1和假設(shè)2條件的快速交通流量式(5)，當(dāng)|Δri(t)|≠0時有一個稱為偽偏導(dǎo)數(shù)(PPD)的時變參數(shù)φi,c(t)∈R，可以把式(5)轉(zhuǎn)化為以下模型：

Δρi(t+1)=φi.c(t)Δri(t)，

(12)

且φi,c(t)為對于任意時刻t收斂。

定理2[15]對于滿足假設(shè)1和假設(shè)2的高速公路式(5)，如果存在一個正數(shù)t0>1使得：

(13)

那么對于任意t≥t0總可以找到一個有界的整數(shù)δ，使得：

(14)

同時存在一個偏導(dǎo)數(shù)(PDD)φi,c使得式(5)轉(zhuǎn)換成如下形式：

ρi(t+1)-ρi(t-δt+1)=φi,c(t)[ri(t)-

ri(t-δt)],

(15)

并且對于任意時刻t，φi,c(t)有界。

故系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)換成如下數(shù)據(jù)模型：

ρi(t+1)=ρi(t)+φi,c(t)Δri(t)。

(16)

(17)

當(dāng)出現(xiàn)數(shù)據(jù)丟失時，可以利用式(11)對ρi(t)進行估計，表達如下：

(18)

通過以上描述，可以給出在高速公路系統(tǒng)中，出現(xiàn)測量交通流密度丟失情況下帶有丟失數(shù)據(jù)補償?shù)腗FAC方案：

(19)

(20)

(21)

式中λ>0，μ>0，ρ∈(0,1]，η∈(0,1]，ξ為一個小正數(shù)。

該方案的實現(xiàn)流程如圖2所示。

圖2 具有數(shù)據(jù)丟失補償控制方法流程圖

3 收斂性分析

假設(shè)3:在高速公路系統(tǒng)中，給定期望密度ρi,d(t+1)，總存在一個有界的輸入ri(t)，使得高速公路系統(tǒng)的輸出ρi(t+1)等于期望密度。

ρi(t+1)=ρi,d(t+1)。

(22)

定理3：在滿足假設(shè)1,假設(shè)2，假設(shè)3和假設(shè)4的條件下，在車輛輸出密度丟失的情況下應(yīng)用方案(14)～(16)，當(dāng)期望密度ρi,d(t)=ρi,d為常值時，則系統(tǒng)的輸出誤差是收斂的。

對于輸出數(shù)據(jù)丟失時刻kz-1+2有:

(23)

以此，對于輸出數(shù)據(jù)丟失時刻tz-1+1有：

Δri(tz-2)。

(24)

對于數(shù)據(jù)丟失時刻tz-1

(25)

定義系統(tǒng)跟蹤誤差為：

ei(t)=ρd-ρi(t)。

(26)

利用式(4)，式(21)寫為：

(27)

?

(28)

根據(jù)上式可推得：

(29)

若ei(tz-1)≠0由式(29)可得:

Δri(t)≠0，

其中，tz-1

ρi(t)=ρi(t-1)+φi,c(t-1)Δri(t-1)

?

=ρi(tz-1)+φi,c(tz-1)Δri(tz-1)+…

+φi(t-2)Δri(t-2)。

(30)

將式(29)、(30)代入式(26)得：

ei(t)=ei(tz-1)-φi,c(tz-1)Δri(tz-1)-…-φi,c(t-2)

Δri(t-2)-φi,c(t-1)Δri(t-1)=ei(tz-1)·

(31)

(32)

(33)

(34)

若選擇ρ∈(0,1]，λ>(b+b1)2/4，可得

(35)

由式(35)可知，存在一個正數(shù)d′(t-tz-1)，使得：

(36)

對式(31)取絕對值，則式(36)可改為：

(37)

如上結(jié)果可以證明，當(dāng)輸出密度出現(xiàn)丟失的時候，式(19)～(21)能夠保證輸出誤差收斂且有界。

4 仿真研究

本研究仿真設(shè)計一條6 km的單車道高速公路，有12個路段，每個路段的長度為0.5 km，所需密度(期望密度)為ρd=30 veh/km。進入第1段的交通流量是1 500 veh/km。 其中，第4路段有個入口匝道，第7路段有一個出口匝道，入口匝道交通流為r(t)=250+10 sin(t×pi/n)，其中n為采樣間隔。 表1中列出了每個參數(shù)的值和變量的初始值。其中，T滿足T≤Lmin/vf。

當(dāng)在輸出數(shù)據(jù)沒有丟失時，MFAC方案用于控制高速公路匝道。其中參數(shù)分別為ρ=5，η=0.07，μ=0.09，λ=15，ξ=5×10-5，仿真結(jié)果如圖3～4所示。

表1 模型參數(shù)以及各路段交通流密度和速度的初始值

圖3和圖4顯示了使用MFAC方案時第7路段上數(shù)值交通流密度的跟蹤誤差和跟蹤效果。仿真結(jié)果表明，隨著時間的增加，在沒有輸出密度丟失的情況下，交通流密度逐漸收斂到期望值。該方案利用高速公路運輸系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，調(diào)整入口匝道路段的車流量，使主干道上的交通流密度連續(xù)接近所需密度，達到期望的控制效果。

當(dāng)出現(xiàn)交通流輸出密度數(shù)據(jù)丟失的情況下，使用沒有丟失數(shù)據(jù)補償?shù)腗FAC方案和具有數(shù)據(jù)丟失的丟失數(shù)據(jù)補償?shù)腗FAC方案式(19)～(21)，研究輸出數(shù)據(jù)丟失率為70%時的跟蹤誤差和跟蹤效果。仿真結(jié)果如圖5～6所示。

圖3 交通流密度的跟蹤誤差

圖4 交通流密度的跟蹤效果

圖5和圖6顯示出了當(dāng)交通流量系統(tǒng)的輸出數(shù)據(jù)丟失率為70%時兩種方案下路段7的交通流信息。圖5(a)和圖6(a)分別為當(dāng)輸出數(shù)據(jù)丟失率為70%時，沒有數(shù)據(jù)補償?shù)腗FAC方案的跟蹤誤差和跟蹤效果。 圖5(b)和圖6(b)顯示了通過數(shù)據(jù)補償獲得的跟蹤誤差和跟蹤效果。通過對比發(fā)現(xiàn)，在沒有改進的算法中，仿真進行到800個采樣周期左右跟蹤誤差可以收斂到零，此時跟蹤效果收斂于期密度。在丟失數(shù)據(jù)補償?shù)慕Y(jié)果中，仿真到500個采樣周期時跟蹤誤差收斂于零，跟蹤效果收斂于期望密度。通過對比驗證了算法的收斂性和算法的優(yōu)越性。

圖7(a)、(b)顯示了當(dāng)數(shù)據(jù)丟失率為80%時沒有數(shù)據(jù)丟失補償?shù)腗FAC方案和具有數(shù)據(jù)丟失補償MFAC方案的交通流密度跟蹤誤差。 圖8(a)、(b)顯示了當(dāng)數(shù)據(jù)丟失率為80%時，沒有數(shù)據(jù)丟失補償?shù)腗FAC和具有數(shù)據(jù)丟失補償?shù)腗FAC的交通流密度跟蹤效果。從圖7可以看出，在1 300個采樣周期左右MFAC方案的跟蹤誤差收斂于零，跟蹤效果收斂于期望密度。在700個采樣周期左右改進算法的跟蹤誤差收斂于零，跟蹤效果收斂于期望值。通過對比可知，在任何丟失率下帶有數(shù)據(jù)丟失補償方案的跟蹤誤差和跟蹤效果要優(yōu)于普通MFAC方案。

圖5 數(shù)據(jù)丟失70%的交通流密度跟蹤誤差

圖6 數(shù)據(jù)丟失70%的交通流密度跟蹤效果

圖7 數(shù)據(jù)丟失80%的交通流密度跟蹤誤差

圖8 數(shù)據(jù)丟失80%的交通流密度跟蹤效果

從圖3～圖8可以看出，當(dāng)系統(tǒng)輸出數(shù)據(jù)丟失時，隨時率的增大系統(tǒng)的跟蹤誤差和密度跟蹤效果雖然都能達到收斂但速度會越來越慢，可以看出數(shù)據(jù)丟失的情況會對系統(tǒng)的穩(wěn)定造成一定的影響。又通過圖5～圖8的對比不難看出，該補償方案很大程度上削弱了數(shù)據(jù)丟失對控制系統(tǒng)的影響，從結(jié)果可以看出該補償算法已經(jīng)達到期望效果。

5 結(jié)論

基于宏觀交通流模型，將一般離散非線性系統(tǒng)的MFAC方案應(yīng)用于快速道路交通系統(tǒng)，并通過仿真驗證。考慮到高速公路交通控制中的輸出交通流密度數(shù)據(jù)丟失情況，提出了具有丟失數(shù)據(jù)補償?shù)腗FAC方案。該方案利用MFAC算法內(nèi)部的偽梯度估計值、輸入流量和輸出密度歷史值構(gòu)造丟失數(shù)據(jù)補償算法對數(shù)據(jù)丟失時刻交通流密度進行補償。仿真結(jié)果表明，該方案將交通流密度收斂到預(yù)期值，而且隨著丟失率的增加變化該方案都能達到理想的控制效果。仿真結(jié)果驗證了該方案的有效性和普遍性。