李樂毅

(四川建筑職業(yè)技術學院 機電與信息工程系，四川 德陽 618000)

0 引言

近幾年，國內外專家學者設計提出了一種新型增強有限元算法，該算法在有限元模擬過程中無需設置額外的單元節(jié)點或多余約束就能夠分析彈性材料中的任意裂紋萌生與擴展，以及多條裂紋的相互影響。由于該方法在裂紋擴展的數值分析上具有精度高、穩(wěn)定性好、耗時短等優(yōu)點，進而展現出了更廣的應用前景[1-4]，但是，新型增強有限元算法尚未用于模擬復合金屬材料的裂紋斷裂。為此，本文基于材料力學推導出復合金屬材料桿加載模型的解析表達式，并借助有限元軟件Abaqus討論不同斷裂韌性對新型增強有限元算法模擬穩(wěn)定性的影響，以揭示該方法潛在的數值不穩(wěn)定性因素。

1 新型增強有限元算法理論

新型增強有限元算法引入了線性等向強化模型用來模擬材料網格單元或裂紋擴展后子單元的彈塑性效應，采用米塞斯屈服函數對材料網格單元或裂紋擴展后子單元的彈塑性狀態(tài)進行動態(tài)判斷，一方面結合三角形內聚力模型模擬材料網格單元隨后的裂紋萌生和擴展過程；另一方面，利用有限元軟件Abaqus自帶的用戶自定義程序，將增強有限元算法導入其中。

圖1 復合金屬材料桿加載過程中加載點載荷-位移曲線

在第①段加載過程中，復合金屬材料桿位于彈性變形狀態(tài)，施加的位移載荷u的界限為：

(1)

(2)

其中：l為桿長；E為材料的彈性模量。

根據圖1中第①段曲線的幾何關系可得：

(3)

其中：σ為材料不同加載時段的實時應力；A為桿的橫截面積。從而有：

(4)

在第②段加載過程中，復合金屬材料桿位于塑性變形狀態(tài)，施加位移載荷范圍為：

(5)

(6)

其中：h為材料的塑性模量。

根據圖1中第②段曲線的幾何關系可得：

(7)

進而有：

(8)

在第③段曲線中，復合金屬材料桿位于內聚力裂紋階段，施加位移載荷范圍為：

(9)

(10)

其中：δnc為材料完全斷裂分離的位移臨界值。

根據圖1中第③段曲線的幾何關系可得：

(11)

進而有：

(12)

在第④段曲線中，復合金屬材料桿位于內聚力裂紋擴展階段，施加位移載荷范圍為：

(13)

根據圖1中第④段曲線的幾何關系可得：

F=0.

(14)

在第⑤段曲線中，復合金屬材料桿位于塑性卸載階段，剛卸載時對應的位移為u*、應力為σ*，施加位移載荷范圍為：

(15)

(16)

根據圖1中第⑤段曲線的幾何關系可得：

(17)

進而有：

(18)

(19)

根據圖1中第⑥段曲線的幾何關系可得：

(20)

進而有：

(21)

綜上所述，圖1中第①段～④段曲線的載荷F與位移u之間的函數關系為：

(22)

圖1中第⑤段、⑥段曲線的載荷F與位移u之間的函數關系為：

(23)

2 復合金屬材料斷裂有限元模擬

2.1 幾何尺寸及材料參數

復合金屬材料在工業(yè)生產和制造等領域具有非常廣泛的應用，且通常被應用于載荷變化復雜、持續(xù)受力時間較長和工況惡劣的環(huán)境，所以極易出現斷裂破壞進而導致局部失效甚至全局破壞。因此，精準模擬復合金屬材料的斷裂擴展具有十分重大的工程實際意義。采用試驗方法進行分析時，通常采用萬能拉伸機對復合金屬材料桿進行拉伸試驗，拉伸試件的標準幾何尺寸如圖2所示。

圖2 復合金屬材料桿拉伸試件幾何尺寸

復合金屬材料試件總長度l=200 mm，左右兩側夾頭長度均為70 mm、寬為20 mm，發(fā)生拉伸斷裂破壞的中間部位長60 mm、寬為12 mm，材料的彈性模量E=60 GPa，塑性模量h=527 MPa，屈服應力σy=220 MPa。

2.2 數值穩(wěn)定與失穩(wěn)對比

將圖2中的復合金屬材料拉伸試件簡化成一維桿模型進行有限元數值模擬。由于復合金屬材料拉伸試件在試驗過程中發(fā)生伸長與斷裂的位置主要在l=60 mm處，因此，可以將上述簡化的一維桿模型劃分成11個桿單元，同時通過改變模擬時復合金屬材料的斷裂韌性對其裂紋斷裂有限元模擬的數值穩(wěn)定性進行討論。

對簡化的一維桿模型施加位移載荷直至桿件斷裂的過程采用新型增強有限元算法進行裂紋斷裂有限元數值模擬，分別取0.2Γ、0.6Γ與1.0Γ(Γ為材料的斷裂韌性值)三種不同斷裂韌性進行有限元模擬。三種不同斷裂韌性下加載點應力-應變曲線理論解析解與有限元模擬結果(FEM)對比如圖3所示。由圖3可以看出:斷裂韌性取0.2Γ時，應變值理論解析解最終為0.076 9，有限元模擬最終值為0.08；斷裂韌性取0.6Γ時，應變值理論解析解最終值為0.078 9，有限元模擬最終值為0.08；斷裂韌性取1.0Γ時，應變值理論解析解與有限元模擬最終值都為0.08。斷裂韌性取0.2Γ和0.6Γ時，應變值有限元模擬結果與理論解析線不重合，但斷裂韌性取1.0Γ時，應變值有限元模擬結果與理論解析線重合，這說明斷裂韌性取0.2Γ和0.6Γ時有限元數值模擬結果不穩(wěn)定。

圖3 0.2 Γ、0.6 Γ與1.0 Γ三種不同斷裂韌性下加載點應力-應變曲線

分別取斷裂韌性為1.0Γ、2.0Γ與6.0Γ,對簡化的一維桿模型施加位移載荷直至桿件斷裂的過程采用新型增強有限元算法進一步進行裂紋斷裂有限元數值模擬，加載點應力-應變曲線理論解析解與有限元模擬結果對比如圖4所示。由圖4可以看出:斷裂韌性取2.0Γ時，最終應變值理論解析解與有限元模擬結果都為0.085 7；斷裂韌性取6.0Γ時，最終應變值理論解析解與有限元模擬結果都為0.105 1。圖4的結構說明斷裂韌性取2.0Γ與6.0Γ時，有限元數值模擬結果同樣穩(wěn)定。

圖4 1.0Γ、2.0Γ與6.0Γ三種不同斷裂韌性下加載點應力-應變曲線

所以，在采用新型增強有限元算法對復合金屬材料進行裂紋斷裂有限元模擬過程中，其穩(wěn)定性與設置的復合材料斷裂韌性值有關。當設置的斷裂韌性值小于真實值時，會出現裂紋斷裂有限元模擬結果失穩(wěn)；當設置的斷裂韌性值大于或等于真實值時，復合金屬材料裂紋斷裂有限元模擬結果與理論解析結果高度重合，具有良好的穩(wěn)定性。復合金屬材料在工程實際應用中，其斷裂韌性值會隨著加載速度和溫度的變化而動態(tài)改變，所以在采用新型增強有限元算法對復合金屬材料進行裂紋斷裂有限元模擬的過程中，當斷裂韌性值無法通過試驗精準確定時，在有限元模擬過程中只需設置較大的斷裂韌性值，就可以穩(wěn)定得到與理論結果高度重合的復合金屬材料裂紋斷裂有限元模擬結果。

3 結語

將新型增強有限元算法應用于復合金屬材料裂紋斷裂的有限元模擬，并基于材料力學推導出復合金屬材料桿加載模型的解析表達式，最后通過討論不同斷裂韌性對新型增強有限元算法模擬穩(wěn)定性的影響，可以得出結論：當復合金屬材料斷裂韌性值無法通過試驗精準確定時，在有限元模擬過程中只需設置較大的斷裂韌性值，就可以穩(wěn)定得到與理論結果高度重合的復合金屬材料裂紋斷裂有限元模擬結果。