巴發(fā)海, 李 凱，徐凌云，李思瑾

(1.上海材料研究所 上海市工程材料應(yīng)用與評(píng)價(jià)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200437;2.上海海關(guān)工業(yè)品與原材料檢測(cè)技術(shù)中心， 上海 200135)

金屬構(gòu)件在生產(chǎn)制造及服役過(guò)程中都會(huì)產(chǎn)生殘余應(yīng)力，殘余拉應(yīng)力可能使鑄件或焊件在冷卻過(guò)程中發(fā)生開(kāi)裂，而噴丸產(chǎn)生的殘余壓應(yīng)力能提高工件的疲勞壽命。準(zhǔn)確測(cè)定殘余應(yīng)力是避免殘余應(yīng)力危害、利用殘余應(yīng)力優(yōu)點(diǎn)的重要基礎(chǔ)工作。標(biāo)準(zhǔn)GB/T 7704-2017 《無(wú)損檢測(cè) X射線應(yīng)力測(cè)定方法》 為國(guó)內(nèi)廣大測(cè)試人員提供了重要的檢測(cè)依據(jù)，但是其對(duì)于原理的描述卻不夠詳盡，尤其對(duì)于三維殘余應(yīng)力測(cè)試部分需要進(jìn)一步細(xì)化。殘余應(yīng)力測(cè)試?yán)碚摲稚⒃诓牧狭W(xué)、彈性力學(xué)以及部分?jǐn)?shù)理統(tǒng)計(jì)等部分中，較少有文獻(xiàn)資料集中完善地描述整個(gè)過(guò)程，這給標(biāo)準(zhǔn)GB/T 7704-2017的普及使用帶來(lái)一定的困難[1-2]。筆者基于柯西應(yīng)力、柯西應(yīng)變、胡克定律等彈性力學(xué)知識(shí)，較為完整地推導(dǎo)了殘余應(yīng)力的測(cè)試公式，并具體分析了平面應(yīng)力與三維應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力張量的計(jì)算過(guò)程，解釋了一些容易誤解的概念符號(hào)，指出了在測(cè)試過(guò)程中需要注意的問(wèn)題。

1 任意方向正應(yīng)變?chǔ)纽咋着c應(yīng)力張量σij的關(guān)系

X射線測(cè)定殘余應(yīng)力的基本坐標(biāo)系如圖1所示，以試樣表面為xOy平面，垂直于試樣表面方向?yàn)閦軸方向建立xyz坐標(biāo)系。εφψ為(φ,ψ)方向上的正應(yīng)變，其中ψ為εφψ與z軸的夾角，φ為εφψ在xOy平面的投影與x軸的夾角。σφ在xOy平面內(nèi)，為待測(cè)應(yīng)力方向，其與z軸組成的平面為待測(cè)平面。GB/T 7704-2017在其3.2節(jié)表1中描述：“τφ是σφ作用面上垂直于試樣表面方向的切應(yīng)力分量”[1]，可見(jiàn)τφ方向與z軸方向一致，這與常規(guī)表述方法有所不同。X射線法直接測(cè)定的數(shù)據(jù)是衍射角，根據(jù)布拉格方程可以計(jì)算得出以εφψ方向?yàn)榉ㄏ蛄康钠矫婢?衍射晶面)的應(yīng)變，即εφψ。

圖1 X射線測(cè)定殘余應(yīng)力坐標(biāo)系

1.1 εφψ計(jì)算

εφψ表示(φ,ψ)方向上的正應(yīng)變，在小變形條件下，根據(jù)柯西應(yīng)變公式可以得到εφψ與應(yīng)變張量分量εij之間的關(guān)系[3]，如式(1)所示。

(1)

表1 ninj計(jì)算結(jié)果

通過(guò)廣義胡克定律可以進(jìn)一步建立εφψ與應(yīng)力張量σij之間的關(guān)系[3]。在各向同性條件下如式(2)所示。

(2)

將式(2)代入式(1)得

(3)

合并同類項(xiàng)可得

(σ11cos2φ+σ12sin2φ+σ22sin2φ)sin2ψ+

(σ23sinφ+σ13cosφ)sin2ψ+σ33cos2ψ

(4)

cos2φsin2ψ+sin2φsin2ψ+cos2ψ=1

(5)

將式(4)，(5)代入式(3)可得式(6)。

(6)

(7)

1.2 σφ及τφ的計(jì)算

在小變形條件下，根據(jù)柯西應(yīng)力公式可以得出(φ,ψ)方向上總應(yīng)力Tφψ、正應(yīng)力分量σφψ、切應(yīng)力分量Sφψ與應(yīng)力張量分量σij之間的關(guān)系[3]，如式(8)(10)所示。

(8)

(9)

(10)

式中:i,j,k=1,2,3。

當(dāng)ψ=π/2時(shí)，將{(φ,ψ)=π/2}簡(jiǎn)寫(xiě)為φ，σφψ即為圖1中的正應(yīng)力分量σφ，切應(yīng)力分量Sφ在z軸上面的分量為τφ。φ對(duì)應(yīng)的方向余弦為

(11)

將式(11)代入式(9)可得

σφ=σ11cos2φ+σ22sin2φ+σ12sin 2φ

(12)

令z軸單位向量為z=(0,0,1)，采用向量表示

τφ=Sφ·z=(Tφ-σφ)·z

由于σφ與z垂直，σφ·z=0，因此有

τφ=Tφ·z

(13)

即τφ同時(shí)為Tφ在z軸上的分量，

化簡(jiǎn)可得：

τφ=σ13cosφ+σ23sinφ

(14)

式(12),(14)分別是GB/T 7704-2017中的公式(4)和公式(5)。將其代入式(7)可得

(15)

式(12)適用于三維應(yīng)力狀態(tài)與平面應(yīng)力狀態(tài)，但是部分資料中對(duì)式(12)在平面應(yīng)力下的表述如式(16)所示[4]

σφ=σ11cos2φ+σ22sin2φ-τ12sin 2φ

(16)

這是由于彈性力學(xué)與材料力學(xué)中對(duì)于切應(yīng)力方向規(guī)定不同，實(shí)質(zhì)并無(wú)差別。平面應(yīng)力莫爾圓如圖2所示。

圖2 平面應(yīng)力莫爾圓

采用彈性力學(xué)中的應(yīng)力莫爾圓計(jì)算σφ，也可以獲得與式(16)一致的結(jié)果。C,E,D點(diǎn)分別為x軸,y軸以及σφ對(duì)應(yīng)平面。莫爾圓中兩應(yīng)力的夾角是實(shí)際應(yīng)力夾角的兩倍，因此C,E在一條直線上，∠DO′C=2φ。在莫爾圓中由幾何關(guān)系可知

(17)

(18)

(19)

將式(19)代入式(18)，然后代入式(17)可得

σφ=σ11cos2φ+σ22sin2φ-τ12sin 2φ

1.3 布拉格方程分析

當(dāng)X射線到達(dá)晶面時(shí)，有一部分射線發(fā)生折射，另一部分發(fā)生反射，應(yīng)力儀可以接收反射的這部分射線，當(dāng)反射線光程差剛好等于波長(zhǎng)時(shí)，反射射線會(huì)發(fā)生加強(qiáng)，即產(chǎn)生衍射。布拉格方程表明，當(dāng)晶面間距d、入射角θ、波長(zhǎng)滿足2dsinθ=nλ時(shí)，會(huì)發(fā)生衍射，此時(shí)接收器會(huì)檢測(cè)出一個(gè)波峰，記錄此時(shí)的入射線角度，便可計(jì)算出反射線角度，即衍射角。布拉格方程建立了晶面間距與衍射角之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了通過(guò)測(cè)量衍射角來(lái)間接測(cè)量應(yīng)變。

采用工程應(yīng)變時(shí)：

(20)

根據(jù)布拉格方程,發(fā)生衍射時(shí)可推導(dǎo)出

(21)

式中:d0和θ0分別為無(wú)應(yīng)力情況下的晶面間距和入射角。

將f(x)=sinx在x=θφψ處二階泰勒展開(kāi)，得到

f(x)=sinθφψ+cosθφψ(x-θφψ)+o(x-θφψ)2

(22)

εφψ≈-cotθφψ(θφψ-θ0)

(23)

式中：o為泰勒展開(kāi)式中的余項(xiàng)(佩亞諾余項(xiàng))。

采用真應(yīng)變時(shí)

εφψ=ln sinθ0-ln sinθφψ

(24)

將f(x)=ln sinx在x=θ0處二階泰勒展開(kāi),得到

ln sinx=ln sinθ0+cotθ0(x-θ0)+o(x-θ0)2

(25)

εφψ≈-cotθ0(θφψ-θ0)

(26)

小變形情況下cotθφψ=cotθ0，此時(shí)無(wú)論采用工程應(yīng)變或真應(yīng)變，都有

(27)

2 平面應(yīng)力分析

在平面應(yīng)力狀態(tài)下，σ33=τ13=τ23=0,τφ=τ13cosφ+τ23sinφ=0，代入式(15)可得：

(28)

將式(28)對(duì)sin2ψ求偏導(dǎo),σ11+σ22+σ33為第一應(yīng)力張量不變量，因此

(29)

將式(27)代入式(29)可得

(30)

(31)

式中:α為主應(yīng)力與x軸夾角;s1,s2為主應(yīng)力; xy為切應(yīng)力。

3 三維應(yīng)力分析

在三維應(yīng)力情況下，2θ-sin2ψ非直線關(guān)系，無(wú)法求得斜率。此時(shí)需要用到“±ψ角應(yīng)變加減法”，即+ψ角與-ψ角對(duì)應(yīng)的應(yīng)變相加或相減之后再進(jìn)行擬合。GB/T 7704-2017根據(jù)實(shí)際情況在兩種情況下分別進(jìn)行了三維應(yīng)力分析。

3.1 σ33=0時(shí)的三維應(yīng)力分析

對(duì)于大多數(shù)金屬材料和零部件來(lái)說(shuō)，常規(guī)衍射儀X射線穿透金屬的深度通常在微米數(shù)量級(jí)，因此通常假設(shè)σ33=0(σ13≠0或σ23≠0或兩者均不等于0)。

3.1.1σφ與τφ計(jì)算

對(duì)于給定的φ角，在一系列±ψ角進(jìn)行測(cè)量，然后根據(jù)最小二乘法求可出σφ與τφ[5]。

將σ33=0代入式(15)即可得到GB/T 7704-2017中的式(7)，如式(32)所示。

(32)

將ψ=ψ+,ψ-分別代入式(25)得

(33)

(34)

根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)有sin2ψ+=sin2ψ-。

將式(33)與式(34)相加可得

(35)

(36)

將式(33)與式(34)相減可得

(37)

(38)

3.1.2 應(yīng)力張量分析

對(duì)于復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)，需要測(cè)定全部的應(yīng)力張量分量。在張量分析中應(yīng)至少測(cè)定3個(gè)獨(dú)立的φ方向，在每一個(gè)獨(dú)立的方向按上述方法分別測(cè)定σφi,τφi(i=1,2,3)。將σφi,τφi代入式(12)和式(14)可得線性方程組式(39)，(40)，即可解出各個(gè)應(yīng)力張量分量。

(39)

(40)

當(dāng)φ=0°,45°,90°時(shí)，代入式(30)得

(41)

同理可得

(42)

3.2 σ33≠0時(shí)的三維應(yīng)力分析

(43)

(44)

式(44)所示的線性方程組系數(shù)矩陣中前三列線性相關(guān)，因此不能通過(guò)增加φ方向來(lái)使方程組有唯一解。注意到在ψ=0°時(shí)，由式(6)可得

(45)

εψ=0°可根據(jù)式(27)計(jì)算。

聯(lián)立(44)，(45)可得

(46)

當(dāng)φi=0°,45°,90°時(shí)，方程組(46)的解為

(47)

3.3 示例計(jì)算

三維應(yīng)力狀態(tài)正負(fù)ψ角的曲線分叉示例如圖3所示[1]。下面以圖3(GB/T 7704-2017中的圖4)中的數(shù)據(jù)為例計(jì)算當(dāng)σ33=0時(shí)的三維應(yīng)力。

圖3 三維應(yīng)力狀態(tài)正負(fù)ψ角的曲線分叉示例

表2 ψ,ε數(shù)據(jù)

圖3中的ψ、ε如表2所示，由于只有一個(gè)φ角的數(shù)據(jù)，因此這里只計(jì)算σφ與τφ。

3.3.1 σφ計(jì)算

表 計(jì)算結(jié)果

第二步：根據(jù)最小二乘法擬合為直線，結(jié)果如圖4所示。

圖與sin2ψ+(-)的擬合結(jié)果

(48)

3.3.2τφ計(jì)算

第二步：根據(jù)最小二乘法擬合為直線，結(jié)果如圖5所示。

圖與sin 2ψ+的擬合結(jié)果

表計(jì)算結(jié)果

(49)

4 橢圓分析

采用±ψ角對(duì)應(yīng)應(yīng)變相加或相減的方法計(jì)算σφ與τφ時(shí)，τφ的誤差較大。GB/T 7704-2017在4.3節(jié)“三維應(yīng)力分析”中指出，在三維應(yīng)力情況下，εφψ與sin2ψ的函數(shù)關(guān)系呈現(xiàn)橢圓曲線。對(duì)橢圓直接進(jìn)行擬合，可以獲得更好的結(jié)果。

4.1 橢圓擬合

令

(50)

代入式(15)可得

(51)

(52)

根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，可將式(37)對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為(53)所示的一般位置橢圓的隱式方程。

(A2+4B2)x2-2Axy+y2+

(2AC-4B2)x-2Cy+C2=0

(53)

觀察式(50)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)σ33=0時(shí)有：

(54)

當(dāng)σ33≠0時(shí)有

(55)

因此可以根據(jù)橢圓系數(shù)A,B來(lái)計(jì)算σφ或φ與τφ，進(jìn)而代入式(39)、(40)、(46)求出各個(gè)應(yīng)力張量分量。

對(duì)εφψ與sin2ψ擬合時(shí)，采用式(52)所示的參數(shù)方程更為方便。設(shè)定一函數(shù)F，根據(jù)最小二乘法定義，需要求出當(dāng)F=∑(y-yi)2取最小值時(shí)的A,B,C值

F=∑(Asin2ψ+Bsin 2ψ+C-yi)2

(56)

將F分別對(duì)A、B、C求偏導(dǎo)得

(57)

(58)

(59)

由于±ψ角成對(duì)出現(xiàn)，因此有

∑sin 2ψ=0, ∑sin2ψsin 2ψ=0

(60)

將(60)代入(59)可得

(61)

式中:n為ψ角數(shù)量，包括+ψ與-ψ。

求解式(59)或(61)所示的線性方程組都可得到A，B，C值。式(61)要求±ψ角成對(duì)出現(xiàn)，式(59)則無(wú)此要求。

4.2 橢圓擬合示例

第一步,計(jì)算方程組式(59)中的系數(shù)矩陣，結(jié)果如表5所示。

表5 方程組系數(shù)矩陣

對(duì)應(yīng)線性方程組為

(62)

解式(62)得

(63)

即

(64)

可得：σφ=163.9 MPa;τφ=34.1 MPa。

擬合橢圓與原始數(shù)據(jù)如圖6所示。

圖6 式(64)對(duì)應(yīng)的橢圓與原始數(shù)據(jù)

5 結(jié)語(yǔ)

基于X射線衍射,彈性力學(xué)以及材料力學(xué)理論對(duì)GB/T 7704-2017中殘余應(yīng)力的計(jì)算做了深度解析，同時(shí)對(duì)平面應(yīng)力與三維應(yīng)力狀態(tài)下的各個(gè)正應(yīng)力及切應(yīng)力分量的計(jì)算難點(diǎn)問(wèn)題做了較為詳細(xì)的推演。指出理解標(biāo)準(zhǔn)中測(cè)試原理和采用相關(guān)公式時(shí)，應(yīng)該注意以下幾個(gè)問(wèn)題。

(1) X射線法測(cè)定殘余應(yīng)力局限于各向同性材料的彈性變形范圍內(nèi)。

(2) GB/T 7704-2017中的τφ是σφ對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力在z軸上的分量。

(3) 在三維應(yīng)力狀態(tài)下選取ψ角時(shí)，應(yīng)保證sin2ψ與sin 2ψ值間隔都近似相等。

(4) 測(cè)定τφ及應(yīng)力張量分量時(shí)，建議采用橢圓擬合。