郝廣濤, 林清華, 李曉梅

( 莆田學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院， 福建 莆田 351100 )

0 引言

電力系統(tǒng)能量管理系統(tǒng)的超短期負(fù)荷預(yù)測(cè)是經(jīng)濟(jì)調(diào)度、 安全分析、 電壓控制等的基礎(chǔ)[1]。 指數(shù)平滑法由于簡(jiǎn)單可靠、 模型表達(dá)清晰等優(yōu)點(diǎn),被應(yīng)用于電力系統(tǒng)超短期負(fù)荷預(yù)測(cè)等領(lǐng)域[2]。

超短期負(fù)荷預(yù)測(cè)的目標(biāo)是追求高精度水平,而平滑系數(shù)是影響指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)模型精度水平的主要參數(shù)。 對(duì)此國(guó)內(nèi)外電力科學(xué)愛好者提出了多種平滑系數(shù)確定方法, 如分段法[3-4]、 動(dòng)態(tài)調(diào)整法[5]、 多模型融合法[6]、 自適應(yīng)法的改進(jìn)方法[7-9]。 然而, 上述方法是針對(duì)特定的歷史數(shù)據(jù)獲得的。 實(shí)際上, 對(duì)于不同的歷史數(shù)據(jù), 獲取的平滑系數(shù)不同, 由此預(yù)測(cè)的精度、 誤差也不同,并且該過(guò)程呈現(xiàn)隨機(jī)性。 由此, 尋找一種普適通用的平滑系數(shù)確定方法就顯得尤為必要。

此外, 傳統(tǒng)平滑系數(shù)確定方法主要是以一種誤差作為依據(jù)評(píng)判平滑系數(shù)的優(yōu)劣, 具有片面性。 對(duì)此, 本文以統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的4 種誤差評(píng)判指標(biāo)相互佐證確定平滑系數(shù), 并以其中的最小值尋找最優(yōu)平滑系數(shù)。

1 指數(shù)平滑法

指數(shù)平滑法是1959 年由美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)專家布朗提出一種時(shí)序數(shù)據(jù)趨勢(shì)預(yù)測(cè)的分析方法[10],目前主要有一次指數(shù)平滑法、 二次指數(shù)平滑法、三次指數(shù)平滑法3 種。

1.1 一次指數(shù)平滑法

一次指數(shù)平滑法以式(1)表示：

根據(jù)式(1), 有如下的迭代：

將式(2) 代入式(1), 得：

根據(jù)式(3) 可以得到遞推公式, 如t - 1 時(shí)刻的一次指數(shù)平滑公式為：

根據(jù)式(3) 和式(4) 可得到, 一次指數(shù)平滑法主要用于預(yù)測(cè)趨勢(shì)近乎沒(méi)有變化的時(shí)間序列數(shù)據(jù),預(yù)測(cè)模型為：

式(5) 中： ^yt+1表示t + 1 時(shí)刻的預(yù)測(cè)值, 等于t時(shí)刻的一次指數(shù)平滑值表示t 時(shí)刻的預(yù)測(cè)值, 等于t - 1 時(shí)刻的一次指數(shù)平滑值

由式(5) 預(yù)測(cè)模型可見： 假設(shè)當(dāng)前時(shí)刻是t, 那么對(duì)于未來(lái)t + 1 時(shí)刻的預(yù)測(cè)值, 是由當(dāng)前時(shí)刻t 以及歷史時(shí)刻t - 1, t - 2, …, 1 實(shí)際值加權(quán)形成, 并且權(quán)值依次減小。

1.2 二次指數(shù)平滑法

二次指數(shù)平滑法是在一次指數(shù)平滑公式基礎(chǔ)上, 再次進(jìn)行一次平滑得到, 以式(6)表示：

根據(jù)式(6), 可以得到如下迭代公式：

將式(7) 帶入式(6) 中, 得：

觀察式(8) 與式(3) 可以發(fā)現(xiàn), 二者具有相似的形式。

將式(3) 及其遞推式(4) 代入式(8) 化簡(jiǎn)得：

根據(jù)式(9) 可以得到二次指數(shù)平滑法的遞推公式, 如t - 1 時(shí)刻的二次指數(shù)平滑公式為：

二次指數(shù)平滑法通常用于具有線性變化趨勢(shì)的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè), 其單步預(yù)測(cè)模型如下：

將式(3)和式(9)代入式(11)中, 得：

由式(12) 可見, 右側(cè)的系數(shù)逐步變小, 具有明顯的規(guī)律性。

1.3 三次指數(shù)平滑法

三次指數(shù)平滑法是在二次指數(shù)平滑法的基礎(chǔ)上, 再次進(jìn)行平滑得到, 以式(13)表示：

根據(jù)式(13), 可以得到迭代遞推公式：

將式(14) 代入式(13) 中, 可得：

將式(9)及其遞推公式(10)代入式(15), 得：

三次指數(shù)平滑法主要用于具有非線性變化趨勢(shì)的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè), 其單步預(yù)測(cè)模型為：

將式(3)、 式(9)、 式(16) 代入式(17), 化簡(jiǎn)得到結(jié)果顯示： 三次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)模型中的系數(shù)均為高次, 系數(shù)規(guī)律不明顯。

2 誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)

在電力系統(tǒng)超短期負(fù)荷預(yù)測(cè)中, 常用的誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)有均方根誤差、 平均絕對(duì)值誤差、 平均絕對(duì)百分比誤差、 平均平方和誤差[11]。

各種誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)各有優(yōu)勢(shì), 本文取4 種誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)中最小的一種予以確定平滑系數(shù)。

2.1 均方根誤差

均方根誤差( root mean square error,RMSE)表示預(yù)測(cè)值偏離實(shí)際值之間的程度。 RMSE 越小, 表示預(yù)測(cè)值越接近實(shí)際值, 以式(18)表示：

式(18) 中： yi表示第i 個(gè)實(shí)際值, fi表示第i 個(gè)預(yù)測(cè)值, n 表示個(gè)數(shù)。

2.2 平均絕對(duì)誤差

平均絕對(duì)誤差(mean absolute error, MAE)是預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間絕對(duì)誤差的算術(shù)平均值,以式(19)表示：

式(19) 中, yi、 fi和n 含義與式(18) 相同。

2.3 平均絕對(duì)百分比誤差

平均絕對(duì)百分比誤差(mean absolute percentage error,MAPE)由MAE 發(fā)展而來(lái), 是一個(gè)相對(duì)值, 表示預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間絕對(duì)誤差與實(shí)際值比值的算術(shù)平均值, 以式(20)表示：

式(20) 中, yi、 fi和n 含義與式(18) 相同。

2.4 均方誤差

均方誤差(mean squared error, MSE) 是預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之差平方的平均值。 MSE 通常表示數(shù)據(jù)的變化程度, MSE 越小, 說(shuō)明預(yù)測(cè)模型具有更高的精度, 以式(21)表示：

式(21) 中, yi、 fi和n 含義與式(18) 相同。

3 確定平滑系數(shù)

本文是在歷史數(shù)據(jù)較多(大數(shù)據(jù))的環(huán)境下,開展一次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)模型、 二次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)模型、 三次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)模型的研究。

通常來(lái)說(shuō), 若用于預(yù)測(cè)的歷史數(shù)據(jù)較多, 則一次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)模型式(5)、 二次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)模型式(12)、 三次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)模型式(17) 中的初始值S(1)0、 S(2)0、 S(3)0對(duì)于預(yù)測(cè)的影響較小, 均取原始序列的第一個(gè)數(shù)據(jù)即可。 由此, 影響一次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)模型、 二次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)模型、 三次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)模型精度的主要因素就是確定其相同的平滑系數(shù)α。

而若要確定式(5)、 式(12) 和式(17) 預(yù)測(cè)模型中的平滑系數(shù)α, 需要依據(jù)不同的誤差評(píng)價(jià)指標(biāo), 即以RMSE(式(18))、 MAE(式(19))、MAPE( 式(20))、 MSE( 式(21)) 確定平滑系數(shù)α。

設(shè)用于預(yù)測(cè)的n 個(gè)歷史負(fù)荷數(shù)據(jù)序列D 為：

式(22) 中, d1, d2, …, dn為時(shí)間由遠(yuǎn)及近的負(fù)荷數(shù)據(jù)。

以D 中的m(m ＜n) 個(gè)連續(xù)數(shù)據(jù)元素作為歷史數(shù)據(jù)輸入, 以較小的平滑初始值α0= ζ 計(jì)算緊隨其后的第m + 1 個(gè)負(fù)荷預(yù)測(cè)值^ym+1, 并將其與實(shí)際值ym+1的差值作為誤差：

對(duì)D 中剩余的數(shù)據(jù)元素按照式(23) 依次進(jìn)行計(jì)算, 得到n - m 個(gè)誤差序列E：

將式(24) 中的誤差代入式(18) ～式(21)中依次獲得平滑系數(shù)α0對(duì)應(yīng)的RMSEα0、MAEα0、 MAPEα0、 MSEα0, 以ζ 為步長(zhǎng), 在α ∈(0, 1) 區(qū)間內(nèi)依次計(jì)算α1= α0+ ζ, α2= α0+2ζ, … 對(duì)應(yīng)的誤差序列：

進(jìn)一步可以求出各種誤差評(píng)價(jià)序列最小值, 及其對(duì)應(yīng)的平滑系數(shù)：

選取式(25) ～式(28) 中評(píng)價(jià)模型誤差最小的,對(duì)應(yīng)的平滑系數(shù)作為將采用的平滑系數(shù)。

4 算例分析

采用不同的誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)分別對(duì)一次、 二次、三次指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)結(jié)果評(píng)價(jià)。

采用某實(shí)際變電站某年6 月至9 月間的91 d, 每天24 h, 每0.5 h 采集一次負(fù)荷數(shù)據(jù), 對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。 由于采取的歷史數(shù)據(jù)較多,S(1)0、 S(0)2、 S(0)3均取原始序列的第一個(gè)數(shù)據(jù)。

由于平滑系數(shù)α ∈(0, 1), 給定一個(gè)較小的初始值α0= 0.001 和步長(zhǎng)ζ = 0.0001 進(jìn)行4 種誤差評(píng)價(jià)標(biāo)計(jì)算, 計(jì)算結(jié)果如下。

4.1 一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型

經(jīng)過(guò)RMSE、MAE、MAPE、MSE 四種誤差評(píng)判指標(biāo)計(jì)算,結(jié)果分別如圖1、圖2、圖3、圖4 所示。

圖1 RMSE 計(jì)算結(jié)果

圖2 MAE 計(jì)算結(jié)果

圖3 MAPE 計(jì)算結(jié)果

圖4 MSE 計(jì)算結(jié)果

經(jīng)過(guò)計(jì)算, 可以獲得圖1 ～圖4 中的最小值及其對(duì)應(yīng)的平滑系數(shù), 如表1 所示。

表1 4 種誤差指標(biāo)對(duì)應(yīng)的平滑系數(shù)

4.2 二次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型

使用RMSE、 MAE、 MAPE、 MSE 四種誤差評(píng)判指標(biāo)對(duì)二次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型進(jìn)行計(jì)算, 結(jié)果分別如圖5、 圖6、 圖7、 圖8 所示。

圖5 RMSE 計(jì)算結(jié)果

經(jīng)過(guò)計(jì)算, 可以獲得圖5 ～圖8 中的最小值及其對(duì)應(yīng)的平滑系數(shù), 如表2 所示。

表2 4 種誤差評(píng)判指標(biāo)對(duì)應(yīng)的平滑系數(shù)

圖6 MAE 計(jì)算結(jié)果

圖7 MAPE 計(jì)算結(jié)果

圖8 MSE 計(jì)算結(jié)果

4.3 三次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)模型

使用RMSE、 MAE、 MAPE、 MSE 四種誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)三次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)模型進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果分別如圖9、 圖10、 圖11、 圖12 所示。

經(jīng)過(guò)計(jì)算, 可以獲得圖9～圖12 中的最小值及其對(duì)應(yīng)的平滑系數(shù), 如表3 所示。

表3 4 種誤差評(píng)判指標(biāo)對(duì)應(yīng)的平滑系數(shù)

圖9 RMSE 計(jì)算結(jié)果

圖10 MAE 計(jì)算結(jié)果

圖11 MAPE 計(jì)算結(jié)果

圖12 MSE 計(jì)算結(jié)果

4.4 比較分析

上述4.1 節(jié)～4.3 節(jié)用于一次、 二次、 三次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)模型的部分歷史負(fù)荷數(shù)據(jù)如圖13 所示。

由圖13 可以看出, 該歷史負(fù)荷數(shù)據(jù)具有非線性特性, 因此采用三次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)模型。進(jìn)一步由表3 對(duì)應(yīng)平滑系數(shù)列可以看出, 平滑系數(shù)都在0.735 4 附近, 以誤差最小為原則, MSE對(duì)應(yīng)的誤差最小, 因此選用進(jìn)行三次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè), 預(yù)測(cè)結(jié)果如圖14 所示。 由圖14 可見, 負(fù)荷預(yù)測(cè)精度水平較高, 誤差在1%～2%。

圖13 部分歷史負(fù)荷數(shù)據(jù)

圖14 負(fù)荷預(yù)測(cè)結(jié)果

5 結(jié)論

為了提高指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型的精度, 提出了一次、 二次、 三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型平滑系數(shù)的求解方法, 并通過(guò)實(shí)際算例予以驗(yàn)證, 結(jié)果表明： 1) 在平滑系數(shù)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行逐次搜索求解誤差最小值是可行的； 2) 三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型用于預(yù)測(cè)非線性趨勢(shì)的負(fù)荷數(shù)據(jù)精確度較高；3) 多種誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)相互印證確定平滑系數(shù)具有較高的可信度。