蔡佐威，黃立宏

(1.湖南女子學(xué)院 信息科學(xué)與工程學(xué)院，長沙 410002； 2.長沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，長沙 410114)

數(shù)學(xué)建模通過數(shù)學(xué)語言能對社會生活和經(jīng)濟活動中的許多現(xiàn)實問題進行描述，以尋找變量之間的關(guān)系來建立函數(shù)或方程等數(shù)學(xué)模型。目前，很多高校在本科生和研究生培養(yǎng)過程中都開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程。數(shù)學(xué)建模課程的開設(shè)旨在培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)計算能力、邏輯推理能力、空間想象能力、解決實際問題的能力。例如，對計算機專業(yè)的學(xué)生開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程可以提高軟件開發(fā)能力，解決IT行業(yè)中存在的實際問題，提高經(jīng)濟效益。

1 數(shù)學(xué)建模教學(xué)存在的問題

一是數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)沒有充分緊密聯(lián)系當(dāng)前的社會生產(chǎn)和經(jīng)濟需求，與前沿的科學(xué)問題有些脫軌。課程的開設(shè)最終都是為了使人才培養(yǎng)服務(wù)于社會生產(chǎn)和經(jīng)濟發(fā)展，如果高校教學(xué)研究者在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中沒有準確把握好這點，那么數(shù)學(xué)建模教學(xué)將很難起到最大限度的作用，還會對相關(guān)專業(yè)的學(xué)生造成困擾。二是數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中的專業(yè)性沒有得到應(yīng)有體現(xiàn)。這其中的原因是多方面的，比如數(shù)學(xué)教師的素質(zhì)提升沒有得到應(yīng)有的保障，數(shù)學(xué)教學(xué)團隊的專業(yè)性建設(shè)存在不足，高層次的跨專業(yè)型教學(xué)人才較為缺乏。三是數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)模式比較守舊，教學(xué)方式方法也比較單一。目前，高校數(shù)學(xué)教師大多采用傳統(tǒng)的講授型教學(xué)模式，該教學(xué)模式的特點是以教師為主導(dǎo)，很難充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性。如果這種單一的傳統(tǒng)教學(xué)模式?jīng)]有融合信息技術(shù)和多媒體技術(shù)，教學(xué)質(zhì)量會大打折扣。在信息技術(shù)飛速發(fā)展的今天，數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式的改革已刻不容緩。本研究將以憶阻型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)建模為例來對數(shù)學(xué)建模改革的重要性與手段進行分析。

2 憶阻型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)建模

2.1 意義

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Artificial Neural Networks)是一種模擬人類或動物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)行為且進行分布式并行處理的算法數(shù)學(xué)模型，在人工智能領(lǐng)域起著非常重要的作用。在許多本科生或研究生的數(shù)學(xué)建模課程學(xué)習(xí)與實踐中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)建模是非常熱門的研究方向之一。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型主要是模擬大腦的神經(jīng)元突觸結(jié)構(gòu)及功能，這類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是通過把大量的神經(jīng)元節(jié)點相互連接而建立出數(shù)學(xué)模型，每個具體的神經(jīng)元節(jié)點代表了特定的信號輸出函數(shù)，節(jié)點之間的連接表示連接信號的權(quán)重。從某種意義上來講，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型模擬了大腦的記憶功能。根據(jù)基爾霍夫電壓定律(KCL)，目前所建立的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電路模型通常由微分方程進行刻畫。自1971年美國華裔科學(xué)家Leon Chua提出了記憶的電阻—憶阻器(Memristor)這一概念以來，基于憶阻器的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模就引起了越來越多學(xué)者的關(guān)注。在憶阻型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建模及模擬實現(xiàn)過程中，憶阻器可通過改變其阻態(tài)把經(jīng)流過它的電荷數(shù)量進行記憶，以此達到記憶過去狀態(tài)的目的。憶阻器是最有可能實現(xiàn)人類大腦中突觸功能的電子元件，憶阻器的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 憶阻器元件的結(jié)構(gòu)圖[5]Fig.1 Structure chart of Memristor element

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)建模過程中，根據(jù)憶阻器元件的特征與性質(zhì)，如果把神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中傳統(tǒng)的電阻器元件替換為憶阻器這種新型的電路元件，則通過右端不連續(xù)的微分方程可建立出憶阻型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型，這類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型也可視為隨狀態(tài)變量切換的動力學(xué)數(shù)學(xué)模型。

Leon Chua教授所提出的憶阻器(Memristor)不同于傳統(tǒng)的電阻(Resisitor)、電感(Inductor)和電容(Capacitor)這三種電路元件，它是第四種無源性電路元件。電流(Current)、電壓(Voltage)、電荷(Charge)、磁通量(Flux)這四種電路元件之間的關(guān)系式均由微分方程來刻畫。憶阻器、電阻器、電感器、電容器具有各自的電流-電壓特征。理想憶阻器的電流-電壓特征從數(shù)學(xué)函數(shù)表現(xiàn)來看是一條“8”字形的滯回曲線，這條曲線在坐標原點處自交叉。Leon Chua教授自提出憶阻器概念后的幾十年里，因為人們未能研制出憶阻器的實體元件，所以憶阻器沒有被引起足夠的重視。直到2008年，美國惠普實驗室的R.S.Williams研究組首次證實了納米電子系統(tǒng)中憶阻器的實體存在，并建立了憶阻器的數(shù)學(xué)模型，進行了物理模型仿真實驗，他們的成果發(fā)表在了Nature雜志上。隨后，越來越多的科研與教學(xué)工作者開始對憶阻型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)建模問題進行研究。憶阻型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)建模不只是前沿的科學(xué)問題，它在本科生和研究生的畢業(yè)設(shè)計與數(shù)學(xué)建模教學(xué)中也引起了廣泛關(guān)注。

2.2 建模過程

憶阻型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)建模不僅會運用到數(shù)學(xué)理論和方法，還將涉及物理學(xué)和計算機等相關(guān)專業(yè)的知識。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模首先要符合客觀物理規(guī)律，以第i個子系統(tǒng)作為分析單元。據(jù)基爾霍夫電壓定律，第i個子系統(tǒng)可由下列時滯微分方程來進行刻畫：

(1)

(2)

2.3 數(shù)值模擬分析

對憶阻型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)建模進行數(shù)值模擬分析的過程中，單一采用傳統(tǒng)的教學(xué)方法是不夠的，必須用到計算機軟件和多媒體技術(shù)等教學(xué)手段，建模過程中的實踐環(huán)節(jié)也顯得非常重要。由于時滯、不連續(xù)性和周期性等因素的存在，使得憶阻型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型具有復(fù)雜的動力學(xué)性質(zhì)，所以有必要對憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)進行數(shù)值模擬和分析。例如，在憶阻型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(2)中取n=2，τ=1，fj(θ)=1.2tanh(θ),j=1,2，J1(t)=sint，J2(t)=cost，

初始值條件為φ(t)=(-1,1),t∈[-1,0]。借助MATLAB進行數(shù)值模擬實驗發(fā)現(xiàn)，該二維的時滯憶阻型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型具有復(fù)雜的周期動力學(xué)行為，如圖2所示。人類大腦通常都處于周期性的振蕩或混沌狀態(tài)，對周期性質(zhì)的憶阻型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)建模及其數(shù)值模擬進行分析能更好地幫助人們理解人類大腦的運行機制。在高校數(shù)學(xué)建模課程中開展神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)建模及數(shù)值模擬分析能幫助學(xué)生解決工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的實際問題。

圖2 時滯憶阻型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的周期動力學(xué)行為Fig.2 Cycle dynamics behavior of Memristor-based neural network model

3 數(shù)學(xué)建模教學(xué)改革措施

3.1 結(jié)合工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和前沿科學(xué)問題建設(shè)現(xiàn)代化數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式

數(shù)學(xué)建模與社會生產(chǎn)、工程技術(shù)和經(jīng)濟發(fā)展有著密切聯(lián)系。在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中，應(yīng)利用經(jīng)典的數(shù)學(xué)理論和方法來解決當(dāng)前信息時代的工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及前沿的科學(xué)問題。例如，在人工智能神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域，可借助現(xiàn)代微分方程理論和定性分析等數(shù)學(xué)方法來進行人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)建模與分析。在漁業(yè)和牧業(yè)領(lǐng)域，為了維持生物種群的可持續(xù)發(fā)展并產(chǎn)生經(jīng)濟效益，可引進不連續(xù)型捕獲管理策略建立生物數(shù)學(xué)模型，還需引進穩(wěn)定性理論來進行動力學(xué)分析。

3.2 采用多樣化教學(xué)手段

數(shù)學(xué)建模課程比較抽象、枯燥，需在教學(xué)過程中引進多樣化的教學(xué)手段，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。例如，可把傳統(tǒng)的“黑板+粉筆+講授”的教學(xué)方式與多媒體教學(xué)手段結(jié)合起來，這種改進后的數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式可使學(xué)生在充滿趣味的學(xué)習(xí)環(huán)境中進行學(xué)習(xí)，能夠達到良好的教學(xué)目的。

3.3 組建專業(yè)型教學(xué)團隊并結(jié)合學(xué)科專業(yè)加強實踐教學(xué)

數(shù)學(xué)建模往往涉及不同學(xué)科之間的交叉，擁有跨學(xué)科與高素質(zhì)教師的專業(yè)型教學(xué)團隊對于數(shù)學(xué)建模課程的開展非常有利。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)建模要求教師不僅要具有扎實的數(shù)學(xué)理論知識與方法，還應(yīng)具有現(xiàn)代物理學(xué)和控制理論方面的知識以及計算機技能。數(shù)學(xué)建模與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程存在很大區(qū)別，為了解決實際問題，數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實踐環(huán)節(jié)必不可少，需要用到MATLAB和Mathematic等計算機軟件來進行編程和數(shù)值模擬分析，并對學(xué)生進行技能培訓(xùn)和社會實踐訓(xùn)練。

3.4 鼓勵學(xué)生在畢業(yè)設(shè)計中融入數(shù)學(xué)建模思想并參加數(shù)學(xué)建模比賽

理工科和財經(jīng)類學(xué)生可把數(shù)學(xué)建模思想融入到所在專業(yè)的畢業(yè)設(shè)計或畢業(yè)論文中。學(xué)校要積極組織學(xué)生參加校級、省級和國家級的數(shù)學(xué)建模競賽，這會對提高學(xué)生的科研能力、綜合素質(zhì)、適應(yīng)社會能力等方面起到積極作用，開闊了學(xué)生的視野。