高夢星 孫彥超 劉伯玉

摘? 要： 針對二級倒立擺系統(tǒng)的非線性、自然不穩(wěn)定特點，本文基于SIMULINK仿真環(huán)境下驗證了模糊控制理論在二級倒立擺的控制中的有效性。通過對倒立擺系統(tǒng)的研究，建立了倒立擺系統(tǒng)的空間狀態(tài)方程，從數(shù)學的角度對其進行精確建模。模糊控制器作為基于模糊理論發(fā)展起來的控制策略，憑借其智能性和自適應的特點，在一些復雜的系統(tǒng)中得到了應用。本文利用SIMULINK的模糊控制工具箱構建了兩輸入一輸出的模糊控制器，設計了相應變量隸屬度函數(shù)，構建了模糊規(guī)則。構建成功的模糊控制器應用于二級倒立擺控制的仿真中，通過觀察小車和兩級擺桿的位置、擺角等物理量，證明了在模糊控制下，二級倒立擺系統(tǒng)在較短的響應時間內便能夠達到穩(wěn)定狀態(tài)，具備很好的動態(tài)性能以及較強的魯棒性。

關鍵詞： 二級倒立擺;模糊控制;SIMULINK

中圖分類號： TP273+.4? ? 文獻標識碼： A? ? DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2020.10.059

本文著錄格式：高夢星，孫彥超，劉伯玉. 基于模糊自適應的倒立擺控制系統(tǒng)研究[J]. 軟件，2020，41（10）：229235

【Abstract】： In view of the nonlinear and natural instability characteristics of the double inverted pendulum system， this paper validates the effectiveness of the fuzzy control theory in the control of the double inverted pendulum based on the SIMULINK simulation environment. Through the study of the inverted pendulum system， the space state equation of the inverted pendulum system is established， and it is accurately modeled from the mathematical point of view. As a control strategy developed based on fuzzy theory， fuzzy controller has been applied in some complex systems by virtue of its intelligence and adaptive characteristics. In this paper， the fuzzy control toolbox of SIMULINK is used to construct a two-input and one-output fuzzy controller， the corresponding variable membership function is designed， and the fuzzy rules are constructed. The successfully constructed fuzzy controller is applied to the simulation of the two-stage inverted pendulum control. By observing the physical quantities such as the position and swing angle of the trolley and the two-stage pendulum rod， it is proved that under the fuzzy control， the two-stage inverted pendulum system has a shorter response. It can reach a stable state within a period of time， with good dynamic performance and strong robustness.

【Key words】： Double inverted pendulum; Fuzzy control; SIMULINK

0? 引言

在典型的被控對象中可以對多種控制理論進行比較，并具有良好的延伸性，能夠將其擴展到更高的維度。倒立擺系統(tǒng)就是這樣的一個可以將理論應用于實際的理想實驗平臺。在對控制理論進行研究之際，極具典型性的一類實驗設備便是倒立擺系統(tǒng)，其優(yōu)勢為無需太高造價，結構不復雜，同時可以十分方便的對其結構以及物理參數(shù)進行調整，其還具備不少變量，屬于非線性且階次較高的系統(tǒng)，但不夠穩(wěn)定。在研究以及驗證控制理論方面具備不錯的契合度，同時還能對數(shù)類存在差異的控制策略進行對比。

國內外現(xiàn)狀：20世紀50年代，便有了研究倒立擺方面的內容，率先進行此方面研究的是來自于麻省理工大學的專家，同時對發(fā)射火箭之際其助推器進行工作的相關原理，將首臺一級線性倒立擺研發(fā)出[1]。之后，倒立擺相關的概念被正式提出[2]。由于倒立擺并不是一種線性的存在，同時不夠穩(wěn)定，具備快速的特征，因此這一研究課題具備不小的難度，而這則使相關專家以及學者的關注度提升了不少[3]。到20世紀70年代，大家漸漸的在各類倒立擺內運用不同的控制策略，而PID以及LQR控制策略還有極點配置算法在各類控制策略中具備典型性[4-5]。一直到80年代末，在進行生產(chǎn)之際，LQR這一控制策略得到了十分寬廣的應用，最終所獲的效果也頗為不錯。1985年時，尹征琦這位來自于西安交大的教授在對模糊控制器進行設計之后，成功控制了倒立擺，同時得到了成功運用[6]?！半`屬云模型”的提出時間為1997年，其提出者為李德義團隊，這一模型沒有太多關于硬件方面的要求，因此所產(chǎn)生的控制效果不錯[7]?！白冋撚蜃赃m應模糊控制理論”被提出的時間是1995年，其提出者為李洪興教授，這一研究以穩(wěn)定的方式對“四級倒立擺系統(tǒng)”進行了控制，緊接著使控制二級以及三級擺得以完成[8]。文獻[9]設計了模糊PID控制器，對拉格朗日函數(shù)方式進行利用，將一個數(shù)學方面的二級倒立擺模型構建起來，通過現(xiàn)代控制理論研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性和能觀性，得到系統(tǒng)的控制條件，設計了模糊控制規(guī)則和推理過程。其所設計的控制方法要優(yōu)于單獨的模糊控制、PID控制。文獻[10]設了一種基于直線二級倒立擺的雙閉環(huán)模糊控制方法，該方法是將控制器的多變量輸入分成兩組，形成兩個閉環(huán)，內環(huán)對倒立擺所具備的角度進行控制，外環(huán)則對倒立擺小車所處的具體位置進行控制。

就倒立擺而言，這一研究對象并不穩(wěn)定，只要增加擺桿的數(shù)量，就會讓其變得愈發(fā)難以控制[11]，與此同時，想要將一個具備不錯精準度的數(shù)學模型構建起來也不容易，因此在進行此方面研究之際，所有學者都感到步履維艱由于現(xiàn)目前所應用到的智能控制中，只有模糊控制和神經(jīng)網(wǎng)絡控制不依靠于具體的數(shù)學模型。因此，有必要將模糊控制和神經(jīng)網(wǎng)絡算法控制引入到多級倒立擺系統(tǒng)中進行研究，本文就是基于自適應控制對其進行了較為深入的研究。

1? 二級倒立擺系統(tǒng)建模

為完成以穩(wěn)定的方式對倒立擺進行控制方面的研究，第一步必須把其數(shù)學模型構建起來，如此方可實施下一步應該實施的仿真程序。在構建模型之際，其方式可做兩類劃分：實驗以及機理建模。前者便是將研究者已經(jīng)準備好的輸入信號添加到研究對象上面，對研究對象進行激勵，同時對傳感器加以利用，進行具體輸出的相關檢測，通過數(shù)學方式，將系統(tǒng)所具備的輸入以及輸出關系構建起來。所涵蓋的內容有設計以及選擇輸入信號、精準的對輸出信號進行檢測，研究具體的數(shù)學算法。后者則首先需要掌控研究對象所具備的運動規(guī)律，同時基于此采取物理抑或是化學方面的知識還要U相關的數(shù)學方法將存在于系統(tǒng)內部的輸入以及輸出關系構建起來。

1.1? 直線二級倒立擺的數(shù)學模型

由于對牛頓力學加以利用實施建模之際，必須運用不少微分方程，因此構建二級倒立擺模型之際，建模會因為這些微風方程而出現(xiàn)復雜程度上升的情況，因此此篇文章通過對隸屬于分析力學范疇的Lagrange方程加以利用實施建模[21]。圖1所呈現(xiàn)的模型便是二級倒立擺。

首先，對該系統(tǒng)做如下假設：

（1）小車、一級擺桿和二級擺桿都是剛體。

（2）皮帶輪與同步帶之間無相對滑動，且同步帶不會拉伸變長。

（3）小車與導軌之間的摩擦力與小車速度成正比。

（4）各級擺桿與轉軸間的轉動摩擦力矩與擺桿的角速度成正比。

本次控制系統(tǒng)采用的二級倒立擺各物理參數(shù)取值如表1所示。

1.2? 倒立擺系統(tǒng)的定性分析

對二級倒立擺進行分析，使用MATLAB中的dg（）命令得系統(tǒng)開環(huán)特征為

因為系統(tǒng)有兩個根在S平面的右半平面上，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

從定理1以及定理2兩個存在于2.2.1中的式子可以看出，在對存在于MATLAB內的rank（）命令加以利用之后，便能夠算出rank（S）=6和rank（V）=6。因此，系統(tǒng)可以進行觀測以及控制。因此能夠設計這一系統(tǒng)內的控制器，讓系統(tǒng)變得更為穩(wěn)定。

按照二級倒立擺狀態(tài)方程（2-11），對存在于MATLAB內的命令[U，S，V]=svd（A）加以利用，通過奇異值分解的方式處理A矩陣，可將其奇異值陣S獲取。

二級倒立擺的相對可控度：

δ=1/102.7083=0.0097。

模糊控制系統(tǒng)的原理圖如圖2所示。

2? 基于MATLAB/SIMUNLINK的二級倒立擺控制仿真

在MATLAB/SIMULINK仿真平臺中對基于模糊控制器的二級倒立擺進行建模仿真，建立的仿真模型如圖3所示。

其中二級倒立擺的數(shù)學模型用狀態(tài)空間方程進行模擬，其參數(shù)設置界面如圖4所示。

通過設置狀態(tài)空間方程的各參數(shù)便能夠從數(shù)學的角度建立出二級倒立擺的模型。

控制器采用模糊控制器，在模型中對模糊控制器進行了封裝，封裝成一個子系統(tǒng)以提高仿真模型的集成度，模糊控制器的內部結構圖如圖5所示。

本次模糊控制器的結構采用了兩輸入一輸出的系統(tǒng)，其編輯器的模型如圖6所示。

在模糊控制系統(tǒng)的編輯器界面中可以設置和查看各輸入量和輸出量的隸屬度函數(shù)，誤差e、誤差變化率ec和輸出u的隸屬函數(shù)見圖7—圖8所示。

在該編輯器中可以編輯和查看模糊控制器的模糊規(guī)則[30]，本文中的模糊控制器的模糊規(guī)則如圖10所示。

本文設計的模糊控制中共有49條模糊規(guī)則。是根據(jù)輸入論域和輸出論域上的模糊語言變量劃分而進行設計的：

把上述規(guī)則寫成模糊規(guī)則表，如表2所示。

另外，在系統(tǒng)中為了清楚地觀察二級倒立擺的控制性能，用示波器對一些物理量進行觀測，本系統(tǒng)中觀測的物理量有小車位移、小車速度、上擺桿角度、上擺桿角速度、下擺桿角度、下擺桿角速度等物理量。

運行仿真模型，在示波器中觀察各物理量的變化情況。

小車位移波形曲線如圖11所示。

小車速度波形如圖12所示。

上擺桿的角度波形如圖13所示。

上擺桿的角速度波形如圖14所示。

下擺桿的角度波形如圖15所示。

下擺桿的角速度波形如圖16所示。

通過仿真試驗，在示波器中觀察各物理量，能夠容易看出，小車的位置以及兩級倒立擺的擺桿的角度都得到了有效控制，響應速度很快，在3s以內便達到了平衡。證明了模糊控制器在二級倒立擺系統(tǒng)中的控制優(yōu)越性。

3? 結論

二級倒立擺作為倒立擺系統(tǒng)研究的熱點，近年作為典型的被控對象被廣泛應用于控制理論的研究中。二級倒立擺系統(tǒng)的非線性、自然不穩(wěn)定特點對于控制理論提出了挑戰(zhàn)，多變量和強耦合性使其在建模中存在較大的困難。本文主要工作就是以二級倒立擺作為被控對象，在MATLAB/SIMULINK仿真環(huán)境下驗證了模糊控制理論在二級倒立擺的控制中的有效性。通過對倒立擺系統(tǒng)的研究，建立了倒立擺系統(tǒng)的空間狀態(tài)方程，從數(shù)學的角度對其進行精確建模。模糊控制器作為基于模糊理論發(fā)展起來的控制策略，憑借其智能性和自適應的特點，在一些復雜的系統(tǒng)中得到了應用。本文利用SIMULINK的模糊控制工具箱構建了兩輸入一輸出的模糊控制器，設計了相應變量隸屬度函數(shù)，構建了模糊規(guī)則。構建成功的模糊控制器應用于二級倒立擺控制的仿真中，通過觀察小車和兩級擺桿的位置、擺角等物理量，證明了在模糊控制下，二級倒立擺系統(tǒng)在較短的響應時間內便能夠達到穩(wěn)定狀態(tài)，具備很好的動態(tài)性能以及較強的魯棒性。

4? 展望

本文在二級倒立擺的模糊控制研究方面取得了一定的成果，但由于個人水平和時間所限，仍然有很多工作需要后續(xù)深入研究。

（1）本文主要研究了二級倒立擺系統(tǒng)，目前已經(jīng)有學者在對四級倒立擺進行研究，后續(xù)的工作可以圍繞三級甚至更多級數(shù)的倒立擺系統(tǒng)進行研究;

（2）模糊控制具有自適應的特點，這是其優(yōu)勢，但是單純的模糊控制有響應速度慢等問題，因此可以考慮模糊控制同PID控制等傳統(tǒng)控制策略相結合的方式，以提高倒立擺系統(tǒng)控制的動態(tài)特性;

（3）目前控制理論發(fā)展迅速，更多的智能控制理論出現(xiàn)在控制器設計中，例如最優(yōu)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡控制等，后續(xù)可以嘗試采用更智能的控制策略;

（4）本文的理論驗證是在MATLAB/SIMULINK仿真環(huán)境下進行的，后續(xù)可以考慮在實際的二級倒立擺試驗臺中對控制策略進行實物驗證。

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