張曉鵬， 康 柯， 楊東生

(1.大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系，工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024；2.中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

1 引 言

拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)作為一種有效的概念設(shè)計(jì)工具，目前已應(yīng)用于航空航天、高速列車以及船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)等重大裝備的研發(fā)和設(shè)計(jì)中以及近年來，結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)已獲得長(zhǎng)足發(fā)展，并產(chǎn)生了均勻化方法、各向同性實(shí)體材料懲罰法SIMP(solid isotropic material with penalization)、水平集法、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法ESO(evolutionary structural optimization)、相場(chǎng)法和獨(dú)立連續(xù)映射法ICM(independent continuous mapping method)等一系列有效的拓?fù)鋬?yōu)化方法[1-3]。

在實(shí)際結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，結(jié)構(gòu)部件都需要滿足一定的強(qiáng)度設(shè)計(jì)要求，即結(jié)構(gòu)的應(yīng)力水平需要滿足指定的約束要求，在此基礎(chǔ)之上建立應(yīng)力約束下的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法。應(yīng)力約束下的拓?fù)鋬?yōu)化研究的主要難點(diǎn)之一是應(yīng)力奇異性問題，隨著相關(guān)研究的開展，目前常用的處理方法有ε放松法[4]和qp放松法[5]等?？紤]應(yīng)力約束的結(jié)構(gòu)優(yōu)化的另一個(gè)難點(diǎn)是約束過多，與結(jié)構(gòu)柔順性和體積全局約束優(yōu)化問題相比，應(yīng)力約束屬于局部約束，對(duì)于大規(guī)模優(yōu)化問題來說，面臨著約束數(shù)目多及靈敏度分析和優(yōu)化求解復(fù)雜等問題。近年來，在實(shí)際處理中，可以用聚合函數(shù)將眾多的局部應(yīng)力約束聚合為一個(gè)應(yīng)力約束，相應(yīng)的聚合函數(shù)包括K-S函數(shù)[6]和 P -norm 函數(shù)[7,8]等。為了處理應(yīng)力約束問題，人們不斷地改進(jìn)相關(guān)技術(shù)。隋允康等[9]把局部應(yīng)力約束問題轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)整體的應(yīng)變能約束問題，減少了約束的數(shù)量。榮見華等[10]建立了一種改進(jìn)的基于應(yīng)力及靈敏度的結(jié)構(gòu)拓?fù)潆p方向漸進(jìn)優(yōu)化算法，該方法能夠較大程度減少解的振蕩次數(shù)。劉宏亮等[11]引入了穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法來修正P -norm 聚合后的應(yīng)力約束，克服了拓?fù)鋬?yōu)化過程中的迭代振蕩和收斂困難問題。王選等[12]對(duì)雙向漸進(jìn)拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)了有效降低應(yīng)力集中效應(yīng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。楊迪雄等[13]引入了穩(wěn)定轉(zhuǎn)化法STM(stability transformation method)和應(yīng)力約束的違反約束集列式，實(shí)現(xiàn)了應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化問題的穩(wěn)定迭代和可接受的設(shè)計(jì)解。

大部分考慮材料失效的拓?fù)鋬?yōu)化研究都是基于Mises應(yīng)力屈服準(zhǔn)則的，能夠很好地預(yù)測(cè)金屬材料的破壞行為。然而，有很多的非金屬材料在受到拉伸和壓縮時(shí)會(huì)表現(xiàn)出不同的應(yīng)力極限，在這種情況下，von Mises應(yīng)力準(zhǔn)則是不合適的。以應(yīng)力不變量定義的Drucker-Prager準(zhǔn)則作為最簡(jiǎn)單的塑性屈服模型，可以反映材料不同的許用應(yīng)力極限。此前，僅有少量的研究考慮了拉壓不同強(qiáng)度約束的拓?fù)鋬?yōu)化方法。如Luo等[14]首先提出了基于變密度法的考慮結(jié)構(gòu)拉壓強(qiáng)度不同的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法；Jeong等[15]等研究了基于多種不同失效準(zhǔn)則下韌性和脆性結(jié)構(gòu)應(yīng)力拓?fù)鋬?yōu)化方法;Bruggi等[16]在應(yīng)力約束的拓?fù)鋬?yōu)化中引入了柔順性，探討了不同的目標(biāo)函數(shù)和約束對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。

相場(chǎng)(Phase field)方法能夠很好地描述固體-液體過渡等復(fù)雜材料的擴(kuò)散界面特性[17]，并已經(jīng)成功用于結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中[18]。與變密度法相比，基于相場(chǎng)法可以通過在實(shí)體域和孔洞域之間使用顯式曲線來減少中間設(shè)計(jì)變量，使后處理更加直觀，減少后處理對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，在求解應(yīng)力約束下的優(yōu)化問題中具有一定的優(yōu)勢(shì)[19]。然而，在少量基于相場(chǎng)描述的結(jié)構(gòu)應(yīng)力拓?fù)鋬?yōu)化研究中，尚未見基于相場(chǎng)模型的考慮拉壓強(qiáng)度不同約束下的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的相關(guān)研究。

因此，本文通過引入Drucker-Prager準(zhǔn)則來描述塑性材料的屈服行為，提出了具有該屈服行為的連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。優(yōu)化問題可以描述為，基于相場(chǎng)法和在Drucker-Prager應(yīng)力約束下，找到設(shè)計(jì)域內(nèi)體積最少的材料布局。利用qp放松法和 P -norm 凝聚函數(shù)使拓?fù)鋯栴}具有數(shù)值可解性，引入穩(wěn)定轉(zhuǎn)化法來降低迭代過程中的振蕩問題，加速收斂。利用伴隨變量法進(jìn)行靈敏度分析，通過求解Allen-Cahn方程更新相場(chǎng)函數(shù)設(shè)計(jì)變量，實(shí)現(xiàn)拉壓不同強(qiáng)度下的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，并通過典型拓?fù)鋬?yōu)化算例驗(yàn)證了本文方法的有效性。

2 基于應(yīng)力約束的連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化

2.1 基于相場(chǎng)描述的拓?fù)鋬?yōu)化方法

設(shè)計(jì)域的狀態(tài)可以通過最小化范德華自由能方程來確定：

圖1 由相場(chǎng)模型確定的擴(kuò)散界面

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

在基于相場(chǎng)描述的拓?fù)鋬?yōu)化方法具體實(shí)現(xiàn)中，為了使拓?fù)錁?gòu)型不斷演變，需要對(duì)兩相材料的過渡區(qū)域材料性能(如彈性模量)進(jìn)行插值，與SIMP法處理方式類似，在過渡區(qū)域相場(chǎng)點(diǎn)通常引入插值函數(shù)p對(duì)中間設(shè)計(jì)變量進(jìn)行冪指數(shù)插值，其表達(dá)式為

圖2 雙勢(shì)阱函數(shù)圖解

2.2 Drucker-Prager準(zhǔn)則

在材料拉壓強(qiáng)度不同的研究中， Drucker-Prager準(zhǔn)則因其簡(jiǎn)單和實(shí)用性廣泛應(yīng)用于非金屬材料設(shè)計(jì)中。通過對(duì)許用拉壓應(yīng)力不同材料的實(shí)驗(yàn)，可以驗(yàn)證Drucker-Prager數(shù)值預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性。Drucker-Prager準(zhǔn)則的屈服方程可表示為

(7)

式中α和H為材料常數(shù)，I1為應(yīng)力張量的第一不變量，J2為應(yīng)力偏量的第二不變量，其函數(shù)表達(dá)式為

I1(σ) =σx x+σy y+σz z

(8)

式中σ= [σx xσy yσz zσx yσy zσz x]為質(zhì)點(diǎn)應(yīng)力。

對(duì)于Drucker-Prager準(zhǔn)則而言，F(xiàn)(σ) = 0定義的屈服面是主應(yīng)力空間中的一個(gè)圓錐體(圖3(a))。根據(jù)這一屈服準(zhǔn)則，當(dāng)F(σ) ≤ 0時(shí)，材料不會(huì)發(fā)生失效。當(dāng)α=0時(shí)，該屈服準(zhǔn)則簡(jiǎn)化為von Mises失效準(zhǔn)則，屈服面變?yōu)橹骺臻g中的一個(gè)圓柱體(圖3(b))。因此，von Mises失效準(zhǔn)則可以看做Drucker-Prager準(zhǔn)則的一個(gè)特例,Drucker-Prager準(zhǔn)則通過增加一個(gè)修改項(xiàng)來施加靜水壓力分量對(duì)破壞效果的影響。材料常數(shù)α和H可以表示為

(9)

式中σc和σt分別為材料的許用壓縮強(qiáng)度和許用拉伸強(qiáng)度。

圖3 主應(yīng)力空間中Drucker-Prager準(zhǔn)則屈服面和Mises準(zhǔn)則屈服面

2.3 拓?fù)鋬?yōu)化列式

基于相場(chǎng)描述的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型，考慮滿足Drucker-Prager強(qiáng)度準(zhǔn)則下最小化結(jié)構(gòu)的體積優(yōu)化問題。其優(yōu)化列式為

s. t.KU=F

式中V為設(shè)計(jì)域的總體積，K，U和F分別為總體剛度矩陣、結(jié)構(gòu)位移向量和載荷向量，KU=F為線性平衡方程。

基于相場(chǎng)描述的優(yōu)化方法，選取觀察相場(chǎng)點(diǎn)的相場(chǎng)函數(shù)值為設(shè)計(jì)變量(數(shù)值實(shí)現(xiàn)中相場(chǎng)點(diǎn)位置與單元中心位置重合)。考慮應(yīng)力的拓?fù)鋬?yōu)化問題，常面臨當(dāng)設(shè)計(jì)變量相對(duì)密度趨于0時(shí)，單元的局部應(yīng)力并非為0的應(yīng)力奇異性問題。為克服這一問題，本文采用了qp放松法[5](在低密度區(qū)域放寬對(duì)局部應(yīng)力的約束)，則式(10)應(yīng)力約束公式改寫為

(11)

式中取p=3和q=2.5。當(dāng)設(shè)計(jì)變量為1時(shí)，式(11)與式(10)是等效的;當(dāng)設(shè)計(jì)變量趨于0時(shí)，式(11)得到的是放松后的單元應(yīng)力值，可以保證局部應(yīng)力的連續(xù)性。

2.4 應(yīng)力約束的處理方法

為處理應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化中的大量局部約束問題，采用 P -norm 函數(shù)對(duì)局部應(yīng)力約束進(jìn)行凝聚，以減少約束的數(shù)量，其表達(dá)式為

(12)

式中Fe為每個(gè)單元的應(yīng)力約束,表示對(duì)局部應(yīng)力pn約束的聚合參數(shù)。當(dāng)參數(shù)pn趨近于無窮大時(shí)，聚合函數(shù)的值等于局部約束的最大值，即

(e= 1,2,…,N)(13)

將所有局部約束轉(zhuǎn)換為一個(gè)全局約束可以顯著減少計(jì)算工作量。當(dāng)pn值相對(duì)較小時(shí)，全局約束函數(shù)不能充分反映局部約束下的可行域;但當(dāng)pn值過大時(shí)，全局應(yīng)力約束函數(shù)呈現(xiàn)高度非線性，將導(dǎo)致最終結(jié)果的不穩(wěn)定性和不收斂。因此，在具體數(shù)值算例中，本文選擇pn=6。為克服在連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化中局部約束的數(shù)量過多導(dǎo)致的聚合函數(shù)精度不夠的問題，本文采用穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法對(duì)全局應(yīng)力聚合函數(shù)進(jìn)行修正[13]。修正后應(yīng)力能聚約束可以用P -norm 函數(shù)重新表示為

(14)

式中ce為修正參數(shù)。對(duì)于第n次優(yōu)化迭代，其修正參數(shù)可以計(jì)算為

(15)

值得注意的是，應(yīng)力修正方案是基于穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)化法得來的，特別適用于克服應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化中由于應(yīng)力的高度非線性所造成的迭代振蕩問題[13]。

2.5 靈敏度分析

根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，式(14)對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度可以表示為

(16)

式中P -norm 聚合函數(shù)對(duì)Drucker-Prager應(yīng)力的靈敏度表達(dá)式為

(17)

式(8)中表示Drucker-Prager準(zhǔn)則的應(yīng)力張量第一不變量和應(yīng)力偏量的第二不變量可以用矩陣表示為

(18)

(e= 1,2,…,N)(19)

(20)

本文采用qp放松而將所有應(yīng)力聚合為一個(gè)全局應(yīng)力約束[13]，因此伴隨變量λ可得

(21)

(22)

3 數(shù)值算例

以應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化為例，驗(yàn)證所提方法的有效性。在所有的算例中，材料的楊氏模量和泊松比分別為E=1 MPa和ν=0.3。為了便于優(yōu)化迭代的振蕩控制，在進(jìn)行基于穩(wěn)定轉(zhuǎn)化法的應(yīng)力校正時(shí)，設(shè)定qn=0.5，ce0= 1。在優(yōu)化過程中，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在最近的50次迭代中相對(duì)波動(dòng)小于1%或迭代次數(shù)超過300次時(shí)，迭代終止。

3.1 底端固定梁拓?fù)鋬?yōu)化

算例針對(duì)具有不同拉壓強(qiáng)度材料組成結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析和優(yōu)化。在拉壓強(qiáng)度相同時(shí)，即σc=σt=5.8 MPa 時(shí)，其拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖5所示。圖6 顯示最大應(yīng)力以及材料體積比在拓?fù)鋬?yōu)化中的迭代過程，優(yōu)化過程中目標(biāo)函數(shù)能夠穩(wěn)定減小并趨于穩(wěn)定，最后優(yōu)化在迭代228次時(shí)收斂。圖6的迭代歷史給出了演化的拓?fù)錁?gòu)型，分別是第20，60，100，140，180和220迭代步的構(gòu)型。由拓?fù)錁?gòu)型可以看出，該優(yōu)化問題收斂較快，在第20步時(shí)，就能夠得出大致的拓?fù)錁?gòu)型，在第130步左右迭代趨于穩(wěn)定。

圖4 底端固定梁的設(shè)計(jì)域和矩形設(shè)計(jì)域的初始布局

圖5 拉壓強(qiáng)度相同時(shí)的拓?fù)浣Y(jié)果

當(dāng)拉壓強(qiáng)度不同時(shí)，分別考慮σc= 1.5σt=8.7 MPa和σc= 2σt=11.6 MPa兩種情況，其拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖7所示。優(yōu)化結(jié)果顯示，隨著許用拉壓應(yīng)力比的增加，受拉桿與水平線的夾角增加，受壓桿與水平線的夾角減小。同時(shí)，由于許用壓應(yīng)力變大，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)整體的體積減小，受壓桿變細(xì)。文獻(xiàn)[14]通過理論推導(dǎo)得出了在不同拉壓比下的最優(yōu)構(gòu)型，與本文結(jié)果基本保持一致。該結(jié)果也說明了在許用拉壓強(qiáng)度不同時(shí)，考慮Drucker-Prager準(zhǔn)則的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化具有必要性。表1給出不同拉壓強(qiáng)度下，拓?fù)鋬?yōu)化收斂時(shí)的材料體積、迭代次數(shù)和最大應(yīng)力約束違反率，可以看出，不同拉壓強(qiáng)度下，基于相場(chǎng)描述的拓?fù)鋬?yōu)化方法都能穩(wěn)定收斂并達(dá)到較高的應(yīng)力約束精度。

圖6 最大應(yīng)力和材料體積的迭代歷史

圖7 不同拉壓比下拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

表1 不同拉壓應(yīng)力比下拓?fù)鋬?yōu)化的體積比、迭代次數(shù)和最大應(yīng)力約束違反率

3.2 L型梁拓?fù)鋬?yōu)化算例

值得注意的是，圖9(a)的優(yōu)化結(jié)果呈現(xiàn)一個(gè)直角，這一設(shè)計(jì)雖然可能導(dǎo)致應(yīng)力集中，但對(duì)于拉壓不同強(qiáng)度來說，因材料更抗壓所以在直角區(qū)域仍能滿足應(yīng)力約束(圖10(a))，鮮有的考慮拉壓不同強(qiáng)度的應(yīng)力優(yōu)化研究[14]也印證了這一結(jié)果。采用拉壓不同強(qiáng)度材料時(shí)，兩種優(yōu)化設(shè)計(jì)的Drucker-Prager屈服函數(shù)云圖如圖10所示，可以看出,考慮拉壓不同強(qiáng)度的優(yōu)化設(shè)計(jì)能夠完全滿足Drucker-Prager屈服約束約束(最大值為0)，如圖10(a)所示。然而將考慮von Mises應(yīng)力約束下的優(yōu)化結(jié)果采用式(7)進(jìn)行D -P準(zhǔn)則校核時(shí)，其應(yīng)力最大處的F(σ)max=5.67 MPa,違反了Drucker-Prager屈服約束，如圖10(b)所示，說明利用拉壓強(qiáng)度相同的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果并不能滿足拉壓非對(duì)稱強(qiáng)度約束。

圖8 L型梁設(shè)計(jì)域

圖9 L型梁的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

圖10 L型梁的Drucker-Prager屈服函數(shù)云圖

4 結(jié) 語

本文基于相場(chǎng)描述的拓?fù)鋬?yōu)化方法，通過使用P -norm 函數(shù)聚合應(yīng)力約束，大量減少了約束數(shù)目，提高了求解效率，同時(shí)引入穩(wěn)定轉(zhuǎn)換法來減少聚合函數(shù)導(dǎo)致的聚合誤差，實(shí)現(xiàn)了應(yīng)力較為精確的約束。同時(shí)，引入Drucker-Prager準(zhǔn)則，考慮了非金屬材料的優(yōu)化問題，數(shù)值算例表明，與Mises應(yīng)力準(zhǔn)則相比，在不同拉壓比下，結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型有很大的不同。因此，在對(duì)非金屬材料進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，考慮Drucker-Prager準(zhǔn)則是很有必要的。