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        一類NLS方程近似解誤差分析

        2020-12-23 08:47:04萬洲鍵牟健生楊方林
        黑龍江科學(xué) 2020年24期
        關(guān)鍵詞:虛部實(shí)部迭代法

        萬洲鍵,龔 禎,牟健生,楊方林

        (南京工程學(xué)院電力工程學(xué)院,南京 211167)

        0 引言

        很多工程問題都可以轉(zhuǎn)換成非線性方程求解。分?jǐn)?shù)階方程在社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛,因此研究非線性方程的解具有極大意義。至今為止,人們已經(jīng)找到非線性方程精確解及近似解的各種方法[1-3]。

        對于一類NLS方程:

        (1)

        通過查閱文獻(xiàn)[4]得到(1)的精確解表達(dá)式如下:

        (2)

        通過拉式變換迭代法,分析近似解與精確解的數(shù)值誤差,驗(yàn)證算法的可靠性。

        1 定義

        卡普托導(dǎo)數(shù)

        (3)

        f(t)的拉普拉斯變換定義為:

        (4)

        (5)

        2 拉式變換推導(dǎo)近似解

        本研究著重誤差分析,近似解推導(dǎo)思路如下:

        (6)

        對該式子兩邊進(jìn)行拉氏變換:

        (1-x2)u+|u|2u

        (7)

        (1-x2)u+|u|2u

        (8)

        對其兩邊作拉式逆變換得:

        (1-x2)u+|u|2u

        (9)

        取u0=x得:

        (10)

        (11)

        (12)

        (13)

        通過計(jì)算,得到系數(shù)規(guī)律:

        (14)

        即第n行系數(shù)為:

        (15)

        3 誤差分析與數(shù)值結(jié)果

        為了驗(yàn)證修正Laplace變換迭代法求解結(jié)果的有效性,對各級(jí)近似解進(jìn)行誤差分析和數(shù)值模擬,分別討論當(dāng)α=1,β=1時(shí)的整數(shù)階方程情形和當(dāng)α=0.5,β=0.5時(shí)的分?jǐn)?shù)階方程情形。在表1和表2分別給出了整數(shù)階方程和分?jǐn)?shù)階方程實(shí)部和虛部的誤差分析數(shù)據(jù),在圖1~3中分別給出了相關(guān)近似解和精確解實(shí)部和虛部的立體圖和平面曲線圖。

        表1 當(dāng)α=1, β=1時(shí),實(shí)部和虛部的數(shù)值結(jié)果Tab.1 Numerical results of the exact and imaginary partswhen α=1, β=1

        表2 當(dāng)α=0.5, β=0.5時(shí),實(shí)部和虛部的數(shù)值結(jié)果Tab.2 Numerical results of the exact and imaginary parts when α=0.5, β=0.5

        部分?jǐn)?shù)值模擬結(jié)果:

        圖1 當(dāng)α=1, β=1時(shí)精確解和近似解迭代 1次, 5次, 50次虛部圖Fig.1 Imaginary part of the 1, 5 and 50 iteration of exact and approximate solution when α=1, β=1

        圖2 當(dāng)α=β=1時(shí)精確解與各級(jí)近似解虛部Fig.2 Imaginary part of exact and approximate solutions of all levels when α=β=1

        圖3 當(dāng)β=1時(shí),α對虛部的影響Fig.3 Influence of α on approximate solution when β=1

        由表1發(fā)現(xiàn)迭代到5次后誤差幾乎已經(jīng)消失了,而圖1的數(shù)值結(jié)果表明,U5,U50已經(jīng)和精確解靠得很近。在圖2,圖3中U5和精確解已經(jīng)重合,因而該算法具有良好的實(shí)用性和精度。

        4 總結(jié)

        通過修正Laplace變換迭代法求解一類NLS方程,得到了方程的各級(jí)近似解,并進(jìn)行了誤差分析和數(shù)值模擬。研究結(jié)果表明,這一方法對于NLS類復(fù)偏微分方程近似解的處理規(guī)范有效。

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