萬洲鍵，龔 禎，牟健生，楊方林

(南京工程學(xué)院電力工程學(xué)院，南京 211167)

0 引言

很多工程問題都可以轉(zhuǎn)換成非線性方程求解。分?jǐn)?shù)階方程在社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，因此研究非線性方程的解具有極大意義。至今為止，人們已經(jīng)找到非線性方程精確解及近似解的各種方法[1-3]。

對于一類NLS方程：

(1)

通過查閱文獻(xiàn)[4]得到(1)的精確解表達(dá)式如下：

(2)

通過拉式變換迭代法，分析近似解與精確解的數(shù)值誤差，驗(yàn)證算法的可靠性。

1 定義

卡普托導(dǎo)數(shù)

(3)

f(t)的拉普拉斯變換定義為：

(4)

(5)

2 拉式變換推導(dǎo)近似解

本研究著重誤差分析，近似解推導(dǎo)思路如下：

(6)

對該式子兩邊進(jìn)行拉氏變換：

(1-x2)u+|u|2u

(7)

(1-x2)u+|u|2u

(8)

對其兩邊作拉式逆變換得：

(1-x2)u+|u|2u

(9)

取u0=x得：

(10)

(11)

(12)

…

(13)

通過計(jì)算，得到系數(shù)規(guī)律：

(14)

即第n行系數(shù)為：

(15)

3 誤差分析與數(shù)值結(jié)果

為了驗(yàn)證修正Laplace變換迭代法求解結(jié)果的有效性，對各級(jí)近似解進(jìn)行誤差分析和數(shù)值模擬，分別討論當(dāng)α=1,β=1時(shí)的整數(shù)階方程情形和當(dāng)α=0.5,β=0.5時(shí)的分?jǐn)?shù)階方程情形。在表1和表2分別給出了整數(shù)階方程和分?jǐn)?shù)階方程實(shí)部和虛部的誤差分析數(shù)據(jù)，在圖1～3中分別給出了相關(guān)近似解和精確解實(shí)部和虛部的立體圖和平面曲線圖。

表1 當(dāng)α=1, β=1時(shí)，實(shí)部和虛部的數(shù)值結(jié)果Tab.1 Numerical results of the exact and imaginary partswhen α=1, β=1

表2 當(dāng)α=0.5, β=0.5時(shí)，實(shí)部和虛部的數(shù)值結(jié)果Tab.2 Numerical results of the exact and imaginary parts when α=0.5, β=0.5

部分?jǐn)?shù)值模擬結(jié)果：

圖1 當(dāng)α=1, β=1時(shí)精確解和近似解迭代 1次， 5次， 50次虛部圖Fig.1 Imaginary part of the 1, 5 and 50 iteration of exact and approximate solution when α=1, β=1

圖2 當(dāng)α=β=1時(shí)精確解與各級(jí)近似解虛部Fig.2 Imaginary part of exact and approximate solutions of all levels when α=β=1

圖3 當(dāng)β=1時(shí)，α對虛部的影響Fig.3 Influence of α on approximate solution when β=1

由表1發(fā)現(xiàn)迭代到5次后誤差幾乎已經(jīng)消失了，而圖1的數(shù)值結(jié)果表明，U5,U50已經(jīng)和精確解靠得很近。在圖2，圖3中U5和精確解已經(jīng)重合，因而該算法具有良好的實(shí)用性和精度。

4 總結(jié)

通過修正Laplace變換迭代法求解一類NLS方程，得到了方程的各級(jí)近似解，并進(jìn)行了誤差分析和數(shù)值模擬。研究結(jié)果表明，這一方法對于NLS類復(fù)偏微分方程近似解的處理規(guī)范有效。