黨 克，劉子源，田 勇，衣鵬博,劉 闖

(東北電力大學(xué)現(xiàn)代電力系統(tǒng)仿真控制與綠色電能新技術(shù)教育部重點實驗室，吉林 132012)

0 引 言

隨著電力電子技術(shù)和稀土永磁材料取得突破性進(jìn)展，永磁同步電機(以下簡稱PMSM)現(xiàn)代控制理論體系越來越完善，PMSM逐漸顯現(xiàn)出自身的優(yōu)勢，比如便于安裝和維修，運行高效，具有較小的轉(zhuǎn)矩脈動和較高的氣隙磁密，廣泛應(yīng)用于航空航天、軍用武器跟隨系統(tǒng)以及新能源汽車等行業(yè)[1]。在大多數(shù)實際應(yīng)用中，PMSM控制需要位置傳感器來保證轉(zhuǎn)速控制精度。但是，位置傳感器存在維護(hù)成本高、空間限制和抗干擾性差的缺點，并且會受到濕度和腐蝕等條件的影響，在PMSM控制領(lǐng)域，越來越多專家和學(xué)者致力于研究無速度傳感器。

現(xiàn)階段，針對PMSM轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速估計，陸續(xù)出現(xiàn)了SMO(滑模觀測器)、MRAS(模型參考自適應(yīng)系統(tǒng))、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、EKF(擴展卡爾曼濾波法)等手段。SMO方法的優(yōu)點在于具有良好的魯棒性，便于實現(xiàn)，缺點是對電機相關(guān)參數(shù)估計不穩(wěn)定[2]。在無傳感器控制領(lǐng)域，MRAS方法的應(yīng)用越來越廣泛，由自適應(yīng)率、參考模型、可調(diào)模型組成控制策略，但可能難以適應(yīng)參數(shù)，魯棒性較差[3]。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法有效地提高了電機控制系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性，但其計算量大，實際應(yīng)用尚不成熟[4]。

EKF可以有效地處理非線性系統(tǒng)，并且能夠邊采集數(shù)據(jù)邊計算，同時EKF也具有合理的收斂速度。EKF算法適用于電機控制系統(tǒng)，可以工作在較大的速度范圍內(nèi)，甚至在較低的速度下能夠完成轉(zhuǎn)速估計。這些特性使EKF在PMSM的無傳感器速度控制應(yīng)用中備受關(guān)注[5-7]。近年來，對EKF進(jìn)行了廣泛的研究。測量和系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣R和Q的確定對用EKF進(jìn)行估計有重大影響。通常用試錯法來假設(shè)這些協(xié)方差矩陣,耗時長，且常數(shù)噪聲矩陣并不能代表實際噪聲矩陣，使得EKF精度下降[8]。為提高算法精度，獲得噪聲矩陣的最佳值，文獻(xiàn)[9]利用差分進(jìn)化算法獲得了噪聲矩陣的優(yōu)化值。此外，文獻(xiàn)[10]設(shè)計了自適應(yīng)衰落EKF來尋找Q和R的值，但是該方法需要離線完成，通常耗時很久。Sage-Husa自適應(yīng)濾波具有原理簡單、快速跟蹤系統(tǒng)噪聲和測量噪聲統(tǒng)計特性的優(yōu)點,在慣性導(dǎo)航中應(yīng)用廣泛[11]。

為此，本文根據(jù)傳統(tǒng)EKF測量噪聲和系統(tǒng)噪聲矩陣不能自適應(yīng)調(diào)節(jié)的問題，研究了一種將改進(jìn)的Sage-Husa自適應(yīng)卡爾曼濾波算法和基于新息的自適應(yīng)擴展卡爾曼濾波算法相結(jié)合的方法，提高系統(tǒng)的觀測精度，改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型

PMSM可以選擇d,q同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型，也可以選擇α,β靜止坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型，在d,q同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系模型下，變換矩陣中含有轉(zhuǎn)子磁鏈空間角度的正余弦函數(shù)，造成遞推計算時間的增加。α,β靜止坐標(biāo)系相對于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系可節(jié)省EKF計算時間，縮短采樣周期，提高估算精度。因此，本文建立表貼式三相PMSM的數(shù)學(xué)模型。在靜止坐標(biāo)系下的電壓方程：

(1)

式中：uα為定子電壓的α軸分量；uβ分為定子電壓的β軸分量;iα為定子電流的α軸分量；iβ為定子電流的β軸分量;Rs為定子電感；Ls為定子電感；ψf為永磁體磁鏈；ω為電機的機械角速度；θ為轉(zhuǎn)子位置角。

將式(1)用電流方程的形式表示，可得：

(2)

對于PMSM來說，相比電氣時間常數(shù)，機械時間常數(shù)更大，通常用ωe表示對轉(zhuǎn)子位置求導(dǎo)的結(jié)果，用0表示電機速度變化量，可提高計算過程的便利性，即：

(3)

可以得到狀態(tài)方程如下：

(4)

式中：

(5)

考慮到系統(tǒng)噪聲和測量噪聲的影響，且式(4)是非線性的，構(gòu)建PMSM離散化的數(shù)學(xué)模型:

(6)

式中：Wk-1為系統(tǒng)噪聲；Vk為測量噪聲。且這兩個噪聲都是零均值的白噪聲。通過測量噪聲協(xié)方差矩陣R和系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣Q代入EKF遞推算法，并不直接利用噪聲矢量W和V，假設(shè)V和W不相關(guān)，且初始狀態(tài)x(0)也不相關(guān)于Vk和Wk-1。

2 自適應(yīng)EKF觀測器設(shè)計

EKF是線性系統(tǒng)狀態(tài)估計的卡爾曼濾波器在非線性系統(tǒng)中的擴展應(yīng)用。通過對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行在線估計，進(jìn)而實現(xiàn)對系統(tǒng)的實時控制。EKF涉及預(yù)測和校正兩個階段。使用當(dāng)前時刻的系統(tǒng)測量輸出，可以預(yù)測下一時刻的系統(tǒng)狀態(tài)。使用實際輸出和預(yù)測輸出中的誤差校正這些預(yù)測狀態(tài)。具體步驟如下：

(7)

(8)

Kk=Pk|k-1CTSk

(9)

Pk|k=(I-KkC)Pk|k-1

(10)

xk|k=xk|k-1+Kk(yk-xk|k-1)

(11)

2.1 測量噪聲估計器

根據(jù)理論分析及實驗探究,在EKF估計PMSM轉(zhuǎn)速時,其主要的不足之處是不能準(zhǔn)確地描述協(xié)方差矩陣的統(tǒng)計特性，包括噪聲協(xié)方差矩陣和測量協(xié)方差矩陣。長期以來，科學(xué)家利用試湊法對協(xié)方差矩陣統(tǒng)計特性進(jìn)行估計，估計結(jié)果的精確性以及估計算法的收斂性很大程度上取決于選取的參數(shù)是否合理。本文利用自適應(yīng)擴展卡爾曼濾波(以下簡稱AEKF)進(jìn)行估計，改進(jìn)的Sage-Huse AEKF用來估計測量噪聲，基于新息的卡爾曼擴展自適應(yīng)[12]方法用來估計系統(tǒng)噪聲。由于噪聲協(xié)方差矩陣和測量協(xié)方差矩陣會隨著系統(tǒng)參數(shù)改變而發(fā)生變化，因此能有效提高統(tǒng)計特性估計結(jié)果的精確度，從而具有良好的收斂性，同時保證了系統(tǒng)參數(shù)魯棒性。

對于時變系統(tǒng)，利用Sage-Husa AEKF構(gòu)建以下噪聲估計器：

(12)

(13)

ek=yk-Cxk-1|k-1-rk

(14)

式中：b表示遺忘因子，其取值范圍為0.95～0.99；ek是Sage-Husa濾波器殘差；rk是測量噪聲的平均值。

式(12)中的主要缺點是矩陣的減法。實際上，這種減法可以使式(8)中的矩陣幾乎是奇異的，甚至是非正定的，使得濾波器系數(shù)發(fā)散。因此，本文用基于殘差估計代替式(12)中的Rk遞歸估計，這將增加濾波器的穩(wěn)定性。使用卡爾曼濾波器中的新息殘差：

vk=yk-Cxk-1|k-1

(15)

所以式(12)改寫：

(16)

2.2 系統(tǒng)噪聲估計器

通過取長度為N的窗口先前殘差序列的平均值來導(dǎo)出新息殘差的協(xié)方差估計：

(17)

式中：j0=k-N+1是估計窗口中的第一個樣本。

估計的系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣：

(18)

式中：Δx=xk|k-1-xk-1|k-1。

等式根據(jù)穩(wěn)態(tài)條件下的新息順序，可將式(18)描述如下：

(19)

Sage-Husa自適應(yīng)濾波法最大的缺點在于無法同時獲得測量噪聲和系統(tǒng)噪聲的觀測結(jié)果，本文的AEKF在控制周期中，系統(tǒng)可以在穩(wěn)定的前提下觀測到這兩類噪聲。

3 仿真分析

3.1 模型框圖

圖1為基于AEKF的PMSM無傳感器控制系統(tǒng)框圖。其控制方式采用id=0的控制策略?？刂平Y(jié)構(gòu)采用雙閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)速環(huán)為外環(huán)，電流環(huán)為內(nèi)環(huán)。將uα,uβ,iα,iβ作為AEKF算法的輸入信號，將估算出的ω,θ作為矢量控制反饋控制。

圖1 基于AEKF的PMSM無傳感器控制系統(tǒng)框圖

3.2 仿真驗證

本文分別對EKF和AEKF兩種算法進(jìn)行仿真實驗，預(yù)定轉(zhuǎn)速為500 r/min，仿真持續(xù)時間0.5 s。表1給出了PMSM的相關(guān)參數(shù)，兩種算法的轉(zhuǎn)速估計值如圖2所示，兩種算法的轉(zhuǎn)子位置估計值如圖3所示。

表1 電機參數(shù)

由圖2(a)可知，傳統(tǒng)EKF算法在初始階段轉(zhuǎn)速超調(diào)，超調(diào)量為13%，最大轉(zhuǎn)速誤差為60r/min，在0.18s到達(dá)預(yù)定轉(zhuǎn)速后，轉(zhuǎn)速波動為10r/min。

由圖2(b)可知，AEKF算法在初始階段幾乎沒有轉(zhuǎn)速超調(diào)，超調(diào)量僅為1%，最大轉(zhuǎn)速誤差為40r/min，在0.14s到達(dá)預(yù)定轉(zhuǎn)速后，轉(zhuǎn)速波動為5r/min。

由圖2可以得出，AEKF算法響應(yīng)快，追蹤效果好，在進(jìn)入預(yù)定轉(zhuǎn)速時，AEKF收斂性要優(yōu)于EKF，估計轉(zhuǎn)速更接近電機的實際轉(zhuǎn)速。

(a) 基于EKF轉(zhuǎn)速估計

(b)基于AEKF轉(zhuǎn)速估計

由圖3可以看出，AEKF相比于傳統(tǒng)的EKF，對電機轉(zhuǎn)子位置的估計值精確度更高，傳統(tǒng)EKF算法對轉(zhuǎn)子位置的估計值稍滯后于實際值。由圖3(c)、圖3(d)放大圖可以看出,AEKF算法最大位置誤差比傳統(tǒng)EKF算法減小7%，更接近于轉(zhuǎn)子實際位置。

(a) 基于EKF轉(zhuǎn)子位置估計

(b)基于AEKF轉(zhuǎn)子位置估計

(c) 0.1～0.2 s時基于EKF轉(zhuǎn)子位置估計誤差放大圖

(d)0.1～0.2 s時基于AEKF轉(zhuǎn)子位置估計誤差放大圖

3.3 參數(shù)魯棒性

近年來，電機控制系統(tǒng)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于實際工程中，在電機起動的瞬間，電感、定子電阻額定值與實際值的差值很小。隨著電機運行時間的增加，內(nèi)部溫度會逐漸上升，電子電感和電阻都會隨之上升，嚴(yán)重影響電機控制的精確度。針對上述問題，本文在開展AEKF算法參數(shù)魯棒性實驗的過程中，規(guī)定定子電感值和電阻值分別是1.1倍和1.2倍的額定值。圖4和圖5給出了仿真結(jié)果。

圖4 定子電阻為1倍，1.1倍，1.2倍時的仿真結(jié)果

圖5 定子電感為1倍，1.1倍，1.2倍時的仿真結(jié)果

從圖4可以看出，當(dāng)定子電阻取值是其額定值的1.1倍和1.2倍時，用AEKF算法的轉(zhuǎn)速波動的時刻是0.1～0.2s，波動幅度達(dá)到±50 /min，并隨著時間的推移逐漸趨于收斂，收斂值是500r/min；當(dāng)定子電阻取值是其額定值的1.2倍時，用AEKF算法的轉(zhuǎn)速波動的時刻是0.1～0.25s，波動幅度達(dá)到±50r/min，并隨著時間的推移逐漸趨于收斂，收斂值仍然是500r/min。

從圖5可以看出，定子電感增加0.1倍后，AEKF算法在0.1～0.2s時轉(zhuǎn)速出現(xiàn)±50r/min的波動，雖然到達(dá)預(yù)定轉(zhuǎn)速的時間有所增加，但是最后收斂至500r/min。

根據(jù)圖4和圖5不難發(fā)現(xiàn)，AEKF算法的參數(shù)魯棒性較好，能有效解決PMSM無傳感器控制估計值不準(zhǔn)確的問題。

4 結(jié) 語

本文研究了一種AEKF算法，將改進(jìn)的Sage-Husa自適應(yīng)卡爾曼濾波算法和基于新息的AEKF算法相結(jié)合，以解決EKF測量噪聲和系統(tǒng)噪聲矩陣不能自適應(yīng)調(diào)節(jié)的問題，相比于傳統(tǒng)EKF算法，本文采用的AEKF算法對轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置估計精度更高，收斂性更好。從理論和仿真實驗兩方面證明了AEKF算法的穩(wěn)定性和參數(shù)魯棒性。